奥数：5-8-1数字谜语算式谜综合-题库

1、5-8 数字迷与算式迷综合教学目标数字迷从形式上可以分为横式数字迷与竖式数字迷， 从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字迷。横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字迷的一般解题技巧。主要涉及小数、分数、循环小数的数字迷问题，因此，会需要利用数论的知识解决数字迷问题知识点拨一、数字迷加减法1. 个位数字分析法2. 加减法中的进位与错位3. 奇偶性分析法二、数字迷乘除法数字乘法个位数字的规律 - 最大值最小值的考量 - 加减法进位规律 - 合数分解质因数性质 - 奇偶数性质规律 - 余数性质三、数阵图1. 从整体和局部两种方向入手，单和与总和2. 区分数阵图中的普通点（或方格） ，和关键

2、点（方格）3. 在数阵图的少数关键点 （一般是交叉点） 上设置未知数， 计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围4. 运用已经得到的信息进行尝试（试数）四、数字谜问题解题技巧1. 解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异；2. 要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行适当的估算；3. 题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性；4. 注意结合进位及退位来考虑；5. 有时可运用到数论中的分解质因数等方法例题精讲模块一、数字迷【例 1 】下面算式 (1) 是一个残缺的乘法竖式，其中2，那么乘积是【解析】如式 (2)

3、，由题意 a 2，所以 b 6，从而 d6由 22÷ c 60 和 c 2 知 c=3，所以 22是 225或 228， de 75 或 76因为 75×399 30 000 ，所以 de 76 再由乘积不小于 30000 和所有的 2，推出唯一的解 76× 396=30096【巩固】每个方框内填入一个数字，要求所填数字都是质数，并使竖式成立？7x【解析】一位质数只有2、3、5、7，且两位数乘以三位数都需要进位，相乘个位为质数的只有3-5和5-7，逐步递推，答案775X33【巩固】下面残缺的算式中，只写出了3 个数字1，其余的数字都不是1，那么这个算式的乘积是？【

4、解析】为了说明的方便，这个算式中的关键数字用英文字母表示很明显e= 0从 cab 的个位数是1，b 可能是 3， 7，9 三数之一，两位数ab 应是（ 100+f ）的因数 101，103，107，109 是质数， f=0或 5 也明显不行 102=17× 6，则 ab =17， C 只能取 3， cab317 ，不是三位数；104=13× 8,则 ab13 ，c 可取 7，c × ab =7× 13，仍不是三位数； 108=27× 4，则 ab =27，c 是 3cab327 ，还不是三位数只有106=53× 2， ab53 ， c

5、=7， cab753 是三位数因此这个乘法算式是故这个算式的乘积是3816。【例2 】 在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出： = _.【解析】比较竖式中百位与十位的加法，如果十位上没有进位，那么百位上两个 “” 相加等于一个 “”，得到“” 0 ，这与“”在首位不能为 0 矛盾，所以十位上的“ ”肯定进位，那么百位上有 “ 1 10 ”，从而“” 9 ，“” 8 。再由个位的加法， 推知“ 8 ”从而“ 98825”【巩固】在右边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs_ ？stvavtstttvtt【解析

6、】两个四位数相加得到一个五位数，显然这个五位数的首位只能为1，所以可以确定t1 ，那么百位不可能向千位进位，所以s v 11 ，十位向百位进了1 位，所以 v t t13 ，可得s 11 3 8 又因为 a tt ，所以 a 0 ，四位数 tavs 为 1038。【巩固】下图是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字已知 BAD 不是 3的倍数， GOOD 不是 8 的倍数，那么 ABGD 代表的四位数是多少B A DB A D GOOD【解析】首先可以确定D 的值一定是 0 ， G 的值一定是 1 ，所以 GOOBABA ，可见 GOO 为偶数，只能是 12

7、2、 144、 166 、 188 ，由于 BAD 不是 3 的倍数， GOOD 不是 8 的倍数，所以 GOO 不是 3 的倍数，也不是 4 的倍数，可以排除 144 和 188，再检验 122 和 166 可知只有 166 符合，此时 BAD 为830，所以 ABGD 的值为 3810 。【例 3 】下面算式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字爱好真知数学更好数学真好玩【解析】题中竖式为两个四位数相加得到一个五位数，这个五位数的首位只能为1，所以“数”1。再看千位，由于百位至多进1 位，而“爱”“数”1最大为9 1 111，所以“学”不超过1，而“数”为 1，所以“学”只能为 0

