椭圆及其性质知识点题型总结

1、学习必备精品知识点椭圆知识清单1.椭圆的两种定义：平面内与两定点 F1，F2 的距离的和等于定长2a 2aF1F2的动点P 的轨迹，即点集M=P| |PF 1|+|PF2|=2a，2a|F1F2| ；（2aF1 F2时为线段 F1F2 ，2aF1 F2无轨迹）。其中两定点 F1， F2 叫焦点，定点间的距离叫焦距。平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1 的正常数的点的轨迹， 即点集PFe ， 0e 1的常数。（ e1为抛物线； e1为双曲线）M=P|d（利用第二定义 , 可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线） .2 标准方程：（1）焦

2、点在 x 轴上，中心在原点：x2y 21（ a b 0）；a2b 2焦点 F1（ c， 0），F2（ c， 0 ）。其中 ca 2b2 （一个 Rt 三角形）（ 2）焦点在 y 轴上，中心在原点：y2x 21（ a b 0）；a2b2焦点 F1（ 0， c）， F2（0， c）。其中 ca2b 2注意： 在两种标准方程中，总有 a b 0，ca2b 2并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （ A 0， B 0， A B），当 A B 时，椭圆的焦点在x 轴上， A B 时焦点在 y 轴上。xa cos3 参数方程： 焦点在 x 轴，bsin（为参数）y

3、4 一般方程： Ax2By21( A0, B0)5.性质： 对于焦点在 x 轴上，中心在原点：x2y21（ ab 0）有以下性质：22ab坐标系下的性质： 范围： |x| a， |y| b； 对称性： 对称轴方程为x=0， y=0 ，对称中心为O（0， 0）； 顶点：A （ -a，0），A （a，0），B （ 0，-b），B（ 0，b），长轴 |A1A2 |=2a，短轴 |B1B 2|=2b ；1212（ a 半长轴长， b 半短轴长）； 椭圆的准线方程：对于 x2y 21，左准线l1 : xa 2；右准线 l 2 : xa 2a2b2cc学习必备精品知识点对于 y2x21，下准线 l1 :

4、ya 2；上准线 l 2 : ya 2a2b2cc焦点到准线的距离pa2ca2c 2b 2（焦参数）ccc椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 焦半径公式： P（x0， y0）为椭圆上任一点。|PF1|= r左 =a+ex0，|PF2|= r右 =a-ex0 ；|PF1 |=r下 =a+ey0， |PF2|= r上 =a-ey0PF maxa c, PF min a c ，左加右减，上减下加 通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短 =2b2a平面几何性质： 离心率： e= cc21baa2a是圆。2（焦距与长轴长之比）

5、0,1 ；e 越大越扁， e0 焦准距 pb 22a2；准线间距cc 两个最大角F1PF 2 maxF1 B2 F2 ,A1 PA2 max A1B2 A2焦点在 y 轴上，中心在原点：y2x 21（ a b 0）的性质可类似的给出。a2b 26焦点三角形 应注意以下关系：(1) 定义： r 1 r 2 2a(2)余弦定理： r12 r22 2r 1r 2cos (2 c) 2(3)面积： SPF 1F 2 1 r 1r2 sin 1·2c|y0 |= c |y0 |= b2tan222( 其中 P( x0 , y0 ) 为椭圆上一点， |PF | r ， |PF | r，FPF )

6、1122127. 共 焦 点 的 椭 圆 系 设 法 ： 把 椭 圆 x2y21 （ a b 0 ） 的 共 焦 点 椭 圆 设 为a2b 2a2x2y21(b2 )b28. 特别注意： 椭圆方程中的 a,b,c,e 与坐标系无关 , 而焦点坐标 , 准线方程 , 顶点坐标 , 与坐标系有关 . 因此确定椭圆方程需要三个条件 : 两个定形条件 a,b, 一个定位条件焦点坐标或准线方程 .学习必备精品知识点x1b1x29. 弦 长 公 式 ： AB1 k2x1x21 k2a12 y1y2ackx1x2a（a,b,c 为方程的系数考点解析考点一椭圆定义及标准方程题型 1: 椭圆定义的运用例 1 .

