椭圆型方程的有限差分法

1、精品资料欢迎下载第 4章 椭圆型方程的有限差分法§2一维差分格式1、用积分插值法导出逼近微分方程的差分格式。Lu=-d(p du )+r du +qu=f,a<x<b,dxdxdxu(a)= ,u(b)=.解：考虑在 a,b 内任一小区间 x(1) , x(2) ，将上式在此区间上积分得x(2)ddux( 2)dux( 2)x( 2)-)dxx(1) qudxx(1)f dxx(1)dx( p( x)x(1)r dxdxx(2)dxx( 2)x(2)或(1)(2)duW ( x ) W ( x)x(1) rdxx(1) qudxx(1)f dx（ 1.1）dx其中，( )

2、(x) du（ 1.2）W xpdx特别地，取 x(1) , x(2) 为对偶单元 xi1/ 2 , xi 1/ 2 ，则W (xi 1/ 2 )W ( xi 1/ 2 )xi 1/ 2duxi 1/ 2xi 1/ 2rdxqudxf dx 。xi 1/ 2dxxi 1/ 2xi 1/ 2将（ 1.2）改写成 duW (x) ，再沿 xi 1/ 2 , xi 1/ 2 积分，得 uiui 1xidxp(x)xi 1W ( x)dx ，利用中p(x)矩形公式，得Wi1/ 2aiuiui1 ,ai1xidx 1（ 1.3）hihixi 1p(x)xi1/2qudxhihi1diui ,di2xi

3、1/2又2hihi 1q(x)dx（ 1.4）xi1/2xi 1/ 2xi1/2r du dxbiui1 ui 1,bihi2xi1/ 2r ( x)dx（ 1.5）xi1/2dx2hi11/ 2xi2xi 1/2ihihi 1f ( x)dx（ 1.6）xi 1/ 2将（ 1.3）（ 1.5）代入（ 1.1），即得微分方程的差分格式ai 1ui 1uiaiuiui 11 (hihi 1) diuibi ui 1ui 11 (hi hi 1)i 。hi 1hi222如果系数p,q,r 以及右端 f 光滑，则可用中矩形公式计算得精品资料欢迎下载aipi1/ 2p( xi1/2 ),diqiq(

4、xi ),birir (xi ),ifif ( xi ).2、导出 a1u1 u0(0h1 d0 )u0( 1h10 )0 对 p(a)u ( a)0u(a) 1 的逼近h122阶。解： a11x11dxp0p(a) ，h1x0p( x)d2x1qdxq q( a) ，2x1fdxff (a)02020h1x00h1x0记 Lu (a)p(a)u (a)0u(a)1 ，hu1u0(h1q0 )u0( 1h1f0 )L u(a)p0h1022u(a)h1u ( a)h12u (a)O(h13 )p( a)2h1p( a) u (a)h1 u ( a)O( h12 )( 02R0 (u) Lh u

5、(x0 ) Lu ( x0 )h1 p(a)u ( a)2则逼近阶为 O (h2 ) 。u0h1 q0 )u0 ( 1h1 f0 )(022h1 q0 )u0( 1h1 f0 )22h1 q0u0h1 f0O(h2 )22§3矩形网的差分格式1、 用积分插值法构造逼近方程(ku)(k)(k )f（ * ）xxyy的第一边值问题的五点差分格式，这里kk (x, y)kmin0解：考虑 xy 平面上一有界区域G，其边界为分段光滑曲线，且满足第一边值条件：u( x, y) |( x, y),( x, y)G取定沿 x 轴和 y 轴方向上的步长h1和 h2 ，并作对偶剖分。记 xi 1/ 2

6、(i1) h1，2精品资料欢迎下载yj 1/ 2( j1)h2 ,作两族与坐标轴平行的直线xxi 1/ 2和 y= yi 1/ 2 , i, j0,1,. ，其交点2属于 G 内部者为对偶剖分的内点，直线与边界的交点为对偶剖分的界点。对于任一正则内点 ( xi , y j ) ，考虑对偶剖分的网点：A( xi 1/2 , yj 1/ 2 ) ， B( xi 1/ 2 , yj 1/ 2 ) ， C ( xi 1/ 2 , y j 1/2 ) ，D( x, yj 1/ 2)，用 ?Gij ，于Gij 上i 1/ 2ABCDA 表示以 A,B,C,D 为顶点的矩形， 其内部区域记为对（ * ）积分

7、。k (x, y)udxdyyi 1/2k (xi 1/ 2, y)u( xi 1/ 2 , y) k( xi 1/ 2, y)u( xi 1/ 2 , y) dy?xABCDAxyi 1/2xx利用中矩形公式有?xk (x, y)udxdyk(xi1/ 2 , y j )u( xi1/ 2 , yj )k ( xi 1/ 2 , yj )u(xi1/ 2 , y j )h2ABCDAxxx类似地有?yk (x, y)udxdyk (xi , yj 1/ 2 )u( xi , y j 1/ 2 )k( xi , y j 1/ 2 )u(xi , yj 1/ 2 )h1ABCDAyyy此外有f

8、(x, y)dxdyf ( xi , y j )h1 h2G ij将上面的积分近似式中出现的偏导数用差商代替，代入（* ）式，并同时除以h1 h2 ，就得到（ * ）式的差分方程：12 ki 1/ 2, j (ui 1, juij ) ki 1/ 2, j (ui , j ui 1, j )12 ki , j 1/ 2 (ui , j 1 uij )ki, j 1/ 2 (ui, j ui, j 1 ) fijh1h2u k 2u1,x2y212、 用差分法求解边值问题u0, x2y21, k 1,5,10。解 ： 令 x r cos,yr sin， 则 整 个 xy平 面 变 成 r 平 面

9、 上 的 半 带 形 域0 r1,02 ，从而 u( x, y) 满足的上述边值问题转化为极坐标形式下u(r , ) 满足的边值问题就可转化为r , u1ru12uk 2u(r , )1, (r , ) G (0,1)(0,2 )r rrr 22u |r 10首先关于区域G 分别取等步长 hr1/ N , h2/ M 进行网格划分，令精品资料欢迎下载ri1ihr ,i0,1,2,L , N1j jh ,j 0,1,L , M 1这样就在 半带形 区域上形成了网格节点( rj , j ) ，再对变量r 的取值范围(0,1) 作对偶剖分r 11 (i1 )hr , i 0,1,2,L , N1 。作中心差分得：22iurur1, juijur1, rr ( r1 ,j )i2hrri2rur1, juij1hri( r1,j )2i21(r)1r urur rr ( r i , j)hr rir ( r1, j )ri212 u1 ui , j 12uij ui , j 1r 22( r i , j )ri 2h21r1 ui 1, j( r1i2i2( ri1 , j )ri2ri1 )uijri1 ui 1, j22hr2代入到原边值问题中，则得到差分方