8、竖式变为爱好真知10更好 。1 0真好玩那么“真”至少为2，所以百位不可能进位，故“爱”1019 。由于“好”和“真”不同，所以“真”“好”1 ，十位向百位进1 位。如果个位不向十位进位，则“真”“更”“好”10 ，得到 “更”9 ，不合题意， 所以个位必定向十位进1 位，则“真”“更”1“好”10 ，得到“更”8 。现在，“真”“好”1 ，“知”“好”10“玩”“真”、“好”、“知”、“玩”为 2， 3， 4，5， 6， 7 中的数。由于“玩”至少为2，而“知”“好”最大为6713 ，所以“玩”为2 或 3。若“玩”为3，则“知”与“好”分别为6 和 7，此时无论“好”为6 还是 7，“真”

9、都会与已有的数字重复，不合题意。若“玩”为2，则“知”与“好”分别为5 和 7，只能是“知”7 ，“好”5 ，“真”6 。此时“数学真好玩”代表的数是10652。【巩固】 ( 2019 年清华附中入学测试题)如图，在加法算式中，八个字母“QHFZLBDX”分别代表0 到 9中的某个数字，不同的字母代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数“QHFZ ”的最大值是多少？2009QHFZQHLB1QHDX【解析】原式为 2009 QHFZ QHLB1QHDX ，即 QHFZQHDX1 QHLB20097991 DX LB为了使 QHFZ 最大，则前两位QH 先尽量大，由于DX LB 小于 100，所

10、以 QH 最大可能为 80若QH 80 ，则继续化简为 FZDXLB 9 现在要使 FZ 尽量大由于 8和 0 已经出现，所以此时 DX LB 9 最大为 9712976 ，此时出现重复数字， 可见 FZ 小于76而 96 12 975符合题意，所以此时 FZ 最大为75， QHFZ 的最大值为 8075【巩固】 (2019 年“迎春杯”高年级组复赛)将数字 1 至 9 分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位数最小是多少？12008【解析】 9 个方框中的数之和为45三个加数的个位数字之和可能是8， 18；十位数字之和可能是9， 10，19， 20；百位数

11、字之和可能是8， 9， 10，其中只有 1819845 所以三个加数的个位数字之和为 18，十位数字之和为19，百位数字之和为8要使加数中的四位数最小，尝试在它的百位填1，十位填 2，此时另两个加数的百位只能填3，4；则四位数的加数个位可填5，另两个加数的十位可填 8，9，个位可填6， 7，符合条件，所以加数中的四位数最小是1125【例 4 】如图所示的算式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字求使算式成立的汉字所表示的数字 .学数学爱数学喜爱数学2008【解析】 将竖式化为横式就是：1000喜200爱30数4学 =2008 ，从“ 喜 ”到“ 学 ”依次考虑，并注意到“喜”

12、、“爱”、“数”都不能等于0，可以得到： 喜1 ， 爱4 ， 数6 ， 学7 。【巩固】下面的算式中，同一个汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字团团圆圆大熊猫 .则“大熊猫”代表的三位数是【解析】 由于团团团11，圆圆 圆11，所以大熊猫团团圆圆团圆，也就是说“大熊猫”121这个三位数是121的倍数，那么“团圆”应小于9（否则团圆121为四位数），所以“团圆”最大为 8 . 因为“团 圆”为一位数，如果该数为质数，即2、3、5、7，则“团圆”中必有一个数为 1，则会使“猫”和“团”或“圆”中的一个数字相同，与题意不符，所以“团圆”为合数，即4、 6、 8，如果团圆4，则只有 22 ，与

13、题意不符，所以“团圆”只能为6或8，如果团圆6 ，则“团”和“圆”一个为2 ，一个为 3 ，而 22 33726 ，与题意不符，则团圆8 ，因此“团” 和“圆” 一个为 2 ，一个为 4 ，2244968 ，符合题意， 因此“大熊猫” 为968。.【例 5】将0、1、2、 3 、 4 、 5 、 6 这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的整数算式问填在方格内的数是多少？【解析】 题目要求用七个数字组成5 个数，说明有3 个数是一位数，有2 个数是两位数很明显，方框里的数和被除数是两位数，其余的被乘数、乘数和除数是1位数看得出来， 0 不能做被乘数和乘数，更不

