2浙江省杭州市2015-2016学年高一(下)期末数学试卷(解析版)

1、 2015-2016学年浙江省杭州市高一(下)期末数学试卷 一、选择题：本大题共 15 小题, 只有一个符合题目要求的. 1. A. 2. A. 3. 每小题 3 分，共 45 分，在每个小题给出的四个选项中, 设集合 M=0, 1, 2，则( 1 M 若关于 x的不等式 -1 B.- 2 C. COS150。的值等于( 二 B. 2 ) D. 0 M B . 2?M C. 3 M mx - 2 0 的解集是x| x2，则实数 m 等于( ) 1 D. ) D. 4. 函数 f (x) =ln -的定义域是( A. 5. (-1, 1) B. - 1, 1 C . - 1, 1) D. x 若

2、 3 =2，则 x=( ) (-1 , 1 Ig3 - 1g2 B . lg2 - 1g3 6. A. 7. A. C. D. Ig2 lg3 d, y),若；？l=0，则( C. | |；|=|=応応| | D . 设向量 = (x, 1) , k= B. 丨丨v | fc| x * 2 +x=8 的解.若 X。( n, n +1) ( n N ),则 n 的值为( C. 3 丨丨 丨丨丨丨 设 X0为方程 1 B. 2 8 要得到函数 f (x) =2sin A .向右平移 C. 向右平移 n =个单位 n 、 个单位 D. 4 7T 7T (2x-.)的图象，只需将函数 g (x) =2

3、sin (2x+ )的图象 o b n B.向左平移=个单位 n 、 D .向左平移一厂个单位 9. 为 A. 已知向量 ( ) 30 B. JT ：三, 满足 | ：三 | =4 ,| 卜 | =3,且(2 ： - 3”)? (2 & + )=61 , 则向量，的夹角 60 C. 120 D. 150 / 丿 TC 10.当-x-, 时，函数 f (x) =sinx + .二 COSX 的( ) A .最大值是 1，最小值是-1 B .最大值是 1，最小值是-，: C .最大值是 2,最小值是-2 D .最大值是 2,最小值是-1 11.若 a0 且 1,则函数 y=ax与 y=lo

4、g a (- x)的图象可能是( 则厶 ABC 的形状是( ) A “直角三角形 B.等边三角形 C “钝角三角形 D “等腰直角三角形 13. 若不等式 sin2x-asinx+20 对任意的 x ( 0,.恒成立，贝 U 实数 a 的最大值是( ) A. 2 了 B. 了 C. 2 D. 3 14. 函数 f (x)=(.；+ 丨- ：:+2) ( . J+1)的值域是( ) A. 2+ 一，8 B. 2+ 一, +8) C. 2, +8) D . 2+ 一，4_一 15. 若直角 ABC 内接于单位圆。，M是圆 0 内的一点，若丨帖，则mJ 的最大值是( ) A . 7 + 1 B .

5、+ 2 C. +1 D . +2 2 2 二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 6 分.共 36 分. 2 16. 若集合 A=x|x - x 0，贝V A=_ ; ?R (A) = _ . 17 .若 10 x=2 , 10y=3，则 103x- y= _ . 18. 若扇形的半径为 _n,圆心角为 120则该扇形的弧长等于 ;面积等于 _ 2 2 19. _ 函数 f ( x) =cos x- sin x+2sinxcosx (x R)的最小正周期为 _ ，单调递减 区间为 20.设 a 3 (0, n), sin( a+沪為,tan耳+，则 tan a= JL 0 乙 乙 21. 在

6、矩形 ABCD 中，AB=2AD=2，若 P 为 DC 上的动点，则；？-的最小值 为 _ . 22. 不等式 lg (x2+100) 2a+siny 对一切非零实数 x, y 均成立，则实数 a 的取值范围为 23. 函数 f (x) = (x2- ax+2a) In (x+1)的图象经过四个象限，则实数 a 的取值范围为 三、解答题：本大题共 2 小题，共 719 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 24. 在 ABC 中，| 林|=c, | | =b . (I)若 b=3, c=5, sinA=，求 | ： | ; b (H)若| =2，:与：的夹角为斗，求 ABC 外接圆的面积

