正式高一数学必修(I)复习及部分典型题目分析

1、学习必备欢迎下载属于元素与集合的关系集合的概念不属于集合分类列举法集合的表示方法描述法集 合韦恩图法真子集包含关系子 集集合与集合的关系相 等交集集合的运算集合知识的运用并集补集定义域函数的概念值域对应法则列表法映射函数函数的表示方法图象法解析法单调性函数的性质一次函数与二次函数指数函数奇偶性函数的零点二分法一次函数的性质与图象二次函数的性质与图象二次函数零点的判断指数方程函数的应用基本初等函数（反函数）对数方程复合函数单调性对数函数幂函数其他函数概念图象应 用性质图象变换奇偶性例 1.设全集 U为R，A x | x2px 120, B x | x25x q 0 ，若(CU A)B2，A(CU

2、 B)4，求 AB 。解析：(CU A)B 2,2B,且 2A学习必备欢迎下载又A(CU B)4,4A,且4B424 p12022,10q0解得： p 7，q 6，所以 A=3 ，4，B2，3，从而 A B2，3，4点评：(CU A)B 2,2 CU A,2B,从而 2A ；这主要是依据“ aAaCU A”它也可以进一步推出如下性质：A (CU A),A (CU A) U例 2.已知集合A x | x24x30, B x | x2axa10, C x | x 2mx10，且ABA, ACC ，求 a、 m 的值或取值范围。解析：A1,3, B x | ( x1)( x1a) 0,ABABAa1

3、3或a11 ，所以 a 4 或 a2；又 A C C C A若 C，则m24 0, 2 m 2；若 1C，则 12 m 1 0，所以 m 2，此时 C1 ，A C C。1013,若 3C，则 93m 1 0，所以 m3 ，此时 C3不是 A 的子集， A CC，10所以 m 3 。综上所述， a 4 或 a 2， 2<m 2。点评： 本题涉及转化（化归）思想，如ABABA, ACCCA ，还涉及分类讨论的思想，如对集合C 的讨论，但不要漏掉空集这一情况。ax 23在区间 3,2 上的最大值为例 3.已知函数 f ( x)( 2a 1)x21，求实数 a 的值。解析： 若 a 0， f（x

4、） x 3，在区间3 ,21，不符合题意。2上的最大值不为12a所以 f ( x)ax2(2a1) x3 是一个二次函数，其图象的对称轴方程为x2a。f（ x）的最大值应为f (3 ), f ( 2), f (12a )根据二次函数的性质，22a中的一个：f ( 3)1a10x12a23 3,2（ 1）若2，解得3 <0，而此时对称轴2a202，f (23 )1故最大值应为20，不符合题意。（ 2）若 f (2)a3x12a13 ,21，解得4 >0，且此时对称轴2a32，且距右端点 2 较远，所以f (2) 1 最大，符合题意。学习必备欢迎下载（ 3）若f (1 2a ) 1a1

5、(3 22)a1(3 22 )2a2，经验证可知只有2合适。a3a3222综上所述，4 或。点评： 首先应搞清二次项系数a 是否为零，如果a 0，则 f（ x）的最值就受a 的正负和对称轴的位置的影响，解答时必须注意，必要时应该讨论。lg 5 lg 800lg32(lg 2 3 )2lg 0.00032例4.计算1.25lg 5(lg 8lg 100)1 (lg 32lg 5)3(lg 2) 2(lg 32 lg 10 5 )解析： 原式24lg 5(3 lg 22)1 (5 lg 2lg 5 2 lg 2)3(lg 2) 2(5 lg 25)23lg 5lg 22 lg 57lg 21lg

6、53(lg 2) 25lg 25223(1lg 2) lg 23 (1lg 2)3 lg 23(lg 2) 2522356 122点评：关于指数函数的运算，历来都是重点考察的基本知识，变形时要根据各式的结构特征，决定采用正用、反用还是结合其它公式运用运算性质。本题中强化了lg2+lg5=1 的运用，这也是要求同学们熟练掌握的知识。例 5. 设 a>0，且 a 1，若 Plog a ( a31), Q log a ( a 21) ，试比较 P 与 Q 的大小。解析：（ 1）当 0 <a <1 时，由y ax在（， +）上递减可知 a3a 2，从而a 31 a21又当 0<

7、a<1 时，函数 ylog a x 在（ 0， +）上递减，所以 log a (a 31)log a ( a21)，即 P>Q（ 2）当 a > 1时，由 y ax 在（， +）上递增可知a3a2 ，从而 a31a 21又当 a>1 时，函数 ylog ax 在（ 0， +）上递增，所以 log a (a 31)log a ( a21)，即 P>Q综上所述， P > Q点评：本题利用指数函数和对数函数的单调性比较函数值的大小，要注意逐层分析的策略和分类讨论的思想方法。例 6. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000 元，每生产一台仪器需增加投入100R

