MATLAB学习课件第四章

1、张天魁信息与通信工程学院MATLAB应用第四章第四章 MATLAB MATLAB数值运算数值运算24.1 MATLAB4.1 MATLAB基本运算功能基本运算功能4.2 4.2 向量与矩阵处理向量与矩阵处理4.3 4.3 多项式多项式4.4 4.4 线性方程组线性方程组4.5 MATLAB4.5 MATLAB数学函数数学函数4.1 MATLAB4.1 MATLAB基本运算功能基本运算功能34.1.1 4.1.1 算术运算算术运算MATLAB算术运算可以分为两类：一类以矩阵为基本操作对象，称之为矩阵算术运算；另一类以矩阵中单个元素为基本操作对象，称之为点算术运算。加法乘法两个矩阵的直接相乘必须满

2、足矩阵乘法的运算法则，即被乘矩阵的行数必须等于乘矩阵的列数。两个矩阵的点乘为两个矩阵对应的元素相乘，因此两个矩阵的大小必须相等。除法矩阵的除法有左除与右除，也有直接相除和点除，即“AB”和“A/B”、“A.B”和“A./B”。运算符“”和“/”分别是左除和右除。左除表示左边的矩阵为除数。相应的，右除表示右边的数为除数。4.1.1 4.1.1 算术运算算术运算4矩阵的除法常用来解多元方程组的问题。方程组可以表示为A*X=B，则A(A*X)=AB(AA)*X=ABX=AB当A是非奇异n阶方阵，B是n维列向量，则得出方程的解；若A是mn的矩阵，B是m维的列向量，则X=AB得出最小二乘解。已知程组12

3、312312323156322xxxxxxxxx 用矩阵除来解线性方程组 4.1.1 4.1.1 算术运算算术运算5“A.B”和“A./B”分别是左点除，和右点除，分别表示以左边和右边的矩阵作为除数；A、B的元素对应相除，A、B矩阵的大小必须相等。4.1.1 4.1.1 算术运算算术运算6矩阵的乘方矩阵的乘方运算，可以用“AB”，表示但又如下几种情况需要考虑：若A为矩阵，则必须为方阵：B为正整数时，表示A矩阵自乘B次；B为负整数时，可以先将A求逆矩阵，再自乘|B|次，仅对非奇异矩阵成立；B为矩阵时，无法计算；B为非整数时，涉及到特征值和特征向量求解，将A分解成为A=W*D/W，的形式，D为对角

4、矩阵，则有AB=W*DB/W。若A为标量时：B为矩阵，将A分解为A=W*D/W，D为对角矩阵，则有AB=W*diag（D.B）/W。4.1.1 4.1.1 算术运算算术运算7同样的，矩阵的乘方也有“A.B”的方式：当A为矩阵，B为标量时，将A的元素自乘B次；当A为矩阵，B也为矩阵时，A和B的大小必须相同，元素A(i,j)自乘B(i,j)次。当A为标量，B为矩阵时，将AB(i,j)构成新矩阵的第(i,j)个元素。8矩阵相关的数学函数函数使用说明：函数使用说明：(1) (1) 三角函数以弧度为单位计算。三角函数以弧度为单位计算。(2) abs(2) abs函数可以求实数的绝对值、复数的模、字符串的

5、函数可以求实数的绝对值、复数的模、字符串的ASCIIASCII码值。码值。(3) (3) 用于取整的函数有用于取整的函数有fixfix、floorfloor、ceilceil、roundround，要注意它们的区别。，要注意它们的区别。(4) (4) remrem与与modmod函数的区别。函数的区别。remrem( (x,yx,y) )和和mod(mod(x,yx,y) )要求要求x,yx,y必须为相同大小必须为相同大小的实矩阵或为标量。的实矩阵或为标量。函数名函数名说明说明函数名函数名说明说明abs绝对值或者复数模rat有理数近似sqrt平方根mod模除求余数real实部round四舍五入

6、取整四舍五入取整imag虚部fix接近接近0取整取整conj复数共轭floor接近接近负无穷负无穷取取整整sin正弦ceil接近接近正无穷正无穷取取整整cos余弦sign符号函数tan正切rem求余数留数asin反正弦exp自然指数acos反余弦log自然对数atan反正切log10以10为底的对数atan2第四象限反正切pow22的幂sinh双曲正弦Bessel贝塞尔函数cosh双曲余弦gamma伽马函数tanh双曲正切4.1.2 4.1.2 逻辑运算逻辑运算9在逻辑运算中，真用非零元素表示，假用零表示。逻辑运算的返回值为1或0，1表示真，0表示假。MATLAB和其它语言一样提供了三种逻辑运

