奥数：4-2-2三角形等高模型与鸟头模型：题库

1、三角形等高模型与鸟头模型例题精讲板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变，高越大( 小 ) ，三角形面积也就越大( 小) ；如果三角形的高不变，底越大( 小 ) ，三角形面积也就越大( 小) ；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的3 倍，底变为原来的1 ，则三角形面积与原来的一3样这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们：

2、一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图 S1 : S2a : bABS1S2abCD夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S ACDS BCD ；反之，如果S ACDS BCD ，则可知直线AB 平行于 CD 等底等高的两个平行四边形面积相等 ( 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 ) ；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积

3、比等于它们的高之比【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成： 3 个面积相等的三角形； 4 个面积相等的三角形；6 个面积相等的三角形【解析】 如下图， D、 E 是 BC 的三等分点，F、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：AAAGFBDECBDCBDC 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例2】如图， BD 长 12 厘米， DC 长 4 厘米， B、 C 和 D 在同一条直线上 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ 求三角形 ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ABD C【解析】 因为三角形 ABD 、三角形 ABC 和三角形

4、 ADC 在分别以 BD 、 BC 和 DC 为底时，它们的高都是从 A点向 BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等于是：三角形 ABD 的面积12 高26 高三角形 ABC 的面积 （124） 高2 8高三角形 ADC的面积 4 高 2 2高所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4 倍；3三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3 倍【例3】如右图，ABFE 和 CDEF都是矩形，AB 的长是4 厘米， BC 的长是3 厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米ABEFDC【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4326 ( 平方厘米) 【巩固】( 2019 是

5、年四中小升初入学测试题平方厘米) 如图所示，平行四边形的面积是50 平方厘米，则阴影部分的面积【解析】 根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225 平方厘米【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是ABFEDC【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为112 120 202【例4】如图，长方形 ABCD 的面积是 56 平方厘米， 点 E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点， H 为 AD边上

6、的任意一点，求阴影部分的面积AHDAHDEGEGBFCBFC【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用连接 BH 、CH AE EB， S AEH S BEH 同理，S BFH S CFH ， S CGH =S DGH ， S阴影1 S长方形 ABCD156 28(平方厘米 )22【巩固】图中的E、 F 、 G分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12 ，那么阴影部分的面积是ADAHD6G51 GEE423BFCBFC【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的3 个边就都被分成了相等的三段把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9 个形状各不相

7、同的三角形这9 个三角形的底边分别是在正方形的 3 个边上， 它们的长度都是正方形边长的三分之一阴影部分被分割成了 3 个三角形， 右边三角形的面积和第1第 2 个三角形相等：中间三角形的面积和第3 第 4个三角形相等；左边三角形的面积和第 5 个第 6 个三角形相等因此这 3 个阴影三角形的面积分别是ABH 、 BCH 和 CDH 的三分之一， 因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一正方形的面积是144，阴影部分的面积就是 48 【例5】长方形 ABCD 的面积为36 cm2 ， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HDAEGBFC【解

8、析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、 HC ，如下图：AHDEGBFC可得： S EHB111S AHBS CHBS CHD36SAHB、SFHBS CHB、 S DHGS DHC ，而 SABCD222即 SEHBS BHFS DHG1(S AHBS CHBSCHD)13618 ；22而SEHBS BHFS DHGS阴影S EBF， S EBF1BEBF1(1AB) (1BC)1364.5 181824.513.52228所以阴影部分的面积是：S阴影S EBF解法二：特殊点法找H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合，那么图形就可变成右图：D (H)AEGBFC这样阴影部分的面积就是D

9、EF 的面积，根据鸟头定理，则有：S阴影 SABCDS AED S BEF1111111S CFD 36236236236 13.52222【例6】长方形 ABCD 的面积为36， E 、 F 、 G 为各边中点，H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HDAEGBFCA(H)DAHDEGEGBFCBFC【解析】 （法 1）特殊点法由于H 为 AD 边上任意一点，找H 的特殊点，把 H 点与 A 点重合（如左上图） ，那么阴影部分的面积就是AEF 与 ADG 的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD面积的1 和 1 ，所以阴影部分面积为长方形ABCD 面积的 113，为3