14、能做除数，因而0 是两位数的个位数字，但不能是商的个位数字，即不能是方框里的两位数的个位数字，否则会使除数的个位也为0，从而只能是被除数的个位数字；乘数如果是1 ，不论被乘数是几， 都将在算式出现两次， 与题意不符， 所以，乘数不是 1同样乘数也不能是5 乘数如果有2，则被乘数只能是6，才能保证方格里的数是不含偶的两位数，但此时2 出现重复，所以乘数里面也没有 2被除数是3 个一位数的乘积，其中一个是5 ，另两个中没有1 ，也不能有2 ，因而被除数至少是3 45 60 由于没有比6大的数字，所以被除数就是60，而且算式是3 4 12 60 5 于是方格中的数是12【巩固】在算式： 2的六个方框

15、中，分别填入2，3，4，5 ，6，7这六个数字，使算式成立，并且算式的积能被13 整除，那么这个乘积是？【解析】 先从个位数考虑，有 22 4、 236、2 612、 2714 四种可能；再考虑乘数的百位只能是 2 或 3 ，因此只有三种可能的填法：2273546 ，2327654 ，2267534 ，其中只有 546能被 13 整除，所以这个积是 546 。【例 6 】如图所示的乘法竖式中，“学而思杯” 分别代表0 9 中的一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“学而思杯”代表的数字分别为学而思杯学而思杯_（【解析】 首先从式子中可以看出“思”0 ，另外第三个部分

16、积的首位只能为9，所以“学”只能为 3由于 3 个部分积都是四位数，而且第三个部分积的首位为9，所以它比其它两个部分积要大，从而“学”比“而”和“杯”都大，所以“而”和“杯”只能分别为1 和 2，这样“学而思杯”就可能 为3102或 3201分别进行检验，发现3102 31029622404，与算式不相符，而3201320110246401 符合，所以“学而思杯”代表的数字分别为3、 2、0、 1【巩固】在右边的乘法算式中， 字母A、 和 C 分别代表一个不同的数字，每个空格代表一个非零数字求BA 、 B 和 C 分别代表什么数字？ABCABC941【解析】 第一个部分积中的9 是 CC 的个

17、位数字，所以 C 要么是 3，要么是 7 如果 C3 ，第二个部分积中的4 是积 3 B 的个位数字，所以 B8 同理，第三个部分积中的1是积 3B 的个位数字，因此 A7 检验可知 A7，B 8，C3满足题意如果C 7 ，类似地可知B 2，A 3，但这时第二个部分积3272 不是四位数，不合题意所以A 、 B 和 C 代表的数字分别是7、 8、3.【例 7 】在如图所示的乘法算式中，汉字代表 1 至 9 这 9 个数字，不同汉字代表不同的数字若“祝”字和“贺”字分别代表数字“ 4”和“ 8”，求出“华杯赛”所代表的整数祝贺华杯赛 第十四届【解析】 根据题意可知“祝” 、“贺”、“华”、“杯”

18、、“赛”、“第”、“十”、“四”、“届”这9 个汉字恰好代表1 9 这 9 个数字，那么它们的和为45由于“祝”、“贺”分别代表 4 和 8，那么“祝贺”48 是3 的倍数， 则“第十四届” 也是 3 的倍数， 这样它的各位数字之和之和也是3 的倍数， 可知“祝”、“贺”与“第” 、“十”、“四”、“届”这6 个数的和也是 3 的倍数，那么“华” 、“杯”、“赛”这 3个数和也是 3 的倍数，从而“华杯赛” 这个三位数是 3 的倍数由于“第十四届” 等于 48 与“华杯赛”这两个 3 的倍数的乘积，所以它是9 的倍数从而“第” 、“十”、“四”、“届”这 4 个数的和是 9 的倍数由于“华”

19、、“杯”、“赛”、“第”、“十”、“四”、“届”的总和为454833 ，所以“第”、“十”、“四”、“届”这 4 个数的和可能为 27 或 18( 它们的和显然大于9) ，对应的“华” 、“杯”、“赛” 这 3 个数和是 6 或 15如果 “华”、“杯”、“赛” 这 3 个数和是6，则“华”、“杯”、“赛”分别为 1、 2、 3，如果“华”为 2，则“华杯赛”至少为213，则 48 21310224 ，不是四位数，所以“华”只能为1，这样“华杯赛”可能为123和 132，分别有 48123 5904 ，48 132 6336 ，都不符合；如果“华” 、“杯”、“赛”这 3个数和是 15，根据上

