北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题

1、实数知识点一、【平方根】 如果一个数x 的平方等于a，那么，这个数x 就叫做 a 的平方根；也即，当x 2a(a 0) 时，我们称 x 是 a 的平方根，记做：xa( a0) 。因此：1、当 a=0 时，它的平方根只有一个，也就是0 本身；2 、当 a0 时，也就是 a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：xa 。3 、当 a0 时，也即a 为负数时，它不存在平方根。例 1.（1）的平方是 64 ，所以 64 的平方根是；（2 ）的平方根是它本身。（3）若x 的平方根是 ±2，则 x=； 16 的平方根是（4）当 x时， 32x 有意义。（5）一个正数的平方根分别

2、是m 和 m-4 ，则 m 的值是多少？这个正数是多少？知识点二、【算术平方根】 ：1、如果一个正数 x 的平方等于2a ，那么，这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为： “ a ”，读作，a，即 x“根号 a ”，其中， a 称为被开方数。特别规定：0 的算术平方根仍然为 0 。2 、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：a0(a 0) 。3 、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a 。例 2.（ 1）下列说法正确的是（）A 1 的立

3、方根是1；B42 ；（C）、81 的平方根是3；（ D）、0 没有平方根；（ 2）下列各式正确的是（）A 、819B、 3.143.14C、279 3D、532（3） (3) 2的算术平方根是。（ 4）若xx 有意义，则 x1_。（ 5）已知 ABC 的三边分别是 a, b, c, 且 a,b 满足 a3(b 4) 20 ，求 c 的取值范围。（ 7）如果 x 、 y 分别是 4 3 的整数部分和小数部分。求x y 的值 .（8）求下列各数的平方根和算术平方根 .64；49 ；0.0004；( 25) 2；11.12111.44 ，0 ，8，100，441 ，196 ，10449（9）(64

4、) 2 等于多少？ (49 ) 2 等于多少？121（10） (7.2 ) 2 等于多少？（11）对于正数 a，(a ) 2 等于多少？我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算. 加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算.知识点三、【开平方性质 】(1)49 =_，4 9 =_；(2)(2)169 =_，16 9 =_；(3) 4 =_， 4 =_；99(4)(4)16_， 16 =_.2525知识点四、【立方根】：1 、如果 x 的立方等于a，那么，就称x 是 a 的立方根，或者三次方根。记做：3 a ，读作， 3 次根号 a。注意：这里的 3 表示的是根指数。一般的，平

5、方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。2、平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。例 3.（ 1） 64 的立方根是（ 2）若 3 a2.89, 3 ab28.9 ，则 b 等于（）A. 1000000B. 1000C. 10D. 10000（ 3）下列说法中：3 都是 27 的立方根， 3 y 3y ， 64 的立方根是2 ， 38 24 。其中正确的有（）A、1个B、2 个C、3 个D、4 个知识点五、【无理数 】：1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限 ”以及 “不循环 ”这两个条

6、件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-， 3等；（ 2 ）开方开不尽的数，如 :2,5,3 9 等；（ 3 ）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01 （两个 1 之间依次多1 个20 ）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9 等；无理数也不一定带根号，如：2、 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1 的分数），而无理数则不能写成分数形式。例 4. （ 1）下列各数： 3.141 、

7、 0.33333 、 57 、 、 2.25 、 2 （相邻两个、 0.303000300000333之间 0的个数逐次增加 2 ）、其中是有理数的有；是无理数的有。（填序号）（2 ）有五个数 :0.125125 ,0.1010010001 ,-,4 , 32 其中无理数有 ()个A2B 3C4D5知识点六、【实数】：1 、有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是 0 ，最大的负整数是 -1 ，最小的正整数是 1.2、实数的性质：实数 a 的相反数是 -a ；实数 a 的倒数是1a( a0)（ a 0）；实数 a 的绝对值 |a|=a(a，它的几

8、何意义a0)是：在数轴上的点到原点的距离。3、实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0 ， 0 大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。4 、实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。例 5.（ 1）下列说法正确的是（）；A 、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应；C、 1 和 2 之间的无理数只有2 ；D 、不带根号的数都是有