10、6313.5 848488（法 2）寻找可利用的条件，连接BH 、 HC ，如右上图可得：S EHB111S DHC ，而 SABCDS AHBS CHB S CHD36 ，SAHB、SFHBS CHB、 S DHG222即SEHBS BHFS DHG1S CHB1；(S AHBS CHD)36 1822而SEHBS BHFS DHGS阴影1BE1111S EBF， S EBFBF(AB) (BC)36 4.522228所以阴影部分的面积是：S阴影18S EBF 184.513.5 【巩固】在边长为6 厘米的正方形ABCD 内任取一点 P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与

11、P 点连接 , 求阴影部分面积ADA (P)DADPPBCBCBC【解析】 （法 1）特殊点法由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与 A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的1 和 1 ，所以阴影部1146215 平方厘米分的面积为 6 ()4 6（法 2）连接 PA 、 PC 由于 PAD 与 PBC 的面积之和等于正方形 ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD 面积的 1 ，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的 1 ，所以阴影部分的面积为41162()15 平方

12、厘米646【例7】如右图， E 在 AD 上，AD 垂直 BC， AD12厘米， DE 3 厘米求三角形 ABC 的面积是三角形 EBC面积的几倍？AEBCD【解析】 因为 AD 垂直于 BC，所以当 BC 为三角形 ABC 和三角形 EBC 的底时， AD 是三角形 ABC 的高， ED是三角形 EBC 的高，于是：三角形 ABC 的面积BC122BC6三角形 EBC 的面积BC32BC1.5所以三角形 ABC 的面积是三角形EBC 的面积的 4 倍【例 8】如图，在平行四边形 ABCD 中， EF 平行 AC，连结 BE、AE、CF、BF 那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？AF

13、DEBC【解析】AEC、AFC 、 ABF 【巩固】如图，在ABC 中， D 是 BC 中点， E 是 AD 中点，连结BE、 CE，那么与ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？AEBDC【解析】 3 个，AEC 、BED 、DEC 【巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？A DOBC【解析】ABD 与ACD，ABC 与DBC ，ABO 与 DCO 【例9】 ( 第四届”迎春杯”试题 ) 如图，三角形ABC 的面积为1，其中 AE3AB ， BD2 BC ，三角形 BDE的面积是多少？ABEABECCDD【解析】 连接 CE ， AE3AB ， BE

14、2AB， S BCE2S ACB又 BD2BC ， S BDE 2S BCE4S ABC 4【例10】( 2019 年四中考题 ) 如右图， ADDB ，AEEFFC ，已知阴影部分面积为5 平方厘米， ABC的面积是平方厘米BBDDAEFCAEFC【解析】 连接 CD 根据题意可知，DEF 的面积为 DAC 面积的 1 ，DAC 的面积为 ABC 面积的 1 ，所ABC 面积的 111 而32以DEF 的面积为DEF 的面积为5 平方厘米，所以ABC 的面积为1236530 ( 平方厘米 )6【巩固】 图中三角形 ABC 的面积是180 平方厘米， D 是 BC 的中点， AD 的长是 AE

15、 长的 3 倍， EF 的长是 BF长的 3 倍那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？AEFBCD【解析】ABD ，ABC 等高，所以面积的比为底的比，有SABDBD1S ABCBC,2所以 S ABD=1S ABC118090( 平方厘米 ) 同理有 S ABEAES ABD190 30(平方厘米 )，22AD3FES ABE322.5 (平方厘米 ) 即三角形 AEF 的面积是 22. 5 平方厘米S AFE30BE4【巩固】如图，在长方形ABCD 中， Y 是 BD 的中点， Z 是 DY 的中点，如果AB24 厘米， BC 8 厘米，求三角形 ZCY 的面积DCZYAB【解析】 Y

16、是 BD 的中点， Z 是 DY 的中点， ZY11DB ，SZCY1SDCB，224又 ABCD 是长方形， S ZCY1SDCB11 S ABCD24 (平方厘米 ) 442【巩固】如图，三角形ABC 的面积是24， D、 E 和 F 分别是 BC、 AC 和 AD 的中点求三角形DEF 的面积AFEB【解析】 三角形三角形三角形CDADC 的面积是三角形ABC 面积的一半 242 12，ADE 又是三角形 ADC 面积的一半 12 26 FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积 6 2 3【巩固】如图，在三角形ABC 中， BC 8 厘米，高是 6 厘米， E、

17、 F 分别为 AB 和 AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？AEFBC【解析】 F 是 AC 的中点SABC2S ABF同理 S ABF2S BEFSBEFS ABC48 6 2 4 6(平方厘米 )【例 11】如图 ABCD 是一个长方形，点E、 F 和 G 分别是它们所在边的中点如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位DGCGCDEFEFABAB【解析】 如右图分割后可得，S EFG S矩形 DEFC2 S矩形 ABCD 436 4 9 （平方单位） 【巩固】 ( 97 迎春杯决赛 ) 如图， 长方形 ABCD 的面积是 1 ， M 是 A