20、面的分析可知“华” 只能为 1，这样“杯”、“赛” 之和为 14，可能为 95 或86 ，由于“贺” 为 8，所以 “杯”、“赛”分别为 5 和 9，显然“赛”不能为 5，则“华杯赛”为159。【巩固】右边算式中， ( 大数减小数A 表示同一个数字，在各个中填入适当的数字，使算式完整) 是？那么两个乘数的差A1AA1【解析】 由 1AA1 能被 11整除及只有 11， 37 ， 99 的个位是1 ，所以A 可能为1，3，7 或9，而且1AA1可分解成 11 与 1 个一位数和一个两位数的乘积分别检验 1111、1331、1771、 1991，只有满足： 1771 11 7 23 ，可知原式是

21、77 23 1771 所以两个乘数的差是 77 23 54 。1771【例 8 】“迎杯×春杯=好好好” 在上面的乘法算式中, 不同的汉字表示不同的数字, 相同的汉字表示相同的数字。那么“迎+春+杯 +好”之和等于多少?【解析】 好好好 =好× 111=好× 3× 37， 100 以内 37 的倍数只有37 和 74，所以“迎杯”或“春杯”中必有1 个是 37 或 74，判断出“杯”是7 或 4。 若 杯 =7，则好 =9， 999/37=27 ，所以，迎 +春 +杯 +好=3+2+7+9=21 若 杯=4，则好 =6，666/74=9 ，不是两位数，

22、不符合题意。迎 +春 +杯+好 =3+2+7+9=21。【例 9 】电子数字 0 9 如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将右图的电子数字恢复，并将它写成横式形式：【解析】 可以看出乘积的百位可能是2 或 8，由于被乘数的十位和乘数都不能是9，最大可能为8，所以它们的乘积不超过898712 ，故乘积的首位不能为8，只能为 2 ；被乘数的十位和乘数要与图中相符，只能是0 、 2 、 6 或 8 ， 0 首先可以排除，所以可能为2、 6 或 8；如果被乘数的十位是 6 或 8 ，那么乘数无论是2 、 6 或 8 ，都不可能乘出百位是2 的三位数所以被乘数的十位是2 ，相应

23、得出乘数是8 ；被乘数应大于200825 ，可能为27、28 或 29，检验得到符合条件的答案： 288224【巩固】电子数字 0 9 如图 1 所示，图2 是由电子数字组成的乘法算式，但有一些已经模糊不清请将图 2 的电子数字恢复，并将它写成横式：abcde【解析】 设竖式如fig ，那么各个字母可以代表的数如下表hjklmnoa13456789b268c0268d268e2356789f68i01234789g08h268j45689k0489l23489m0235689n2345689o013456789 fj6 410lh 1h 2 或者 h8 ；若 h 8 ，那么 l9 ，并且 ad

24、 一定是 18、1 6或42 ，如果是 18，那么由于 b 2 ，所以 b d 进位，导致 h8，产生矛盾； 如果是 16，那么 b2 时 hjk 百位小于8， b6 时 hjk 百位大于8，也产生矛盾；所以只有可能a 4 ， d2，并可以得到 b2 ，考虑到 fig 是三位数，所以e2 ，再根据 g0 或 8，得到 c0 ，所得到的数42022式为840 若 h2 ，则可以得到 l3 ， a 1 ， d 2， b2( 因为 bd 10 ) ； 由于84092401221202527f 6 或 8 ，所以 e5 或者 e 7 当 e5 时，竖式610 成立；当 e7 时，竖式840244240

25、30503240成立。【例 10 】在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立已知商为奇数，那么除数为：efeabc102229d2000099d29d200【解析】先看除式的第二、三行，一个三位数减去一个两位数，得到一个一位数，可得这个三位数的前两位为 1、 0，这个两位数的十位数字为9，个位不能为0除数是一个三位数，它与商的百位和个位相乘，所得的两个三位数的百位都是9，那么可得商的百位和个位相同先将已得出的信息填入方框中，并用字母来表示一些方框中的数，如右图所示由于商为奇数，所以e是奇数，可能为 1、 3、 7、 9( 不可能为5) 若为 1，则 abc9d 2 ，而 abcf9d 2f 为

26、三位数，于是f1，又这个乘积的十位数字为0，而 d 不能为 0，矛盾所以 e 不为 1；若为 3，则 abc9d 23 ， d 可能为 1、 4、 7，abc 相应的为 304、314、 324当 abc 为 314 和 324 时 abcf 所的结果的十位数字不可能为0，不合题意； 若 abc 为 304，则 f 可能为 1 或 2，经检验f 为 1 和 2 时都与竖式不符，所以 e也不能为 3；若为 7，则 abc 9d 2 7 ，只有 d 5 时满足，此时 abc136 ，那么 f 3 经检验满足题意；若为 9，则 abc 9d 2 9 ， d 只能为 7，此时 abc108 ， f则只