8、 ( x)400 x1x 2 ,0x40080000 ,2x400元，已知总收益满足函数，其中 x 是仪器的月产量。（ 1）将利润表示为月产量的函数f （ x）；（ 2）当月产量为何值时，公司所获利最大？最大利润为多少元？（总收益总成本利润）学习必备欢迎下载解析：（ 1）设月产量为x 台，则总成本为20000 100x，从而f ( x)1x 2300 x20000 ,0x 400260000100 x,x400f (x)1 (x300)225000（ 2）当 0 x400 时，2；当 x 300 时， f ( x) max25000 ；当 x>400 时， f ( x)60000100x

9、 是减函数，f ( x)6000010040025000 ，所以当 x300 时，利润最大为25000。点评：在函数应用题中， 已知的等量关系就是解题的依据，像本题的利润总收益总成本，又如销售额销售价格×销售量等，像几何中的面积、 体积等也常用来构造函数关系。另外，本题中也涉及了对分段函数问题的处理，思路是“分段函数分段解决”。例 7. 邻居老张购买一套没有装修的门面框架房，面积x 平方米，购价1000 元 /米 2，办理产权以及杂费 1 万元，装修费按8000x 元计算，问：（ 1）一共要多少元钱？200 元 /米 2 计算，五年后门面的成本价不变（ 2）装修后，将此门面出租，租金

10、以每年（即购买价），计算获取利润y 与 x 的关系？（ 3）他计划赚取利润1 万元，门面的面积至少多少？（ 4）若他事先花去的所有资金都是从银行以10的年利率贷款而来（计复利） ，并计划 五 年 后 一 次 性 归 还 ， 问 他 是 否有 利 可 图 ？ 说明 理 由 。（ 当p 较 小时 ， 可 用 公 式(1 p) 51 5 p 计算）解析：（ 1）一共花去 1000 x8000x100001000 ( x8 x10) 元（ 2） y 5200 x 1000 x1000 ( x8 x 10 ) 1000 ( x 8 x10 )（ 3）令 y 10000，则 1000( x8x10)100

11、00( x4)236x100 ，所以他至少要购买面积为100 米 2 的门面。（ 4）五年后一次性归还给银行的资金为1000 ( x8 x10)(10.1)51000 ( x8x 10)(1 0.5)1500 ( x8 x10)令 1000( x8 x10)1500 (x8x10) 1000 x即 x40 x500, (x20) 2450 ，解得x20152 ，所以 x850600 2 ，即只有当 x850600 2 时才有利可图。点评：实际问题实际分析， 把问题所涉及的每一个细节分析清楚是解应用题的基本要求，另外特别注意平均增长率的问题和复利问题。【模拟试题 】满分 150 分，时间为 12

12、0 分钟一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设集合 P 1,2,3,4， Q x x2, x R ，则 PQ 等于（）学习必备欢迎下载（A） 1,2（ B） 3,4（C） 1（ D）2,1,0,1,22.函数 ylog 2 1x2 x 的定义域为（）（A） 0,2（ B） 0,2（ C）1,2（ D）1,23.设 lg 2 a ， lg3b ，则 log 5 12（）2a ba 2b2a ba2b（ A ） 1 a（ B） 1 a（ C） 1 a（ D） 1 a4.将进货单价为 80元的商品按 90 元出售时，能

13、卖出400个。若该商品每个涨价1 元，其销售量就减少20 个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个（）（A）115元（B）105 元（C）95 元（D） 85 元y log3x2 2x35.函数的递减区间为（）（A） 1,（ B）3,1（ C）, 1（ D）, 3设 x, y 是关于 m 的方程 m20 的两个实根，则 x 126.2ama 6y 1值为（）2的最小493（A） 4（B） 18（C） 8（D） 47.已知函数 f (x)x，则函数 f（ x）的解析式为（）（ A ） f (x)x（B ） f (x )x(x)（ C） f ( x)xx( x)（D ） f (x )xx (x)8.

