有解与恒成立问题专题

1、“有解”与“恒成立”专题不等式历来是高考和竞赛的热点，不等式“有解”与“恒成立”是很容易混淆的问题下面给出一组命题，说明两者之间的区别（1）恒成立； （2）恒成立；（3）有解； （4）有解例1已知，函数在上有意义，求实数的取值范围例2不等式有解，求的取值范围例3对于不等式，存在实数，使此不等式成立的实数的集合是；对于任意，使此不等式恒成立的实数的集合为，求集合恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数的奇偶性、周期性等性质；直接根据函数的图象等。1.一次函数型（多为变换主元法）给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n内恒

2、有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于）或）亦可合并定成 同理，若在m,n内恒有f(x)<0，则有nmoxynmoxy 例1 已知对于任意的a-1,1，函数f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0 恒成立，求x的取值范围.点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。例2.对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。例3.若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。例4对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析：题中的不等式是关于

3、的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。2.二次函数型类型1：设，（1）上恒成立；（2）上恒成立。类型2：设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立若二次函数y=ax2+bx+c=0(a0)大于0恒成立，则有若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例1已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。例2.若不等式的解集是R，求m的范围。例3设，当时，恒成立，求实数的取值范围。例4. 已知，若恒成立，求a的取值范围.3.最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）恒成立2

4、）恒成立例1.（1）求使不等式恒成立的实数a的范围。（2）求使不等式恒成立的实数a的范围。例2在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。例3已知，当时，恒成立，求实数的取值范围。例4函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。 例5. 已知，若恒成立，求a的取值范围.例6设函数()求的最小值； ()若对恒成立，求实数的取值范围4.变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，从而问题转化为求函数的最值问题，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）恒成立2

5、）恒成立例1.已知对于满足等式x2+(y-1)2=1的一切实数x 、y,不等式x+y+c0恒成立，则实数c的取值范围是（ ）A (-,0 B ,+) C-1,+) D 1-,+)例2.已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围。例3已知函数时恒成立，求实数的取值范围。例4 已知函数，若在区间上，的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围.变式 若本题中将改为，其余条件不变，则也可以用变量分离法解.10（2010天津理数）（16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .5数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明

6、了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1）函数图象恒在函数图象上方；2）函数图象恒在函数图象下上方。例1若关于的不等式|x+3|+|x-1|>a恒成立,则a的取值范围是（ ）,A a4 B a<4 C a>4 D a4例2当x(1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范围。例3设 , ,若恒有成立,求实数的取值范围. xyO例4 设函数,若恒有成立,试求实数a的取值范围. 例5、已知关于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a的取值范围。分析：方程可转

7、化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x2+20x=8x-6a-3>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+20x及一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。例6已知，求实数a的取值范围。例7若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、6根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。例1若f(x)=sin(

8、x+)+cos(x-)为偶函数，求的值。.例2。是定义在R上的奇函数，且恒成立，当01时. ，求的值.例3 定义在R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有恒成立，求实数m的取值范围.例4 已知向量=(，x+1)，= (1-x，t)。若函数在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。（2005年湖北卷第17题）7 消元转化策略 例1 已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且f(1)=1,若，若对于所有的恒成立，求实数t的取值范围.8抽象函数的恒成立问题，赋特值求出相关解。例6. 已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意a、bR ，都满足，求，的值判断的奇偶性并证明.有解专题例1关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范围。练习题例2 （06年全国）设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围.例1 已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=