厦门理工学院概率论与数理统计习题册答案

1、概率论与数理统计练习题(理工类 )系专业班姓名学号第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算一、选择题1对掷一颗骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点 ”称为C(A)不可能事件(B) 必然事件(C) 随机事件(D)样本事件2甲、乙两人进行射击，A、 B 分别表示甲、乙射中目标，则A U B 表示C(A)二人都没射中(B) 二人都射中(C) 二人没有都射中(D) 至少一个射中3. 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0 ，电炉就断电。 以 E 表示事件 “电炉断电 ”，设 T(1)T(2) T(3)T(4)

2、为 4 个温控器显示的按递增排列的温度值，则事件E 等于( 考研题 2000)C (A)T(1) t0(B)T(2) t0(C) T(3) t0(D) T(4) t0二、填空题：1以 A 表示事件 “甲种产品畅销， 乙种产品滞销 ”，则其对立事件A 为 “甲种产品滞销或乙种产品畅销”。2.假设 A, B 是两个随机事件，且 AB A B ，则 A U BAUB= ， ABAU B=。3.对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品 ”，不合格的记上 “次品 ”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4 个产品就停止检查，记录检查的结果，样本空间为 （正，正，正，正） ，（正，正，正，次） ，（正

3、，正，次，正） ，（正，正，次，次） ，（正，次，正，正） ，（正，次，正，次） ，（正，次，次） ，（次，正，正，正） ，（次，正，正，次） ，（次，正，次，正） ，（次，正，次，次） ，（次，次） 。三、计算题：1一盒内放有四个球，它们分别标上 1， 2，3， 4 号，试根据下列 3 种不同的随机实验，写出对应的样本空间：（ 1）从盒中任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录取球的结果；1（ 2）从盒中任取一球后放回，再从盒中任取一球，记录两次取球的结果；（ 3）一次从盒中任取 2 个球，记录取球的结果。解： (1)(i,j)|ij,i ,j1,2,3,4;(2)(i,j)|i ,j

4、1,2, 3,4;(3)(i,j)|ij,i ,j1,2,3,412,13,14,23,24,34;2设 A, B,C 为三个事件，试将下列事件用A, B, C 的运算关系表示出来：（ 1）三个事件都发生；（ 2）三个事件都不发生；（ 3）三个事件至少有一个发生；（ 4） A发生， B,C 不发生；（ 5） A, B 都发生， C 不发生；（ 6）三个事件中至少有两个发生；（ 7）不多于一个事件发生；（ 8）不多于两个事件发生。解：（ 1） ABC（ 2） ABC（3） AUBUC（ 4） ABC(5) ABC(6)ABU ACU BC(7) 不多于一个事件发生=至多一个事件发生=至少两个事件

5、不发生= ABC U ABC U ABC U ABC(8) 不多于两个事件发生=至多两个事件发生=至少一个事件不发生= A U B U CABC3. 甲、乙、丙三人各向靶子射击一次，设Ai 表示 “第 i 人击中靶子 ” i1,2,3 。 试说明下列各式表示的事件：（ 1） A1 A2A3 ; （2） (A1U A2)A3 ;（3） A1A2 U A2A3 U A1A3 ;（ 4） A1 A2 A3 U A1A2 A3 U A1 A2A3。解：（ 1）只有乙未击中靶（ 2）甲，乙至少有一个人击中，而丙未击中靶（ 3）至少有两人击中靶（ 4）只有一个击中靶2概率论与数理统计练习题(理工类 )系专

6、业班姓名学号第一章随机事件及其概率§1.2 事件的频率与概率、§1.3 古典概型和几何概型一、选择题：1掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是B(A)11(C)1136(B)12(D)18112有 6 本中文书和 4 本外文书，任意往书架摆放，则4 本外文书放在一起的概率是D(A)4! 6!7(C)44!7!10!(B)10(D)1010!3 A、B 为两事件，若P( AU B)0.8 , P( A) 0.2, P( B)0.4 ，则B(A)P(A B)0.32(B)P(A B)0.2(C)P(B A)0.4(D)P(B A)0.48二、填空题：1某产品的次品率为2