14、下列四个命题中正确的个数是（）（ A ） 函数 f（ x）在（ 0，+）上是增函数，在（-， 0）上也是增函数，则在（ -，0）（ 0，+）上也是增函数 .（ B） 函数 f (x )lg( xx) 是奇函数（ C） yx22 | x |3 的递增区间只有 1， + （ D） yx与 y(x) 表示相同函数9.函数 y= x33x3 的零点所在的大致区间为（）（ A ）（ 2， 1）（B ）（ 1， 0）（ C）（ 0， 1）（D ）（ 1， 2）10.若函数 y=3+ 2 x1 的反函数的图像经过P 点，则 P 点坐标是（）（ A ）（ 2，5）（B ）（ 1， 3）（ C）（ 3， 1）（

15、D ）（ 5， 2）11.函数 yxa 与 ylog a x 在同一坐标系中的图像可能是（）12. 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：如果不超过200 元，则不予优惠；如果超过200 元，但不超过500 元，则按标价给予9 折优惠；如果超过500学习必备欢迎下载元， 500 元内部分按第规定实施超过500 元的部分给予7 折优惠。某人两次购物，分别付款 168 元和 423 元。假设他只去购买一次，上述同样的商品，则应付款为（）（A）413.7 元（ B） 513.7 元（ C） 546.6 元（ D） 548.7 元二. 填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分

16、。三个数 60.5 、6、13.0 . 5log 0. 5 6 的大小顺序是 _ 。2514.若函数 yx23x 4 的定义域为0,m ，值域为4 , 4，则 m 的取值集合为。若函数 yx122ax 1在区间,4 上递减，则 a 的取值范围为15.。16. 对于函数 y f (x ) ，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质甲：对于 xR, 都有 f (x )f (x) ；乙：在 (, 上函数单调递减；丙：在 (,) 上函数单调递增；丁： f () 不是函数的最小值。如果其中恰有 3 人说法正确，请写出一个这样的函数：_ 。三. 解答题：本大题共6 小题，共 74 分。解答应写出文字

17、说明，证明过程或演算步骤。Ax, y y31Bx, y a1 x y 1517.（ 12 分） 已知集合x2，试问当 a 取何实数时， AB。18.（ 12 分） 若 x, y且 xy，求 xy的最值。f (x )log ax19.（12 分） 已知x 。（ 1） 求 f（ x） 的定义域；（2）判断 f （ x）的奇偶性；（ 3）当 a>1 时，求使 f （ x）>0成立的 x 的取值范围。20.（ 12 分） 已知关于 x 的方程a xax有一根是 2。（ 1）求实数 a 的值；（ 2）若a，求使不等式a xa x的 x 的取值范围。21.（ 12 分） 某化妆品生产企业为了占

18、有更多的市场份额，拟在20XX 年进行一系列的促销活动 . 经市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费用t 万元之间满足： 3 x与 t1成反比例。 如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1 万件。又 20XX 年生产化妆品的固定投资为3 万元，每生产 1 万件化妆品需再投资32 万元，当将化妆品的售价定为 “年平均成本的 150% ”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年的产销量相等。（ 1）试用促销费 t 表示年销售量 x ；（ 2）将 20XX 年的利润 y 万元表示为促销费 t 万元的函数；（ 3）该企业 20XX 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？f ( x)

19、logax22. （ 14 分）设x为奇函数， a 为常数。（ 1）求 a 的值；（ 2）证明 f （ x）在区间（ 1，）内单调递增；学习必备欢迎下载xf ( x )m（ 3）若对于区间3，4上的每一个x 的值，不等式恒成立，求实数 m 的取值范围。【试题答案】1 12：ADCCACCBBDCC13、.log .14、,15、 a16、 y( x)y31x217、解：联立关于x, y 的方程组：( a1) xy 150消去 y 得到关于 x 的方程： a2 x14（* ）由题意，关于 x 的方程（ * ）无解或者解为 x2若（ *）无解，则 a20 ，解得 a2若（ *）的解为 x2 ，则

20、2 a214 ，解得 a 5综上所述， a2 或者 a 518、解：由已知可得：x = 1 2y ，（y）所以xyyy(y)，这个关于 y 的函数在y , 时单调递减，故y时，xy取最小值；当 y 0 时，xy取最大值 2 。当xx19、解：（ 1）由x，所以 f （x） 的定义域是（2， 2）；f ( x)log axlog axf (x ),f (x )xx是奇函数。（ 2）（ 3）由于 a>1，所以log axxxxx ( x)xxxxx20、解：（ 1）用 x = 2 代入原方程得aaa或 a0 a 1故a12 ， 则原不等式化为（ 2）因为1)2 x 21x 14则 1(1x 142(9( )0)2222解之得x，即解集为 x |x学习必备欢迎下载3k3t1x1 ，且当 t0时， x 1所以 k2 ，即x121、解：（ 1）由题意：tt2x 万件时，成本为332x（万元）（ ）当年销量为332x1tx150%x （万元 /万件）化妆品的售价为2所以年利润 y3 32 x 150%1tx332xt