7、算符：&（与）、|（或）和（非）。除此以外，xor（异或）也是经常用到的逻辑运算类型。逻辑运算对于不同的数据类型，操作方式不同，如下：如果逻辑运算的两个变量都是标量，则结果为0,1的标量；如果逻辑运算的两个变量都是数组，且数组大小必须相同，则把数组的每个元素相对应位置进行操作，结果也是同样大小的0,1数组；如果逻辑运算的两个变量一个是数组，一个是标量，则把数组的每个元素分别与标量比较，结果为与数组大小相同的数组。 表4.2 逻辑运算关系aba&ba|baxor(a,b)0000100101111001011111004.1.3 4.1.3 关系运算关系运算10在进行逻辑运算时，

8、常用到关系运算符：= =（等于）、=（不等于）、（大于）、=（大于等于）。关系运算的返回值为1或0，1表示表达式为真，0表示表示式为假。MATLAB提供了6种关系运算符：关系运算符关系运算符操作对象操作对象说明说明（大于）同型矩阵；矩阵和标量同型矩阵对应元素运算;矩阵各元素与标量分别运算=（大于等于）=（小于等于）=（等于）=（不等于）4.1.3 4.1.3 关系运算关系运算11需要说明的是，在算术、逻辑、关系运算中，算术运算优先级最高，逻辑运算优先级最低，关系算术运算优先级居中。函数名函数名含义含义all判断列向量是否全非0元素，若全是非0则为1。否则返回0any判断列向量是否有非0元素，若

9、存在非0则为1。否则返回0isequal判断两个矩阵对应的元素是否全部相等，相等为1。否则返回0exist检查变量是否在工作空间存在，存在时返回1。否则返回0find寻找矩阵中非0元素的位置，即返回非0元素的下标。注意矩阵以列优先原则返回下标isempty判断矩阵是否为空矩阵，是空矩阵则返回1。否则返回04.2 4.2 向量与矩阵处理向量与矩阵处理12矩阵结构变换函数矩阵结构变化函数包括矩阵重排、矩阵抽取以及矩阵转向等。矩阵重排reshape(A,m,n)：将矩阵A所有元素重新排列成mn的矩阵。矩阵总元素数必须相等。矩阵抽取diag(A, k)：A为矩阵时，抽取矩阵A的第k条对角线设A为mn的

10、矩阵，diag(A,k)函数抽取矩阵A的第k条对角线的元素，并返回一个列向量。其中，与主对角线平行，向上为第1条、第2条、第n条对角线，向下为第-1条、第-2条、第-n条对角线。当省略k时，提取A的主对角线。diag(V, k)：V为向量时，产生一个第k条对角线为V的矩阵设V为具有m个元素的向量，则diag(V,k)返回一个m+|k|的对角阵，其中第k条对角线上的元素为向量V的元素。当省略k时，返回一个mm 矩阵，主对角线元素为向量V的元素。triu(A ,k)：提取矩阵A的第k条对角线以上（含第k条对角线）的所有元素，并返回相应矩阵。当省略k时，返回A的上三角矩阵。tril(A, k)：提取

11、A的第k条对角线以下（含第k条对角线）的元素，并返回相应矩阵。当省略k时，返回A的下三角矩阵。4.2 4.2 向量与矩阵处理向量与矩阵处理13矩阵转向transpose(A)：求矩阵A的转置。可以用单引号（）直接代替transpose函数rot90(A, k)：将矩阵A按逆时针方向旋转k*90。当省略参数k时，默认为1fliplr(A)：将矩阵A左右翻转flipud(A)：将矩阵A上下翻转flipdim(a, dim)：使矩阵a按特定维翻转。当dim=1时，按行维翻转。当dim=2时，按列维翻转。若有多维，以此类推4.2 4.2 向量与矩阵处理向量与矩阵处理14矩阵求值函数inv(A)：求可逆

12、矩阵A的逆det(A)：求方阵A所对应的行列式的值。rank(A)：求矩阵A的秩trace(A)：求矩阵A的迹eig(A)：求矩阵A的特征值和特征向量15数据统计与分析中的矩阵函数求矩阵的最大值与最小值，分别是max和min函数。max函数具有多种不同的调用格式，对于向量与矩阵是不一样的。对于向量来说，函数调用如下：y = max(X)：求向量X的最大元素，并返回给y。对于复数元素按模取最大值y, k = max(X)：返回向量X的最大元素，并返回给y，最大元素的序号返回给k。对于复数元素按模取最大值对于矩阵来说，函数调用如下：Y = max(A)：返回行向量Y，Y中第i个元素为A中第i列的最