7、%，且合格品中一等品率为75%。如果任取一件产品，取到的是一等品的概率为 75% 98%0.735。2设 A 和 B 是两事件， BA， P(A)0.9, P( B)0.36，则P( AB)0.543在区间 (0， 1)内随机取两个数，则两个数之差的绝对值小于1的概率为 (考研题 2007) 324三、计算题：1设 P(A)P(B)P(C)10 , P(AC)P(BC)1， P( AB)，求 A、B、C 都不发生的48概率。P ABCP AUBUC 1P AUBUC解：1P AP BP CP ABP ACP BCP ABC13214822罐中有12 颗围棋子，其中8 颗白子， 4 颗黑子，若从

8、中任取3 颗，求：3（ 1）取到的都是白子的概率；（ 2）取到的两颗白子，一颗黑子的概率；（ 3）取到的3 颗中至少有一颗黑子的概率；（4）取到的3 颗棋子颜色相同的概率。解：(1)C 8314;(2)C 82C 4128;(3)1C 8341;C 12355C 12355C 12355(4)C 83C 433 .C 123C 123113. 甲、乙两人约定在上午7 点到 8 点之间在某地会面，先到者等候另一人20 分钟，过时即离去。设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响，求二人能会面的概率。解：设甲是在第x 分钟到达，乙是在第y 分钟到达，则 x y 20602214040

9、5P 二人会面=260294概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第一章随机事件及其概率§1.4 条件概率、 §1.5 事件的独立性一、选择题：、为两个事件， P( A) P(B)0，且 AB ，则下列必成立是A1设A B(A)P(A| B) 1(B) P(B | A)1(C)P(B | A)1(D) P(A | B) 02设 A， B 是两个相互独立的事件，已知P( A)1 ，P(B)1，则 P(AU B)C23(A)15(C)232(B)3(D)643对于任意两个事件A 和 B (考研题 2003)B(A)若 AB，则 A, B 一定独立(B)若 AB，则 A, B 有

10、可能独立(C)若 AB，则 A, B 一定独立(D)若 AB，则 A, B 一定不独立*4 设 A,B 和C 是两两独立，则事件A, B, C 相互独立的充要条件是(考研题 2000)A(A)A和 BC独立(B)AB和A U C独立(C)AB和BC独立(D)AUB和B UC独立二、填空题：1设 P( A)0.6,P(AUB) 0.84 ,P(B |A)0.4 ，则 P( B)0.6 。2已知 A1 , A2 , A3 为一完备事件组，且 P( A1 )0.1, P( A2 ) 0.5, P( B | A1 )0.2 P( B | A2)0.6P(B | A3) 0.1 ，则 P( A1 | B

11、)1 。183 设两两独立的事件A， B， C 满足条件ABC， P( A) P(B)P(C )1，且已知2P(AUBUC)91(考研题 1999)。，则 P( A)416三、计算题：1 某产品由甲、乙两车间生产，甲车间占60% ，乙车间占 40%，且甲车间的正品率为90%，乙车间的正品率为95%，求：（ 1）任取一件产品是正品的概率；（ 2）任取一件是次品，它是乙车间生产的概率。5解：设A1 "甲生产的产品", A2" 乙生产的产品",B"正品"(1)P(B)P(A1)P(B |A1)P ( A 2 ) p ( B | A 2 )0

12、.60.90.40.950.92(2)P(A2| B )P(A2B)P(A2)P(B |A2)0.40.050.25P(B)P(B )0.082为了防止意外，在矿内同时设有两报警系统A 与 B，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A 为 0.92，系统 B 为 0.93，在 A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85，求：（ 1）发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率；（ 2）B 失灵的条件下， A 有效的概率。P(BA)P( BA)P BP BAP( AB) 0.862 。解：（ 1）Q P(B A)P( A)1P0.85，P(A)AP(A U B)PAP BPAB0.988。（2）

13、P(A B)P(AB)P( AB)PAPAB 290.829P(B)P(B)1P B35四、证明题设 A， B 为两个事件，P(A |B) P(A|B)，P(A)0，P( B)0 ，证明 A与 B 独立。证：QP(A |B)P(AB),P(B)P(A |B)P(AB )P(A)P(AB )P(B)1P(B)QP(A |B)P(A |B)，P(AB )P(A)P(AB )P(B)1P(B)即 P(AB)P(A)P(B)，A与 B 独立。6概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第二章随机变量及其分布§2.1 随机变量概念及分布函数、§2.2 离散型随机变量及其分布一、选择题：1