7、. 25. 设函数 f (x) =x2+bx+c (0, b, c R),若 f (1+x) =f ,tan 3= _ (1 - x) , f (x)的最小值为-1 (I)求 f (x)的解析式； (H)若函数 y=|f ( x) |与 y=t 相交于 4 个不同交点，从左到右依次为 A , B, C, D，是否 存在实数 t,使得线段| AB| , | BC| , |CD|能构成锐角三角形，如果存在，求出 t 的值；如 果不存在，请说明理由. 2015-2016学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 15 小题，每小题 3 分，共 45 分，在每个小

8、题给出的四个选项中， 只有一个符合题目要求的. 1 设集合 M=0, 1, 2，则（ ） A . 1 M B . 2?M C. 3 M D. 0 M 【考点】元素与集合关系的判断. 【分析】根据集合中元素的确定性解答. 【解答】解：由题意，集合 M 中含有三个元素 0, 1, 2 . A 选项 1 M,正确；B 选项 2?M，错误；C 选项 3 M ,错误，D 选项 0 M，错误; 故选：A. 2“若关于 x的不等式 mx - 20 的解集是x|x2，则实数 m 等于（ ） A. - 1 B . - 2 C . 1 D . 2 【考点】不等关系与不等式. 【分析】利用一元一次不等式的解法即可得

9、出. 【解答】 解：“关于 x的不等式 mx - 2 0 的解集是x|x 2， “ m0，:二二，因此一.上，解得 m=1 . m in 故选：C . 3 . cos150的值等于（ ） A. 2 【考点】 【分B C D -八 .: . . 运用诱导公式化简求值. 把所求式子中的角 150。变为 180 -30 ,利用诱导公式 cos=- cos a化简后，再根据 特殊角的三角函数值即可求出值. 【解答】解：cos150 =cos =-cos30 =亚 . 故选 D 4.函数 f （x） =ln 、：的定义域是（ ） A . （- 1，1） B . - 1，1 C . - 1，1） D. （

10、- 1，1 【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】根据二次根式以及对数函数的性质得到关于 x的不等式，解出即可. 【解答】 解：由题意得：1 - x2 0，解得：-1 v x V 1， 故函数的定义域是（-1，1）， 5 “若 3x=2，则 x=( ) 1 ff3 A . Ig3 - 1g2 B . Ig2 - 1g3 C. . D . 【考点】指数式与对数式的互化. 【分析】由 3x=2,根据指数式与对数式的互化关系可得 【解答】解：T 3x=2，由指数式与对数式的互化关系可得 x=log32= 故选 D . 6.设向量 = (x, 1) , fc= (1, y),若 ?1=0，则( )

11、A. I I I J B. I I I 1 C. | |=| | D.=； 【考点】平面向量的坐标运算. 【分析】 根据向量的数量积和向量的模即可判断. 【解答】解：“向量：=(x, 1),呈=(1, y), :?1=0, “ ? =x+y=O, “X=：,，丨 J=；, -1 l=I I， 故选：C. x * 7.设 xo为方程 2 +x=8 的解.若 x ( n, n+1) ( n N ),贝卩 n的值为( ) A . 1 B. 2 C. 3 D. 4 【考点】函数的零点与方程根的关系. 【分析】由题意可得 +x0- 8=0 .令 f (x) =2x+x - 8=0，由 f (2) 0,可