9、理数。（ 2） a， b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是()a0bA 、abB、abC、abD 、ba（ 3）如右图所示的数轴上，点B 与点 C 关于点 A 对称， A 、 B 两点对应的实数是3 和 -1，则点 C 所对应的实数是（）3A.1+ 3B.2+ 3C. 23 -1D. 23 +1（ 4）实数 a 、 b 在轴上的位置如图所示，且ab ，则化简a 2a b 的结果为（）A 2abB.2abC . bD. 2aa b（ 5）比较大小 ( 填 “>或”“<”).310，33 20，76_6 7，（ 6）将下列各数：2, 38,3, 15 ，用 “ ”连接起来；

10、_。（ 7）若 a3,b2 ，且ab0 ，则： ab =。（ 8）计算：o b5112，210.523 11830.12531427163218（ 9）已知：x7 2121, y1 30.064，求代数式x2x10 y3245y 的值。4基础练习一一、选择题1. 下列数中是无理数的是（）A.0.122 3B.2C.0D.2272. 下列说法中正确的是（）A. 不循环小数是无理数B.分数不是有理数C. 有理数都是有限小数D.3.1415926是有理数3. 下列语句正确的是（）A.3.78788788878888是无理数B.无理数分正无理数、零、负无理数C.无限小数不能化成分数D.无限不循环小数是

11、无理数4. 在直角中， =90° ， =3 ，=2，则为（）ABCCAC2BCABA. 整数B. 分数C. 无理数D.不能确定5. 面积为 6 的长方形，长是宽的2 倍，则宽为（）A.小数B. 分数C.无理数D. 不能确定6.(2) 2的化简结果是（） A.2B. 2C.2或 2D.47.9的算术平方根是（）A.±3B.3C.±3D.38.(11) 2 的平方根是A.121B.11C.±11D.没有平方根9. 下列式子中，正确的是（）A.55B. 3.6 =0.6C.( 13)2=13D. 36 =±610.7 2 的算术平方根是（） A.1B

12、.7C.1D.47411.16 的平方根是（）A.±4B.24C.±2D.±212.一个数的算术平方根为a，比这个数大2 的数是（）A.+2B.a 2C.a +2D.2+2aa13.下列说法正确的是（）是( 2) 2 的算术平方根 C.( 2) 2 的平方根是 2A.2 是4 的平方根B.2D.8 的平方根是 414.16 的平方根是（） A.4B.4C.±4D.±215.916 的值是（） A.7B.1C.1D.716.下列各数中没有平方根的数是（）A.( 2) 3B.33C. a0D.（ a2+1）17.a2等于（）A.aB. aC. &#

13、177; aD.以上答案都不对18.如果 ( 0) 的平方根是 ± ，那么（）a amA.2=±mB. =±2C.a =±mD.± a =±maam19.若正方形的边长是, 面积为，那么（）aSA.S的平方根是aB.a是S的算术平方根C.=± SD. =aaS5二、填空题1. 在0.351， 2，4.969696, 6.7517551755510,5.2333, 5.411010010001中，无理数的个数有.32._ 小数或 _小数是有理数，_小数是无理数 .3. x2 =8, 则 x_分数， _ 整数， _有理数 .(

14、填 “ 是” 或 “ 不是 ”)4. 面积为 3 的正方形的边长 _有理数；面积为 4 的正方形的边长 _ 有理数 .( 填“ 是 ” 或“ 不是 ”)5.4 的平方根是 _；6.( 1 ) 2 的算术平方根是 _；12147.一个正数的平方根是 2 1 与+2，则=_，这个正数是 _；aaa8.25 的算术平方根是 _；9.92 的算术平方根是 _；10. 4 的值等于 _， 4 的平方根为 _； 11.( 4) 2 的平方根是 _，算术平方根是 _.三 . 判断题1. 0.01 是 0.1 的平方根 .( )2.52 的平方根为 5. （）3.0 和负数没有平方根 . （）4.因为 1 的

15、平方根是 ± 1, 所以1=± 1. （）1641645. 正数的平方根有两个，它们是互为相反数 . （）四、解答题1. 已知：在数3， 1 . 4 2 , ,3.1416,22,( 1) 2n, 1.424224222 中，,0,443（ 1）写出所有有理数；（ 2）写出所有无理数；2. 要切一块面积为 36 m2 的正方形铁板，它的边长应是多少？3. 已知某数有两个平方根分别是a+3 与 2a 15, 求这个数 .6分母有理化1分母有理化定义： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。326262有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这