18、D 边的中点， N 在 AB 边上，且 2ANBN .那么，阴影部分的面积是多少？AMDAMDNNBCBC【解析】 连 接 BM ，因为 M 是中点所以 ABM 的面积为1 又因为 2ANBN ，所以 BDC 的面积为4111 ，又因为 BDC 面积为1 ，所以阴影部分的面积为：1115.4312212212【例12】如图，大长方形由面积是12 平方厘米、24 平方厘米、 36 平方厘米、48 平方厘米的四个小长方形组合而成求阴影部分的面积AB36cm 212cm 236cm 212cm 2MN48cm 248cm 224cm 224cm 2CD【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则

19、AB12121 ，CD241 ，111 ，阴影部分面积为 (123641124483所以 MN243648)5(cm 2 ) 3412212【例13】如图，三角形 ABC 中，DC2BD ，CE3AE ，三角形 ADE 的面积是20 平方厘米， 三角形 ABC的面积是多少？AEBDC【解析】 CE3AE ， AC4AE ， S ADC 4S ADE ；又 DC2BD ， BC1.5DC ， S ABC 1.5S ADC6S ADE 120 ( 平方厘米 ) 【例14】( 2019 年第七届” 希望杯”二试六年级 ) 如图，在三角形 ABC 中，已知三角形 ADE 、三角形 DCE 、三角形 B

20、CD 的面积分别是89， 28， 26那么三角形DBE 的面积是BDAEC【解析】 根据题意可知，S ADCS ADES DCE89 28 117 ，所以 BD:ADS BDC :S ADC26 :1172:9，那么 SDBE:SADE BD:AD2:9，故SDBE892(901)2202197 9999【例15】( 第四届小数报数学竞赛) 如图，梯形 ABCD 被它的一条对角线 BD 分成了两部分三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大 10 平方分米已知梯形的上底与下底的长度之和是15 分米，它们的差是5 分米求梯形ABCD 的面积ADADBBhCCE【解析】 如右图， 作 AB 的平

21、行线 DE三角形 BDE 的面积与三角形ABD 的面积相等， 三角形 DEC 的面积就是三角形 BDC 与三角形 ABD 的面积差 ( 10 平方分米 ) 从而，可求出梯形高 ( 三角形 DEC 的高 ) 是：210 54( 分米 ) ，梯形面积是： 154 2 30(平方分米 )【例16】图中AOB 的面积为 15cm 2 ，线段OB 的长度为 OD 的 3 倍，求梯形 ABCD 的面积A DOB【解析】 在因为从而CABD 中，因为 S AOB15cm2 ，且 OB3OD ，所以有 S AOD S AOB 35cm2 ABD 和 ACD 等底等高，所以有 S ABD S ACD S OCD

22、 15cm2，在BCD中， S BOC3S OCD 45cm2，所以梯形面积：15 5 15 45 80（ cm2）【例17】如图，把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形DDAABCABC【解析】 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点 A 移到 CB 的延长线上的A处， ABD 与ABD 面积相等， 从而ADC 面积与原四边形 ABCD 面积也相等 这样就把四边形ABCD 等积地改成了三角形 ADC 问题是 A位置的选择是依据三角形等积变形原则过A 作一条和 DB 平行的直线与 CB的延长线交于A点具体

23、做法：连接 BD； 过 A 作 BD 的平行线，与 CB 的延长线交于 A 连接 AD，则ACD 与四边形 ABCD 等积【例18】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的 15% ，黄色三角形面积是 21cm2 问：长方形的面积是多少平方厘米？黄红红绿【解析】 黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的 50% ，而绿色三角形面积占长方形面积的 15% ，所以黄色三角形面积占长方形面积的 50% 15% 35% 已知黄色三角形面积是21cm2 ，所以长方形面积等于213

24、5%60 （ cm2 ）【例19】O 是长方形 ABCD 内一点，已知OBC 的面积是 5cm2 ，OAB 的面积是 2cm 2，求OBD 的面积是多少？ADOPBC11【解析】 由 于 ABCD 是长方形，所以S AODS BOC，而 S ABDS BOCSABD，SABCDSABCD ，所以 S AOD22则SBOC SOABS OBD ，所以 S OBDS BOCS OAB5 23cm2 【例20】如右图，过平行四边形ABCD 内的一点 P 作边的平行线 EF 、 GH ，若PBD 的面积为8 平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形 PGAE 的面积大多少平方分米？AGDAG