12、得 x( 2, 3).再根据 x( n, n+1) (n N*),可得 n 的值. 【解答】 解：T X。为方程 2x+x=8 的解，.“ .：+X0-8=0. 令 f (x) =2x+x- 8=0 ,T f (2) = - 2 0,. x0( 2, 3). 再根据 x( n, n+1) ( n N*),可得 n=2 , 故选：B. n n &要得到函数 f (x) =2sin (2x -)的图象，只需将函数 g (x) =2sin (2x+ “)的图象 J 6 ( ) n JI A .向右平移=个单位 B .向左平移=个单位 n n C.向右平移个单位 D .向左平移个单位 【考点】

13、函数 y=Asin ( wx+ )的图象变换. Ig2 lg3 x=log 32,再利用换底公式化为 【分析】根据函数 y=Asin(3X+0)的图象变换，左加右减可得答案. ir yr 解：“ f (x) =2sin (2x - ) =2sin2 (x- 3 6 =2sin (2x+ ) 6 “将函数 g(x)=2si n( 2x+ )的图象向右平移一个单位，得到函数 f( x) =2s in (2x-一 6 4 3 的图象. 故选：C. 9.已知向量 ；满足|=4, |=3，且(2 - 3；) ? (2 +) =61，则向量,的夹角 为( ) A. 30 B. 60 C. 120 D. 1

14、50 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】首先由已知的等式展开得到两个向量的模压机数量积的等式， 求出两个向量的数量 积，利用数量积公式求夹角. 【解答】解：因为向量:,満足|=4, | | =3，且(2 :-3 ) ? (2 :+ ) =61，所以 A-2 2 - -* 4 -. * “ 即 64 - 27- 4 =61，所以 | = - 6,所以 cos 0= _ I一- ，所以 0=120 I a I I bI 4X3 2 故选：C. 一一时，函数 f (x) =sinx+ :_cosx 的( ) A .最大值是 1，最小值是-1 B .最大值是 1，最小值是-, C .最大值是 2

15、,最小值是-2 D .最大值是 2,最小值是-1 【考点】三角函数中的恒等变换应用. 【分析】首先对三角函数式变形， 提出 2 变为符合两角和的正弦公式形式, 围求出括号内角的范围，根据正弦曲线得到函数的值域. 【解答】解：T f (x) =sinx+ _cosx 1 V3 、 =2 ( -;sinx+ cosx) 【解=2sin 2 =2si n2 ir (x+ ) ( 兀 (x - =2si n2 H 7T 、 + + - ) n n (X - + ：)=f (x+二), 10.当 根据自变量的范 7T =2sin (x+-y ), f (x) - 1, 2, 故选 D 11. 若 a 0

16、 且 az 1,则函数 y=ax与 y=log a (- x)的图象可能是( ) 【考点】函数的图象. 【分析】直接根据指数和对数函数的图象和性质即可判断. 【解答】 解：当 a 1 时，由 y=loga (- x)可知函数的定义域为 xv0，且函数单调递减， y=ax单调递增， 当 Ov av 1 时，由 y=loga (- x)可知函数的定义域为 x v 0，且函数单调递增，y=ax单调递 减， 故选：B. 12. 设 G 是厶 ABC 的重心， a，b， c 分别是角 A， B， C 所对的边， 若 a t+b ；+c=， 则厶 ABC 的形状是( ) A “直角三角形 B.等边三角形

17、C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 【考点】向量的线性运算性质及几何意义. 【分析】利用三角形重心定理、平面向量基本定理、向量平行四边形法则即可得出. p 1 _ _ 1 _ 1 【解答】解: G 是厶 ABC 的重心，.：=-花乂石 7 门：，=hTE 厂，=T 又 a _1+b.；+C ： = ， “( a- b) :+ (a-c) ：，+ ( b-c).=， .a- b=a c=b c， “ a=b=c. “ ABC 的形状是等边三角形. 故选：B. 2 八 13. 若不等式 sin x-asinx+20 对任意的 x (0，恒成立，则实数 a 的最大值是( ) A. 2 二 B. 二