16、两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用a aa 来确定，如：a与 a ，ab与 ab ，a b 与a b 等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab 与 ab ，a b与 ab ，a x b y与a x by 分别互为有理化因式。例题：找出下列各式的有理化因式(1) 12(2) 52(3) 710(4)3 26(5) ab(6) a x2a2 ( x a)3分母有理化的方法与步骤：（ 1）先将分子、分母化成最简二次根式；（ 2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；（ 3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。例题：把下列各式

17、分母有理化3(2)23553(3)2135(4)335233155例题：把下列各式分母有理化：（ 1） a b(2)ab（ 3）1（4） ba2b2a baba 2a 2ba2b2【练习】1 找出下列各式的有理化因式(1)52(2)238 11(3) aa b(4)a23 52 把下列各式分母有理化225(4)7572xy1575(5)xy5 172273计算233221321323225532311xyx y2 xy4比较大小11(3)22(4)yxy与2 32 3x75535. 把下列各式中根号外面的因式适当改变后移到根号里面：(1)2 6； (2)5 7； (3)41； (4)2a b

18、； (5)23 ；236. 计算：(1)9 ；(2)234 ；(3)0.16 ；(4)0.0164 ；(5)27 ；(6)49810.02250.3632410025y 4；121x61. 计算(1)5 1535； (2)3 (4 3 5)；(3) (14 6 5) (35) ； (4)16 41211；5212328专题讲解：类型一有关概念的识别1、实数的有关概念无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含的数，如： 2 ,1等，开方开不尽的数，如2,36等；2特定结构的数，例 0.010010 001 等；某些三角函数，如sin60o ， cos45o 等。判断一个数是否是无理数，不能只

19、看形式，要看运算结果，如0 , 16 是有理数，而不是无理数。例 1下面几个数：0. 23，1.010010001 ，3，其中，无理数的个数有（）A、1B、2C、3D、4例 2.（ 2010 年浙江省东阳县）3 是7A无理数B 有理数C整数D负数举一反三：21.在实数中 3， 0，3 ， 3.14 ，4 中无理数有（）A 1个B2个C 3个D 4个2、平方根、算术平方根、立方根的概念若 a0，则 a 的平方根是a ，a 的算术平方根a ；若 a<0，则 a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则 a 的立方根是3 a 。【例 1】16 的平方根是 _【例 2】 327的平方根是 _

20、【例 3】下列各式属于最简二次根式的是（）A x2 +1B. x2 y5C. 12D.0.5【例 4】（ 2010 山东德州）下列计算正确的是（A）200（B）313（C）93（D）235【例 5】（ 2010 年四川省眉山市）计算( 3)2 的结果是A3B3C3D9举一反三：1.下列说法中正确的是（）9A 、的平方根是 ± 3B、 1 的立方根是 ± 1C、=±1D、是 5 的平方根的相反数2. 1.25 的算术平方根是_；平方根是 _. -27 立方根是 _._，_，_.类型二计算类型题1. 估算、比较大小正数大于 0，负数小于 0，正数大于一切负数，两个负数

21、绝对值大的反而小，常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟020 之间整数的平方和0 10 之间整数的立方例 1设，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.解析：例 2.(2010年浙江省金华 ) 在 -3 ，3， 1， 0这四个实数中，最大的是（）A. -3B.3C.1D.02. 二次根式的运算二次根式的加、减、乘、除运算方法类似于整式的运算，如：二次根式加、减是指将各根式化成最简二次根式后，再利用乘法的分配律合并被开方数相同的二次根式；整式的运算性质在这里同样适用，如：单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、乘法公式等实数的混合运算经常把零指数、负整数指数、绝对值、根式、三角函数等知