14、设 X 是离散型随机变量，以下可以作为X 的概率分布是BX x1x2x3x4X x1x2x3(A)1111(B)111pp24816248X x1x2x3x4X x1x2x3(C)1111(D)111pp23412234x418x4112X0123， F ( x) 为其分布函数，则F (1)= B2设随机变量 X 的分布列为0.10.30.40.2p(A) 0.2(B) 0.4(C)0.8(D)13. 设随机变量X : B 6, p ，已知 P( X1) P(X5) ，则 P(X2)D13(C)8(D)15(A)(B)64646416二、填空题：1设随机变量 X 的概率分布为X012，则 a

15、= 0.3。pa0.20.52 某产品15件，其中有次品2 件。现从中任取3 件，则抽得次品数X 的概率分布为X012p221213535353设射手每次击中目标的概率为0.7，连续射击 10次，则击中目标次数X 的概率分布为P Xk C 10k0.7 k0.3 10 k, k0, L,10三、计算题：1同时掷两颗骰子，设随机变量X 为 “两颗骰子点数之和”，求：（ 1）X 的概率分布；（2） P(X3) ；（3） P(X12) 。7解：(1)X23456789101112p111151511113618129366369121836(2)P ( X111(3)P ( X12)03)18123

16、62一袋中装有 5 只球编号1，2， 3， 4， 5。在袋中同时取3 只，以 X 表示取出的3 只球中最大号码，写出随机变量X 的分布律和分布函数。解：X345p0.10.30.60x3F( x )0.13x40.44x51x53某商店出售某种物品，根据以往经验，每月销售量X 服从参数为4 的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？kke 4 4x解：X:P4 ,P X x99%x 0x 0x!查表有 k98概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第二章随机变量及其分布§2.3连续型随机变量及其概率密度一、选择题 :1设连续型随机变量X 的密度函数为f

17、( x)ln xx1,bA0x，则常数 b1,b(A) e(B)e 1(C)e1(D)e22. 设随机变量的分布函数为F ( x)AB arctan x,x，则常数 A, BA(A) A1 , B1(B)A1 , B1(C)A1,B 1(D)A1, B122*3 设 F1 (x), F2 ( x) 是随机变量的分布函数，f1 (x), f2 ( x) 是相应的概率密度函数，则以下必为概率密度的是 (考研题 2011)D(A) f1 ( x) f2 (x)(B) 2 f1( x) F2 ( x)(C)f1( x) F2 ( x)(D)f1( x) F1 ( x)f2 ( x) F2 ( x)二、

18、填空题：1设连续型随机变量X 的概率密度为f ( x)Ax20x1，则常数 A =3。0其他2. 设随机变量 X U (1,6) ，求方程 t 2Xt10 有实根的概率为4。53设随机变量 X N (2, 2 ) ，已知 P(2X4)0.4 ，则 P( X0)0.1。三、计算题：1设 X U (1,4)，求 P(X5) 和 P(0X2.5) 。解： f x1 ,1x 4P X 554 13f x dxdx 10,其他13P 0X 2.52.5x dx2.5 10.5fdx0139x0x13)72设随机变量X 的密度函数为f (x)axb 1x2 ，且 P(0X，求：0其他28（1）常数 a ,

19、 b ；（2） P( 1X3) ；（ 3） X 的分布函数 F ( x) 。2237137(1)由P 0Xxdx2( axb ) dx0281812又xdx( axb) dx1.01解：可得a1 ，b2.(2)P1X31xdx3(x2) dx321222140,x0(3)F(x )0.5x2,0x10.5x22 x1,1x21,x213设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从参数的指数分布，现某顾客5在窗口等待服务，若超过10min ，他就离开。求：（ 1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；（ 2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次当中至多有一次未等到服务的概率。

20、1,x01 e 51x解：X:E，f x550,x0（1）P X 10f x dx1 x1 e 5 dx e210105（ 2） Y ：某顾客未等到服务就离开的次数，Y : B 5,e 2P Y1P Y 0P Y1C50 e 2 01 e 2 5C51 e 2 11 e 2 41 e 2 41 4e 210概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第二章 随机变量及其分布§2.4随机变量函数的分布一、选择题 :1已知 X 的概率分布律为X210123，则P(X24)Cpi2a0.13aaa2a(A)0.1(B)0.2(C)0.3(D)0.51,若X02设随机变量 X 在区间 -1，2上服

