nurbs曲线张量积曲面

1、郭云欣郭云欣第三章 参数多项式插值与逼近3.5 张量级曲面3.6曲面数据的参数化3.7参数双三次曲面小结第三章 参数多项式插值与逼近www. S3.5张量积曲面3.5张量积曲面3.5张量积曲面3.5张量积曲面3.6曲面数据化的参数化3.6曲面数据化的参数化3.6曲面数据化的参数化曲面数据点参数化的要求：1）所有的v向节点线具有相同的参数分割所有的u向节点线具有相同的参数分割 u2）要求同一条u向节点线具有相同的v值，同条v向节点线具有相同的u值。3）从曲面光顺的角度要求曲面上的等参数线须是光顺的。一、数据点的参数化困难之处：沿同一参数方向，不同等参数线上数据点的分布情况可能不同。解决方法：同一

2、参数方向上公共的参数分割只可能是各种情况的混合和折衷，例如用算术平均值作为公共参数值3.6曲面数据化的参数化 类似曲线数据点的参数化，曲面数据点的参数化也反映数据点分布情况，反映想要构造的插值曲面的性质。首先是曲面网格骨架线的性质。由于沿同一参数方向的网格线具有公共的参数分割，而在该方向的各排数据点分布一般都不一样，由各排数据点按其分布情况决定的各个参数分割也就不一样。公共的参数分割只能是唐门的混合或折衷。为了便于比较和混合，沿同一参数方向各排数据点应采用相同的曲线数据点的规范参数化方法。笔者建议一般采用规范弦长参数化法。若沿同一参数方向各排数据点的规范参数化都比较接近于均匀参数化。便可去均匀

3、参数化。否则双向平均规范积累弦长参数法3.6曲面数据化的参数化3.6曲面数据化的参数化3.6曲面数据化的参数化 具体决定参数化时，还根据实际情况及要求，确定切合实际与需要的参数化，不能生硬搬用上述方法。例如，当数据点沿纵向依次在各横截面内给出是，横截面方向的参数分割可按如上平均规范积累弦长参数化给出，纵向参数分割则应视各横截面在空间的分布给出。本节上述内容对张量积的分片插值曲面同样适用。类似地，对张量积分片插值曲面，通常参数域内的网格节点对应曲面网格线角点，即分片曲面的公共角点，也就是给定的数据点。用单一的曲面片作为插值曲面时，矩形参数域的划分可以不受矩形分割的限制，甚至数据点的给出也可以不受

4、拓扑矩形阵列的限制，有关内容见后续章节。3.7参数双三次曲面片3.7参数双三次曲面片将上式分别对s和t求偏导，分别得两簇等参数线s线与t线的切矢又同时对s和t求偏导得混合导矢将角点参数值s、t分别等于0,1一次代入上述4式，则可得出系数矢量元素为下式四阶方阵中的元素3.7参数双三次曲面片 将上式右端四阶方阵中前两列元素前乘行阵得两s参数边界p(s,0)与p(s,1)；前两行元素后乘列阵得两t参数边界p(0,t)与p(1,t)；右下角二阶子块中4个元素当初别误解为与曲面扭度有关，称为扭矢。事实上，即使曲面片成为无扭曲的平面片，扭矢也不一定是零矢量。正确的称呼应该是混合偏导矢。不过请读者注意，在一

5、些参考文献中已经习惯地称之为扭矢。弗格森将这4个角点混合偏导矢都取成零矢量。即有如下弗格森双三次曲面片方程3.7参数双三次曲面片曲面片如图3.14所示。当初名为FMILL的APT曲面拟合程序就应用这种类型的曲面片。弗格森双三次曲面片仅仅是一曲面片，它的4个角点就是给出的12个矢量定义数据中的4个数据点。它定义在单位正方形域上，表明已经对这4个曲面数据点实行了参数化，不必先按上节方法进行。也可以说属于曲面数据点最简单的情况，不论采用那种双向平均规范参数化，都得到与单位正方形域一致结果3.7参数双三次曲面片 弗格森当时没有提及选择零扭矢可能产生的效果。福里特斯在他为贝齐尔一书写的附录2中指出，角点

6、混合偏导矢取成零矢量可能导致在角点附近出现局部平坦现象，就是那些名声不好的零扭矢的平点。检点扭矢影响曲面片的内部形状。零扭矢的限制等于放弃了一类可选择的曲面片内部形状。但零扭矢并非总是不可取。如果使曲面片的边界线称为曲面的曲率线，其时角点扭矢就会消失为零，零扭矢就是自然合适的。 如果允许角点混合偏导矢为非零矢量，则(3.13)则就成为所谓的孔斯双三次曲面片，它是孔斯曲面的一个特例3.7参数双三次曲面片 弗格森与孔斯的双三次曲面片都定义在规范参数域0s，t1上的。将定义在人以区间上的参数三次曲线段（3.6）式推广用来生成张量积曲面，就相应得到定义在任意自矩形域0u，v1上的双三次曲面片3.7参数双三次曲面片小结 在计算机处理方面，与其他类型函数相比，多项式函数具有一系列优点，使它在CAGD发展初期，成为人们首选旳基函数。将它用于构造多项式插值与逼近曲线曲面时，首先要对数据点实行参数化。曲线数据点常采用积累弦长参数化与规范积累弦长参数化，两者之间相差一个线性参数变换。有多种不同的多项式基，插值同一组n+1个数据点时，得到唯一不超过n次的多项式插值曲线。高次多项式插值存在的问题促使人们不得不采用分段低次多项式组合曲线。三次是合适的选择。弗格森参数三次曲线才用首末端点及其切矢有着明确的几何意义，但它对域变换的严重依赖性不和