27、能为 1经检验也不合题意所以只有除数为136 时竖式成立，所以所求的除数即为136模块二、数阵图数表【例 11 】将 1 9 填入下图的中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数【解析】根据题意可知 1的两边只能是3与 7 ； 2 的两边只能是6 与 9 ；3 的两边只能是1、5 或 8；4 的两边只能是7 与 9可以先将3 1 7- 写出来，接下来7 的后面只能是4， 4 的后面只能是9， 9的后面只能是2， 2 的后面只能是6，可得： 3 1 7 4 9 2 6- ，还剩下5 和 8 两个数由于 6 8 14 是 7 的倍数，所以接下来应该是 5，这样可得： 31 7 4 9 2

28、6 5 83检验可知这样的填法符合题意【例12 】将正整数从拐角处，是1开始依次按如图所示的规律排成一个“数阵”，其中 2 在第 1个拐角处，3 在第 2 个5在第 3个拐角处， 7在第 4个拐角处，那么在第100个拐角处的数22211098720112161912345181314151617【 解析】我们可列表观察拐角处的数有什么特征第 0个拐角： 1第1个拐角： 2 1 1第2个拐角：3 2 1111第3个拐角：5321112第 4个拐角： 75211122第 5个拐角：1073111223第 6 个拐角：131031112233第 7 个拐角：1713411122334第 8 个拐角：

29、2117411122334 4由此可知，第n 个拐角处的数等于 11122n21n1n1 （ n 为奇数时）22 11122nn （ n 为偶数时）22所以第100 个拐角处的数为 1112250 501212350 2551 .【例 13 】一列自然数： 0 ，1， 2， 3 ， 2024 ，第一个数是0 ，从第二个数开始，每一个都比它前一个大 1，最后一个是 2024 现在将这列自然数排成以下数表规定横排为行，竖排为列， 则 2005在数表中位于第 _行第 _列。【解析】观 察 可 知 第 n 行 的 第 1 个 数 是21由于n 1 ， 第 n 列 的 第 1 个 数 是 n244219

30、362005 2025 452 ， 所 以 第45行的第1个数是1936，第 45列的第1个数是2025 12 02由于4 2024 2005 1 20，所以 2005 在第 20 行第 45列【例 14 】下表一共有六行七列，第一行与第一列上的数都已填好，其他位置上的每个数都是它所在行的第一列上的数与所在列的第一行上的数的积，如 A 格应填的数是 1013 130，求表中除第一行和第一列外其它各个格上的数之和？【解析】第二行上除去第一列的数的和为89111315319第三行上除去第一列的数的和为129111315319，最后一行除去第一列后所有数的和为169111315319将这些式子相加可

31、得到所有要求的格子上的数的和为：81214101691113153194200【 巩固】将最小的 10 个合数填到图中所示表格的 10 个空格中，要求满足以下条件：（ 1）入的数能被它所在列的第一个数整除（ 2）最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大。那么，最后一行中5 个数的和最小是【解析】最小的 10个合数分别是4， 6 ，8， 9 ，10， 12，14，15 ，16 ，18 这 10 个合数当中 10 和 15 一定是在 5 的下面，其中15 在最后一行； 4 、 8 、 14、 16 一定是在 2 和 4 下面，其中 14 一定在 2的下面；剩下的 6 、 9 、 12、 18 在

32、3 或 6 下面，其中9 一定在 3 的下面，对 2 和 4 所在的列和 3 和6 所在的列分别讨论4 、 8 、 14 、 16 ，这四个数中最大的数16一定在最后一行，最小的数4 一定在第二行， 所以 2 和4所在的列中最后一行的数的和最小是168 24 ，当14、16在 2 下面， 4和 8 在 4下面时成立；6 、 9 、 12 、 18 ，这四个数中最大的数18 一定在最后一行，最小的数6 一定在第二行， 所以 3 和 6 所在的列中最后一行的数的和最小是18927 ，当 12 和 18 在 6 下面， 6和 9 在 3下面时成立所以最后一行的5 个数的和最小是24152766 。【