21、从均匀分布， 随机变量 Y0,若 X0 ，则随机变量 Y 的1,若 X0分布律为BY101Y101(A)概率201(B)概率1023333Y101Y101(C)概率021(D)概率01233333. 设 X 的密度函数为f (x)2x, 0x12 X 的概率密度为A0,其他，则随机变量 Yy, 0y2yy1(A)f ( y)2(B)f ( y), 020,其他0,其他y, 0y2y, 0y1(C)f ( y)4(D )f ( y)40,其他0,其他二、填空题：1y11设随机变量X 服从参数为 1 的指数分布，则 YeX 的概率密度为fYyy2 ,。0,y12. 对圆片直径进行测量，测量值X 服

22、从 (5 ， 6) 上的均匀分布，则圆面积Y 的概率密度为1,25y94fYyy0,其他113. 设随机变量 X 的服从参数为1的泊松分布， 记随机变量 Y0,若 X1，则随机变量 Y的1,若 X1Y01分布律为2e 112e 1P三、计算题：1设 X N (0,1) ，求：（1） YX 2 的概率密度；（2）Y| X | 的概率密度。1x2解：Xxe2 ,x20,(1)FYy P X2yy1x2Py Xy2 dx,ye20,fYyy22111y11ye22e2 ,22 ye2 y2 y2（ 2 ）当 y0时， F Y ( y )0.y当 y0时有 F Y ( y ) P Xy P y Xy

23、=y2 ey 22f Y ( y ), y 00,y 0y 0 y 0y 0 y 0x 21 e 2 dx2121, x1,8,*2 设随机变量X 的概率密度为f ( x)33 x2， F ( x) 是 X 的分布函数， 求随机变量0,其他YF ( X ) 的分布函数 (考研题 2003)。解：0,x1F ( x )3 x1,1x81, x8设 G( y) 是 YF ( X ) 的分布函数，当y 0 时， G ( y)0 ；当 y 1 时， G ( y) 1。当 0 y1时有 G ( y) P 3 X 1 y P X ( y 1)3 F ( y 1)3 y或 G( y)P YyPF(X)yP

24、XF1( y)F (F 1 ( y) y0, y0所以 G ( y)y,0y 11, y 113概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第二章随机变量及其分布综合练习1. 从一批含 10 件正品及 3 件次品的产品中一件一件地抽取。设每次抽取时，各件产品抽取到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律。（ 1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；（ 2）每次取出的产品都不放回这批产品中；（ 3）每次取出一件产品后总是放回一件正品。解：（ 1） Ai：第 i次取得是正品（ i1,2,3,. ）X1234.C101C31C101C31C31C101C31

25、C31C31C101.PC131C131C131C131C131C131C131C131C131C131（ 2） Ai：第 i次取得是正品（ i1,2,3,4 ）X1234PC101C31C101C31C21C101C31C21C11C101C131C131C121C131C121C111C131C121C111C101（ 3） Ai：第 i 次取得是正品（i1,2,3,4 ）X1234PC101C31C111C31C21C121C31C21C11C131C131C131C131C131C131C131C131C131C131C1312. 设随机变量X 具有概率密度kx,0x3,f ( x)2

26、x3x 4,20,其他 .1k2X3P1 X 。（ ）确定常数；（ ）求的分布函数 F ( x) ；（ ）求7214解：（ 1） F34f x dxkxdx030,x 1x2tdt,x0612（ 2） F xf t dt3 1xtdt20631,xdx9112k1k2246x00x3t2xx23, 3x4dt42x477317x4122（3）P 1 Xf x dxxdx2dx211632483. 某种电子元件在电源电压不超过200 伏， 200 : 240 伏，及超过 240 伏 3 种情况下， 损坏率依次为 0.1， 0.001及 0.2 。设电源电压X : N (220, 252 ) ，试求：（ 1）此种电子元件的损坏率；（ 2）此种电子元件损坏时，电源电压在200 :240 伏的概率。解： A1: 电源电压不超过200 伏,A2 :电源电压不超过 200 :240 伏,A3: 电源电压不超过240 伏,B :电子元件损坏PA1PX200FX2002002200.810.80.211925PA2P200X24024022020