18、C. 2 D. 3 【考点】 三角函数的最值.2 一 【分析】利用换元法令 t=sinx，不等式可整理为 t2-at+20 恒成立，得 ?,利用分 离常数法求出实数 a 的最大值即可. 【解答】 解：设 t=sinx，: x ( 0, 一 , t ( 0, 1, 2 则不等式即为 t2- at+2 0 在 t( 0, 1恒成立， 2 门 即在 t ( 0,1恒成立， aw 3. 故选：D. 14. 函数 f (x)=；+ . - ：:+2)(右-,+1)的值域是( ) A. 2+.二 8 B. 2+.二,+8) C. 2, +R) D. 2+.= , 4 .二 【考点】函数的值域. 【分析】容

19、易得出 f (x)的定义域为-1, 1，并设迁二 ,两边平方，根据 x 的范围即可求出 一：C ；：，且得出i. -,从而得出-：,求导， 根据导数在：百匚刃上的符号即可判断函数|-在 n 刃上单调递增，从而得 出 y 的范围，即得出函数 f (x)的值域. 【解答】解：f (x)的定义域为-1, 1； 设.1 +、： Ii 一：二：，则专匚；.-; - 1W x w 1 ； 0 w 1 - x2 w 1 2 2w t2w 4 ； “二i ;，且 i -/-l 亠-_J,设 y=f (x); :二；，令 y=o 得，t i 丄，或 0； 工在_鴛 7、日上单调递增； “-时，y 取最小值 7,

20、 t=2 时，y 取最大值 8； “原函数的值域为 *7 刃 故选 A . 2 一 . 一 . 15. 若直角厶 ABC 内接于单位圆 O, M 是圆 O 内的一点，若|叫，则|+ T ：+ 2 | 的最大值是( )x 3 A . - + 1 B . + 2 C. 2 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】 由直角三角形可知 O 为斜边 以当 T和I；同向时，模长最大. 【解答】解：设直角三角形的斜边为 O 是 AC 的中点， 丨 m，i=i2 甘 口=|旳+ -i, _ “当和 洞向时，|3+ 1|取得最大值|3 叮|+|=二+ 故选：C. 二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 6 分

21、.共 36 分. 2 16. 若集合 A=x|x - x 0，则 A= (- a, 0 U 1, +8) ; ?R (A) = ( 0, 1) 【考点】补集及其运算. 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，根据全集 R 求出 A 的补集即可. 【解答】解：由 A 中不等式变形得：x ( x- 1) 0, 解得：xw 0 或 x 1,即 A= (- , 0 U 1, +8), 则?RA= (0, 1), 故答案为：(-8, 0 U 1, +a)； (0, 1) 17. 若 10 x=2, 10y=3，则 103x-y=_ 三 【考点】对数的运算性质. 【分析】根据指数幕的运算性质计算即可.

22、 【解答】解：I 10 x=2, 10y=3, “ 103x-y=103x+ 10y= (10 x) 3十 10y=23- 3=, 3 故答案为： 18“若扇形的半径为 n,圆心角为 120则该扇形的弧长等于 【考点】 【分析】 【解答】 AC的中点，于是：+T 卄=2叮；=3【+ ,所 AC,：直角 ABC 内接于单位圆 O, 一面积等于 扇形面积公式；弧长公式. 利用扇形的弧长公式，面积公式即可直接计算得解. 解：设扇形的弧长为 I ,扇形的面积为 S, 9 兀 x 3 “圆心角大小为 a= (rad),半径为 r= n, o .“.则 l=r a=J 盯= ,扇形的面积为 S= x 3

23、3 2 3 故答案为：厶 L，.一 n3. 3 32 2 a t 2tan 4 /. tan o= - = 3 /sin ( a+B) 7T a+ 共(=,n),19.函数 f (x) =cos x - sin x+2sinxcosx (x R)的最小正周期为 n ，单调递减区间为 . - - ： _“ 【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象. 【分析】根据二倍角公式、两角和的正弦公式化简解析式， 由周期公式求出函数的最小正周 期；由正弦函数的减区间、整体思想求出 【解答】解：由题意得， f (x)的单调递减区间. 2 2 f (x) =cos x- sin