7、 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、 B 是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为 2c，静放在点 A 的小球（小球的半径不计） ，从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（）A 4a B 2(a c)C 2(a+c)D以上答案均有可能yPCDOxABQ例 2.点 P 为为椭圆 x2y 21(a b 0) 上一点， F1 、 F2 是椭圆的两个焦点，试求：a2b2PF1 PF2 取得最值时的P 点坐标。题型 2 求椭圆的标准方程例 3. 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴

8、，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4 2 4，求此椭圆方程 .学习必备精品知识点考点二椭圆的几何性质题型 1: 求椭圆的离心率（或范围）例 4.在ABC中， A300 ,| AB | 2, S ABC3 若以 A， B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率 e题型 2: 椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）x2y21, 求 x2y2x 的最大值与最小值例 5.已知实数 x, y 满足 42考点三椭圆的最值问题题型 1:动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值x2y2椭圆 161xy 9 0的距离的最小值为 _例 6.9上的点到直线 l:题型2.1、

9、的最值若 A 为椭圆内一定点（异于焦点），P 是 C 上的一个动点，F 是 C 的一个焦点， e 是 C 的离心率，求的最小值。例 7. 已知椭圆内有一点A （ 2， 1）， F 是椭圆C 的左焦点， P 为椭圆C上的动点，求的最小值。2、的最值若 A 为椭圆 C 内一定点（异于焦点），P 为 C 上的一个动点， F 是 C 的一个焦点，求学习必备精品知识点的最值。例 8 已知椭圆内有一点A （2， 1）， F 为椭圆的左焦点，P 是椭圆上动点，求的最大值与最小值。3、的最值若 A 为椭圆 C 外一定点，为 C 的一条准线， P 为 C 上的一个动点，P 到的距离为d，求的最小值。例 9. 已

10、知椭圆外一点 A （ 5，6），为椭圆的左准线，P 为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。4、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例10.定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M 到椭圆右准线的最短距离。考点四直线与椭圆相交问题题型 1 直线与椭圆相交求弦长(1) 常用分析一元二次方程解的情况，仅有还不够，且用数形结合的思想。(2) 弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但>0 这一制约条件不同意。x1b1x2AB1 k2x1x22a （ a,b,c 为12 y1 y21 kakcx1 x2a学习必备精品知识点方程的系数）例 11.已知直线 l 过椭圆 8x29

11、y 272 的一个焦点， 斜率为 2， 与椭圆相交于M 、N 两点，l求弦 MN 的长。题型 2“点差法”解题。 “设而不求”的思想。当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解。步骤： 1.设 A(x 1,y1) B(x 2,y2)分别代入椭圆方程；y1y2b 2 (x1x2 )b2 x02.设 p( x0 , y0 ) 为 AB 的中点。 两式相减，x2a 2 ( y1y2 )a2 y0x13.得出 ky1y2x1x2x2y 2b2注：一般的，对椭圆a 21上弦 AB 及中点， M ，有 K AB K OMa 2b2例 12.已知椭圆

12、 x2y21， 求斜率为2 的平行弦的中点轨迹方程2考点五 .轨迹问题这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x， y)，直接列出动点所应满足的方程。2.代入法：一个是动点Q(x 0,y0)在已知曲线F(x,y)=0 ，上运动，而动点P(x,y) 与 Q 点满足某种关系，要求P 点的轨迹。其关键是列出P、 Q 两点的关系式x0f ( x, y)yoy( x, y)3.定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。4.参数法：在x， y间的方程 F(x,y)=0xf (t)难以直接求得时，往往用(t 为参数 )yy(