22、识结合起来解决这类问题应明确各种运算的含义( a01(a0), a p1p ( a 0, p是整数 ) ，运算时注意各项的符号，灵a活运用运算法则，细心计算。例 1、计算 a3 +a21 所得结果是 _a例 2、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“ 先化简下式，再求值： a+ 1-2a+a2 其中 a=9 时 ”，得出了不同的答案，小明的解答：原式=a+1-2a+a2 =a+(1 a)=1 ，小芳的解答：原式 =a+(a 1)=2a 1=2×9 1=17_是错误的；错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：_例 3、计算：（ 1）（ 3 22 3) 2(3 2+23)

23、（ 2） ( 2- 3)2001(2+ 3) 2002例 4、二次根式 1a 中，字母a 的取值范围是（）10A a1Ba1Ca1D a1举一反三：1.求下列各式中的（1）（2）（3）类型三数形结合例 1.点 A 在数轴上表示的数为，点 B 在数轴上表示的数为，B 两点的距离为 _，则 A举一反三：1.如图，数轴上表示1，的对应点分别为A ，B ，点 B 关于点 A 的对称点为C，则点 C 表示的数是（）A1 B1C2D22。 已知实数、在数轴上的位置如图所示：化简3.如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点 A ，则点 A 表示

24、的数是（ ）A、1B、1.4C、D、类型四实数绝对值的应用例 4化简下列各式：(1) |-1.4|(2) | -3.142|(3) |-|(4) |x-|x-3| (x 3)(5) |x2+6x+10|举一反三：【变式1】化简：类型五实数非负性的应用若 a 为实数，则 a2 ,| a |, a(a 0)均为非负数。非负数的性质：几个非负数的和等于0，则每个非负数都等于 0。例 5已知：=0，求实数a, b 的值。11举一反三：1. 已知 (x-2)2+|y-4|+z6 =0，求 xyz 的值2、已知 (x-6) 2+|y+2z|=0 ，求 (x-y) 3-z3 的值。3、已知那么 a+b-c

25、的值为 _类型六实数应用题例 6有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm，宽为 8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少 cm。基础训练二一、选择题1下列各式中正确的是（）AB.C.D.2. 的平方根是 ( )A4B.C. 2D.3. 下列说法中无限小数都是无理数无理数都是无限小数-2 是 4 的平方根带根号的数都是无理数。其中正确的说法有（）A3个B.2个C.1个D.0个4和数轴上的点一一对应的是（）A 整数B.有理数C. 无理数D. 实数5对于来说（）A 有平方根B只有算术平方根C. 没有平方根D. 不能确定6在（两个 “ 1” 之间依次多1

26、个“ 0”）中，无理数的个数有（）A3个B.4个C.5个D.6 个7面积为11 的正方形边长为x，则 x 的范围是（）AB.C.D.8下列各组数中，互为相反数的是（）12A-2 与B.-与C.与D.与9 -8 的立方根与4 的平方根之和是（）A0B.4C.0或-4D.0 或 410已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）AB.C.D.二、填空题11的相反数是 _，绝对值等于的数是 _， =_。12的算术平方根是_，=_。13 _的平方根等于它本身，_的立方根等于它本身，_的算术平方根等于它本身。14已知 x的算术平方根是8，那么 x 的立方根是 _。15填入

27、两个和为6 的无理数，使等式成立：_+_=6 。16大于，小于的整数有 _个。17若 2a-5与互为相反数，则a=_， b=_。18若 a=6，=3，且 ab0，则 a-b=_。19数轴上点A ，点 B 分别表示实数则 A 、 B 两点间的距离为_。20一个正数x 的两个平方根分别是a+2 和 a-4，则 a=_，x=_ 。三、解答题21计算+×+× 4× 9 + 2 ×（） （结果保留3 个有效数字）22在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排列，用“” 号连接：参考答案：一 : 1、B 2、D 3、B 4、D 5

28、、 C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D13二： 11、， -312、 3，13、 0； 0，；0，114、15、答案不唯一 如：16、517、18、 -1519、 220、 1， 9三：21、-17 -9 2 -36 37.922、基础练习三一、选择题1.大于 25 ，且不大于 32 的整数的个数是（）14A.9B.8 C.7D. 52. 下列几种说法：（1）无理数都是无限小数；（2）带根号的数是无理数；（3）实数分为正实数和负实数；（4）无理数包括正无理数、零和负无理数。其中正确的有（）A. （ 1）（ 2）（ 3）（4） B.（ 2）（ 3）C.（ 1）（4）D.只有（ 1）3.