24、 x+2sinxcosx =cos2x+si n2x= ;二-. “最小正周期 T= n 0) 2x+ .二一.211 - 上 L 二得, 丄厂+宀上 I二， “函数 f(X)的单调递减区间是 :. .I -一 8 8 故答案为：n;压兀+善，兀+誓(疋 7) O O !J ， 20“设 5 a 1 a、B( 0, n), sin ( a+B)=龙,taf， 4 63 则 tan 萨一._, ta nB=. . 【考【分两角和与差的正切函数. 由 tan 的值，利用二倍角的正切函数公式求出 sina与 cosa的值，再由 sin ( a+B)的值范围求出 a+B的范围，利用同角三角函数 B=

25、a+B- a,利用两角和与差的余弦函数 tan a的值大于 1，确定出a的范 围，进而 间的基本关系求出 cos ( a+ B)的值，所求式子的角 公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值. 【解答】解：T tan= 2 2 a ( 0 , n), -，sin 心打 =；, 【考点】函数恒成立问题. 【分析】问题转化为 2a 2a+siny 对一切非零实数 x, y 均成立， 1? COS ( a+ 3)= , 13 贝y COS B=COS ( a+ 3) a =COS ( a+ 3) COS a+Sin + sin a= 13 “ sin ; “ 一，tan . 一 - = 00 cos

26、故答案为：“，- “ “ 3 16 16 21 “在矩形 ABCD 中，AB=2AD=2，若 P 为 DC 上的动点，则 ？“- 1_ 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】 建立平面直角坐标系， 求出各向量的坐标， 代入向量的数量积公式得出关于 横坐标 a 的函数，利用二次函数的性质求出最小值. 【解答】解：以 A 为原点，以 AB , AD 为坐标轴建立平面直角坐标系如图： 则 A (0, 0), B ( 2, 0), C (2, 1)，设 P (a, 1) (0 a 2a+Siny 对一切非零实数 x, y 均成立，则实数 a 的取值范围为 (则实数 a 的取值范围为(-汽 2 . ；

27、) “ “ 2a lg100 1=9 , “ 2a 9,解得：a0，和 xv0 时，函数 g (x) =x2- ax+2a 的取值情况，利用参数分离法 进行求解即可. 【解答】 解：函数的定义域为(-1, +8),设 g (x) =x2- ax+2a, 若-1 vxv0, ln (x+1) v 0,此时要求 g (x)在-1 vxv 0 经过二、三， fa0 时，In (x+1) 0,此时要求 g (x)经过一四象限， 即 x0 时， 即 a (x - 2) 当 x=2 时，不等式等价为 0v 4,成立， 2 2 当0v x v 2时，a 此时 v0此时av 0, 2 当x2时，不等式等价为a

28、v， / =汀 2）即 4（x2）+4= 2） x-2 - 4+2 匕 1 =4+2 X 2=4+4=8, i K _ 2 “若 av有解，贝U a8, x-2 即当 x 0 时，av 0 或 a 8, 综上a| - v av 0 A a| av 0 或 a 8=a| 3 故答案为：（-.,0）“ fg（0）=2aC， 2 ” ， x - ax+2av 0,有解， 2 V X 有解， +=+4 -.：v av 0= （- .： , 0）, 三、解答题：本大题共 2 小题，共 7 佃分, 24“在 ABC 中，|，|=c, | ：|=b “ 4 , (I)若 b=3, c=5, sinA=下，求 | ; b 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 则实数 a 的取值范围为(-汽 2 . ；) “ (n)若=2,：；与的夹角为. ，则当|取到最大值时，求厶 ABC