13、t )来反映 x， y 之间的关系。常用的参数有斜率k 与角等。学习必备精品知识点例 13：ABC 的一边的的顶点是B(0,6) 和 C(0,-6)，另两边斜率的乘积是轨迹方程：考点六综合性问题，与平面向量结合（2011 四川卷理）（本小题满分12 分）椭圆有两顶点A(-1 ， 0) 、 B(1 ， 0) ，过其 焦点 F(0 ， 1) 的直线l 与椭圆交于 C、D 两点，并与 x 轴交于点 P直线 AC与直线 BD交于点 Q4 ，求顶点 A 的9(I)当| CD|=32 时，求直线 l 的方程；2(II)当点 P 异于 A、 B 两点时，求证： OP OQ为定值。解：由已知可得椭圆方程为y2

14、x21，设 l的方程为 y1 k( x0), k 为 l的斜率则2ykx 1x1x 22 ky1y 24222k 22k 2y2(2 k) x2 kx1 0x 2112 k 22x1 x2y1 y2222k 22k( x1x2 ) 2( y1y2 ) 28 k 288k 48k 29k 22k2(2k 2 ) 2(2k 2 ) 22l 的方程为 y2x1 或 y2x 1为所求（）当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符设直线 l 的方程为 y kx1， (k0且k1)，所以 P 点坐标为 (1,0) 2kk1设 C (x1, y1 ) ， D ( x2 , y2 ) ，由（）知 x1x2， x1

15、x2，22k2k 2直线 AC 的方程为 yx1y1(x1) ，直线 BD 的方程为 yy1(x1)1x21将两直线方程联立，消去y 得 x1y2 (x11) x1y1( x21)学习必备精品知识点因为1x1, x21，所以 x1 与 y2异号x1y1x12222( x12(1x1 )(1x2 )2y2 ( x11)2 x21)()2222( x22(1x1 )(1x2 )x1y1 ( x21)2 x11)12k122k 22k12 k()2 k1k1122k 22k又 y1 y22k( x1x2 ) 12(1k )(1k )2(1k ) 2k1k x1 x2k22k22k1k1 与 y1 y

16、2 异号， x1 与 k1 同号，k1x1k1x1k1 ，解得 xkx1k1因此 Q 点坐标为 ( k , y0 ) ，OP OQ(1 , 0) ( k , y0 ) 1k故 OP OQ 为定值（2013四川卷理）（本小题满分12 分）已知椭圆 C ： x2y2b 0) 的两个焦点分别为F1 ( 1,0), F2 (1,0) ，且椭圆 C 经过22 1,( aab点 P(4,1) 33（）求椭圆 C 的离心率；（）设过点A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点，点 Q 是线段 MN 上的点，且211，求点 Q 的轨迹方程|AQ |2|AM |2|AN |2解： (1) 由

17、椭圆定义知，422222a | PF|PF|1141，12 2123333所以 a2 .又由已知， c 1.c12所以椭圆 C的离心率 e2.a2(2) 由 (1)知，椭圆 C的方程为x22 y 1.2学习必备精品知识点设点 Q的坐标为 ( x，y) (1) 当直线 l与 x 轴垂直时，直线l 与椭圆 C交于 (0,1)，(0 ， 1) 两点，此时点 Q的坐标为0, 23 5.5(2) 当直线 l与 x 轴不垂直时，设直线l 的方程为 y kx2.因为 M， N在直线 l 上，可设点 M， N的坐标分别为 ( x1， kx12) ， ( x2， kx2 2) ，则| AM|2222(122 (1k )x1 ， | AN| k )x2 .又| AQ| 2 x2 ( y 2) 2 (1 k2) x2.由221212，得|AQ | AM| AN|211，1 k 2 x 21 k 2 x121 k 2 x2 2即 211x1x222 x1 x2 . x2x12x2 2x12 x2 2将 y kx 2 代入 x2y2 1 中，得2(2 k2 1) x2 8kx 6 0. 由 (8 k) 24×(2 k21) ×6 0，得 k2 3 .2由可知， x1 x28k， x1x26，12k 22k 2