29、 要使 3 (3 x)3 =3 x，则 x 的取值范围 ( )A.x 3B.x 3C.0x3D.任意数4.下列四个命题中，正确的是（）A. 数轴上任意一点都表示唯一的一个有理数B.数轴上任意一点都表示唯一的一个无理数C. 两个无理数之和一定是无理数D.数轴上任意两个点之间还有无数个点5. 若 a 为正数，则有 ( )A. a aB. a=aC. aaD. a与a 的关系不确定6. 2不是( )2A. 分数B.小数C.无理数D.实数7.下列说法正确的是（）A.无限小数都是无理数B.无理小数是无限小数C. 无理数的平方是无理数D.无理数的平方不是整数8.下列等式正确的是（）937121A1C 39

30、3 D 116B9133439. 实数 a 在数轴上的位置如图1， a2 的大小关系是（） .2-6-2 ，则 a， -a ，a1< a2B.- a <11D.12 < a < - aA. a < - a << a < a2C.- a < < a < a2< aaaaa10.2535的值是（）A 1B 1 C525D25511.下列各语句中错误的个数为（）. 最小的实数和最大的实数都不存在；任何实数的绝对值都是非负数；任何实数的平方根都是互为相反数；若两个非负数的和为零，则这两个数都为零.A.4B.3C.2D.1二、填空题

31、1、24 的算术平方根是 _.( 1.44) 2 的算术平方根为 _.81 的算术平方根为9_，0.04 =_25的平方根是 _； 92 是 _的算数平方根；5、( 1) 2 的算术平方根是 _；42. 等腰三角形的两条边长分别为23 和 5，那么这个三角形的周长等于。3. 负数 a 与2 的差的绝对值是.4、若、都是无理数，且+ =2，则a、b的值可以是（填上一个满足条件的值即可）a ba b155、实数 a 在数轴上的位置如图所示，则| a 1|(a2) 26（ 2 3 ） 2007（2 3 ） 2008=7实数 P 在数轴上的位置如图1 所示，化简( p1) 2( p 2) 2_?p2第

32、6题图?8.一个负数 a 的倒数等于它本身，则a 2 = _ ；若一个数 a 的相反数等于它本身，则3a 5 2a 1 2 3a 8=_ 。9.数轴上的点与 _一一对应关系， 3.14在数轴上的点在表示的点的 _ 侧。10比较大小：（ 1） 3 253 26 （2）433三、判断（ 1）无理数都是开方开不尽的数。（）（ 2）无理数都是无限小数。（）（ 3）无限小数都是无理数。（）（ 4）无理数包括正无理数、零、负无理数。（）（ 5）不带根号的数都是有理数。（）（ 6）带根号的数都是无理数。（）（ 7）有理数都是有限小数。（）（ 8）实数包括有限小数和无限小数.（）（ 9）所有的有理数都可以在数

33、轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数（）四、解答题1. 实数 a、 b、c 在数轴上的对应关系如图2-5-1，化简 a-b - c- a +b-c - a 。2.求a4 92a 13a a2 的值综合练习一、易考题：1 1 的相反数的倒数是162 已知 a+3|+b + 1 0，则实数（ a+b）的相反数3 数 3 14 与的大小关系是4 和数轴上的点成一一对应关系的是5 和数轴上表示数3 的点 A 距离等于2 5 的 B 所表示的数是26 在实数中, 5,0,3, 3 14,4无理数有（）（A）1个（ B）2个（ C）3个（ D）4个7一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（）（ A）非负数（B）非正数（C）负数（ D）正数8若 x 3，则 x3等于（）（ A） x 3（ B） x 3（ C） x 3（ D） x39下列说法正确是（）（ A）有理数都是实数（ B）实数都是有理数（ B）带根号的数都是无理数（D）无理数都是开方开不尽的数10实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：（ 1）c-b 和 d-a（ 2）bc 和 ad二、考点训练：*1 判断题：（1）如果 a 为实数，那么a 一定是负数；（）（2）对于任何实数a 与 b,|a b|=|b a| 恒成立；（）（3）两个无理数之和