13、大元素Y, U = max(A)：返回行向量Y和U，Y中元素对应A中各列最大元素，U中元素对应A中各列最大元素的行号。Y, U = max(A, , dim)：dim = 1时和上一格式相同，dim = 2时返回列向量Y和U，Y中元素对应A中各行最大元素，U中元素对应A中各行最大元素的列号。也可以用max函数进行向量或矩阵对应元素比较，函数调用如下：U = max(A, B)：A和B为同型向量或同型矩阵。函数返回二者的同型矩阵U，U中每个元素为A、B对应元素的较大值16（2）求矩阵的平均值和中值数据序列的平均值是指算术平均值，MATLAB中用mean函数实现。中值是指数据序列中数值的大小位于中

14、间的元素，MATLAB提供了median函数实现。当数据序列有奇数个元素时，中值为大小为中间的元素。当数据序列中有偶数个元素时，中值为大小为中间两个元素的平均值。3）矩阵求和与求积矩阵求和与求积可以分为两类：矩阵元素求和与求积，矩阵元素累加和与累乘积。矩阵元素求和与求积：矩阵元素求和与求积函数分别为sum和prod，二者调用格式完全相同。MATLAB提供了cumsum和cumprod函数分别求矩阵的累加和与累积乘，其调用格式与sum完全相同17mean函数调用格式如下：y = mean(X)：设X为向量，函数将X的算术平均值返回给yY = mean(A)：设A为矩阵，函数返回行向量Y，Y中各元

15、素对应A中相应列的算术平均值Y = mean(A,dim)：设A为矩阵，函数返向量Y。当dim = 1时，功能和上一调用格式相同；当dim = 2是，Y为列向量，Y中各元素对应A中相应行的算术平均值median函数调用格式矩阵求和与求积18（5）矩阵元素排序MATLAB提供了sort函数来实现对向量或矩阵中元素重新排序的功能。其调用格式为：Y, I = sort(X)：设X为向量，函数返回按元素升序排列的新向量Y，I则记录Y中各元素在X中的位置。Y, I = sort(A, dim)：设A为矩阵，函数返回与A同型的矩阵Y和I。当dim=1时，对A各列升序排列；当dim=2时，对A各行升序排列。

16、I记录了Y中各元素在X中的位置。4.3 4.3 多项式多项式19在MATLAB中，n次多项式表示为一个长度为n+1的行向量。行向量中各元素为多项式降序排列的系数，缺少的幂次项系数为0。例如n次多项式表示为： 1210121nnnnnp xa xa xa xaxa p x0121,nna a aaa在MTLAB中表示为向量：。 4.3.1 4.3.1 多项式多项式四则运算四则运算201、多项式加减运算多项式的加减运算，就是对应的系数向量相加减。同次多项式相加减，即对应系数向量直接相加减；不同次多项式相加减，应先将低次多项式系数向量前补零至与高次多项式系数向量同维数，然后再相加减。2、多项式乘法运

17、算多项式的乘法运算由conv函数实现，其调用方法如下：conv(A, B)：多项式相乘，其中A、B分别表示两个多项式的系数向量。 3、多项式除法运算多项式的除法运算由deconv函数实现，其调用方法如下：Q,R = deconv(A,B)：多项式相除，其中A、B分别表示两个多项式的系数向量，Q、R分别表示商式和余式的系数向量21多项式乘除举例： 43213282718f xxxxx 223g xxx4.3.2 4.3.2 多项式求多项式求值值22多项式求值就是计算在给定点处的多项式的值。MATLAB提供了两种求多项式值的函数：polyval和polyvalm。前者用于求代数多项式的值，后者用于求矩阵多项式的值。1）代数多项式求值代数多项式求值的函数调用格式为：Y=polyval(P, x)：P为多项式系数向量；如果x为一数值，则求多项式在这一点处的值；如果x为一向量或矩阵，则求多项式在向量或矩阵中每一元素处的值。 2）矩阵多项式求值将代数多项式中的自变量用矩阵变量表示，即构成矩阵多项式。矩阵多项式求值的函数调用格式为：Y=polyvalm(P, X)： P为多项式系数向量， 必须为一方阵。4.3.