25、DEPEPFFBHCBHC【解析】 根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形 BCFE 的面积与平行四边形 ABHG 的面积差如右上图，连接 CP 、 AP 由于 S BCPS ADPS ABP1S BDPS BDP S ADPSABCD ，所以 S BCP S ABP21SBCFE ， S ABP12 S BCP S ABP 2S BDP16( 平方分米 ) 而SBCPSABHG ，所以 SBCFE SABHG22【例21】如右图，正方形ABCD 的面积是 20 ，正三角形BPC 的面积是15 ，求阴影BPD 的面积ADADPPOBCB

26、C【解析】 连接 AC 交 BD 于 O 点，并连接 PO 如下图所示，可得 PO / /DC ，所以DPO 与 CPO 面积相等 ( 同底等高 ) ，所以有：S BPO S CPOS BPOS PDOS BPD，1SABCD15 ，所以 S BPD 155 10因为 S BOC2044【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是 12 ，正三角形BPC 的面积是 5 ，求阴影BPD 的面积ADPADPOBCBC【解析】 连接 AC 交 BD 于 O 点，并连接 PO 如右上图所示，可得 PO / /DC ，所以DPO 与 CPO 面积相等 ( 同底等高 ) ，所以有 :S BPOS CPOS B

27、POS PDOS BPD，因为 S BOC13，所以 S BPD 5 32SABCD4【例22】在长方形 ABCD 内部有一点 O ，形成等腰AOB 的面积为 16，等腰 DOC 的面积占长方形面积的 18% ，那么阴影AOC 的面积是多少？DCOAB【解析】 先算出长方形面积，再用其一半减去DOC 的面积 ( 长方形面积的 18% ) ，再减去AOD 的面积，即可求出 AOC 的面积根据模型可知 S CODS AOB1 SABCD ，所以 SABCD16 （118%） 50 ，22又AOD 与BOC 的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以AOD 的面积等于长方形面积的 1 ，4所

28、以 S AOCS ACD S AODS COD125%SABCD 18%SABCD 2512.59 3.5SABCD2【例23】（ 2019 年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD 中， E、 F分别是其两腰AB 、 CD 的中点， G 是 EF 上的任意一点， 已知 ADG的面积为 15cm 2 ，而 BCG 的面积恰好是梯形ABCD 面积的 7，则梯形 ABCD 的面积是cm2 20ADADEGFEGFBCBC【解析】 如果可以求出ABG 与 CDG 的面积之和与梯形ABCD 面积的比，那么就可以知道ADG 的面积占梯形 ABCD 面积的多少，从而可以求出梯形

29、ABCD 的面积如图，连接 CE 、 DE 则 S AEGSDEG，SBEGS CEG ，于是 S ABGS CDGS CDE要求CDE 与梯形 ABCD 的面积之比， 可以把梯形ABCD 绕 F 点旋转 180 ，变成一个平行四边形 如下图所示：从中容易看出 CDE 的面积为梯形ABCD 的面积的一半(也可以根据1SBECSABC ，2S AED S AFD1S ADC， S BEC S AED1S ABC1SADC1 SABCD 得来 )2222那么，根据题意可知ADG 的面积占梯形ABCD 面积的 1173 ，所以梯形ABCD 的面积是22020153100cm2 20小结：梯形一条腰的

30、两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半，这是一个很有用的结论本题中，如果知道这一结论， 直接采用特殊点法， 假设 G 与 E 重合，则的面积占梯形面积的一半，那么ADG 与BCG 合起来占一半CDE【例24】如图所示，四边形 ABCD 与 AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等FFABABGGDECDE C【解析】 本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半证明：连接 BE ( 我们通过 ABE 把这两个看似无关的平行四边形联系在一起)在平行四边形ABCD 中， S ABE1ABAB 边上的高，21 S ABES ABCD 21同理， S ABEABCD 与 AEGF 面积相等S AEGF ，平行四边形2【巩固】 如图所示，正方形 ABCD 的边长为 8 厘米，长方形 EBGF 的长 BG 为 10 厘米，那么长方形的宽为几厘米？EEABABFFDGCDGC【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等( 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 ) 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半证明：连接 AG ( 我们通过 ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起)