33、例15 】如图，大、中、小三个正方形组成了 8 个三角形，现在把 2、4、6、8 四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把 2、 4、 6、 8 分别填在中正方形的四个顶点上；最后把 2、 4、 6、 8 分别填在小正方形的四个顶点上能不能使 8 个三角形顶点上数字之和都相等？能不能使 8 个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由244826264886【解析】 不能如果这8 个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于S 考察外面的4 个三角形，每个三角形顶点上的数的和是S ，在它们的和4S 中，大正方形的2、4、6 、 8各出现一次，中正方形的2、

34、4、6、8各出现二次，即4S2468360 得到S60415 ，但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这8 个三角形顶点上的数字之和不可能都相等由于三角形3 个顶点上的数字之和最小为2226 ，最大为 88824 ，可能为6、 8、10、 22、 24，共有 10 个可能的值，而三角形只有8 个，所以是有可能做到8 个三角形的顶点上数字之和互不相同的根据对称性，不妨舍去这10 个可能值的首尾两个，把剩下8 个值 (8 、10、 12、 14、16、 18、 20、22) 作为 8 个三角形的顶点上数字之和进行尝试，可以得到满足条件的填法，右上图就是一种填法模块三、数字迷竞赛

35、选题【例16 】请将 112这12 个自然数分别填入到右图的方框中，每个数只出现1 次，使得每个等式都成立()2008|126【解析】我们先从第三列入手， 设这四个数从上到下依次为a，b ， ，d ， abcd6 ，故 ab6 ，c而 a 12 ，若 b 2 ，则 ab 不可能大于 6，所以 b 只能为 1； abcda cd6，由于 c d ，故 cd 2 ，所以 a 62 ，即 a 8 ； 分析第三行， 设第三行的前两个数分别为x ，y ，则 xy c0 . 由于 x 12 ，而 y 2（ 1 已经被 b 占用），故 c 6 ，而 d 2 ，则 cd 3 ，所以 a 639 ，结合可知 a

36、 只能为 8 或 9 ; 若 a 9 ，则 c d963 ，有 c6 ， d2 ，而此时 y 3（1， 已经分别被 b ，d 占用），则 xyc 3 618 ，和题目条件矛盾；若 a8 ，2则 c d 8 62 ， 有 c6 ， d3 或 c4 ， d2 . 若 c6 ， d3 ， 则 y 只 能 为 2 ，x y c6 212 ，则第四行中的被除数只能为9 （ 3 的倍数只剩下9 ），第四行算式为5 9 3 8 ，此时还余下4 ， 7 ， 10 ， 11这四个数，而第一行中的两个加数的和为2a16，不在这四个数当中，所以这种情况不成立，因此c4， d 2 ，可得 y 只能为3 ， x 为 1

37、2 ，此时第四行中的被除数为偶数，只有6 和 10 ，经试验只能为6 ，则第四行算式为5 6 2 8（如被除数为 10 则第四行算式为 3102 8 ，而 3已被占用） 剩下的 4 个数为 7 ，9 ，10 ，11中只有 7 和9 能满足第一行7 982 最终的结果如下图所示 .( 79)82111010123405628|126【例 17 】将1， 2，3，4，5，6，7 ， 8 这八个数字分别填入右图的八个中，使得图中的六个等式都成立则_+=a + b =3+1=4+ + =c + d =2+6=8+=+=5+ 7= 12【解析】如图，用字母表示中的数字，那么第三行的两个中的数分别为ac

38、和 bd ，第三列的两个 中 的 数 分 别为 a b 和 cd ， 那 么 中 的 数 为 a b cd 由于 八 个 中 的数 之 和 为3(abcd )，而这八个数分别为1， 2， 3，4 ， 5，6，7，8， 所 以ab cd(1238)3 12，故中的数为 12 可见，不用知道每个中的数具体是多少就可以求出中的数，但是我们还是应该求出八个中的数具体是多少因为12只能等于48或者57，所以第三行的两个加数和第3 列的两个加数应分别为4， 8或 5，7，而 4又只能等于 13 ，相应地， 8 只能分解为26 ，即第一行和第二行的两个加数应分别为1， 或2， ，具体排列如右上图所示（填法不唯一）。【巩固】下图中有五个正方形和12 个圆圈，将 112 填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等那么这个和是多少?861102912311457【解析】设每个正方形四角上圆圈中的数字之和为x ，则由5 个正方形四角的数字之和，相当于将112相加，再将中间四个圆圈中的数加两遍，可得：12122 x5x ，解得x26 ，即这个和为 26具体填法如右上图。【例18】请将 1，2，3， 10 这 10 个自然数填入图中的内数字之和都相等那么乘积ABC10 个小圆圈内，使得图中的？10 条直线上圆圈ABC【解析】对于本