北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)

1、第一章勾股定理知识点一：勾股定理定义画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角 ABC，量 AB的长；一个直角边为 5 和 12 的直角发现 32+42 与 52 的关系， 52+122 和 132 的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。（即： a2+b2 c2）1如图，直角ABC的主要性质是：C=90°，（用几何语言表示）两锐角之间的关系：；若 D 为斜边中点，则斜边中线；若 B=30°，则 B 的对边和斜边：；（给出证明）三边之间的关系：。知识点二：验证勾股定理ABC，量 AB的长ADCB知识点三：勾股定理

2、证明（等面积法）例 1。已知：在 ABC中， C=90°， A、 B、 C 的对边为 a、 b、 c。 D C 求证： a2 b2=c2。证明：abAcB例 2。已知：在 ABC中， C=90°， A、 B、 C 的对边为求证： a2 b2=c2。b证明：acbaa、 b、 c。aabccaabccbcbabab知识点四：勾股定理简单应用在 Rt ABC中， C=90°(1) 已知： a=6, b=8 ，求 c(2) 已知： b=5， c=13，求 a知识点五：勾股定理逆定理如果三角形的三边长为 a,b,c ，满足 a2b2c 2，那么，这个三角形是直角三角形利用

3、勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：先找出最大边（如c）计算 c2 与 a2b2 ，并验证是否相等。若 c2 = a2b2 ，则 ABC是直角三角形。若 c2 a2b2 ，则 ABC不是直角三角形。1. 下列各组数中，以a，b， c 为边的三角形不是Rt 的是（）A.a=7,b=24,c=25B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52. 三角形的三边长为( ab) 2c22ab , 则这个三角形是()A. 等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形3. 已知 x6y8( z10) 20 , 则由此 x, y, z为三边的三角形是三角形

4、 .知识点六：勾股数（ 1）满足 a2b2c2 的三个正整数，称为勾股数（ 2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、 4、 5 是勾股数， 6、 8、 10 也是勾股数（ 3）常见的勾股数有： 3、 4、5 5、 12、 13； 8、 15、17； 7、24、 25； 11、 60、 61； 9、 40、 411.设 a 、 b 、 c 是直角三角形的三边, 则 a 、 b 、 c 不可能的是（） .A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,151.若线段 a， b， c 组成 Rt，则它们的比可以是（）A.2 34B.34 6C.5 1213D.467知识点七：

5、确定最短路线1. 一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm、4cm、 3cm,DC有一只甲虫从A 出发，沿表面爬到C ，最近距离是多少？ABAD'C'BA 'B'2. 如图 , 一圆柱高 8cm, 底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点 B处吃食 , 要爬行的最短路程（取 3）是.知识点八：逆定理判断垂直1在中，已知222，则的形状是 ( )BABCABBCCAABCA锐角三角形； B直角三角形； C钝角三角形； D无法确定C2如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则是 ( )ABCABCA直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形D 以上答案都不对A知

6、识点九：勾股定理应用题1. 在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2. 如图为某楼梯 , 测得楼梯的长为 5米 , 高 3米, 计划在楼梯表面铺地毯 , 地毯的长度至少需要 _米 .3 米5 米3. 一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？4. 某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多拉开

7、 5 米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？1 米，当他们把绳子的下端综合练习一一、选择题1、下面几组数 : 7,8,9; 12,9,15; m2 + n 2, m 2 n 2, 2mn(m,n均为正整数 ,m n); a2 , a21, a22 . 其中能组成直角三角形的三边长的是 ( )A. ;B.;C.; D.2 已知一个 Rt 的两边长分别为3 和 4，则第三边长的平方是（）A.25B.14C.7D.7 或 253.三角形的三边长为( ab) 2c22ab , 则这个三角形是 ()A. 等边三角形 ;B.钝角三角形 ;C.直角三角形 ;D.锐角三角形

8、.4. ABC的三边为 a、 b、c 且 (a+b)(a-b)=c2，则( )A.a 边的对角是直角B.b边的对角是直角C.c 边的对角是直角D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（） 6、 7、 8， 8、 15、 17， 7、 24、 25， 12、35、 37， 9、 40、 41A、1个B、 2 个C、3 个D、 4 个6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不是直角三角形7.若 ABC的三边 a、b、c满足 (a-b)(a 2+b2-c 2)=0 ，则 ABC是()A.等腰三角形B.直角

9、三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.如图， C = B =90°， AB =5， BC =8， CD =11，则 AD 的长为 （）A、 10B、 11C 、12D、 139.如图、山坡 AB 的高 BC =5 m ，水平距离AC =12 m ，若在山坡上每隔0.65 m 栽一棵茶树 , 则从上到下共()A、19 棵B、20 棵C、21 棵D、22 棵10.Rt ABC中，C=90°，B、C所对的边分别是a 、b、 c ，若 c =2，则a2+b2+c2（）A、的值是A、 6B、 8C、10D、 411. 下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（）、

10、 9， 12， 15B、5，1，3C、 0.2 ， 0.3 ，0.4D、 40，41， 94412. 已知，一轮船以16 海里 / 时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12 海里 / 时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2 小时后，则两船相距（）A.25 海里B.30 海里C.35 海里D.40 海里二、填空题1.在 Rt ABC中， C=90°，若 a=5， b=12，则 c=_；若 a=15，c=25 ，则 b=_ ；若 c=61 ，b=60，则 a=_；若 ab=3 4，c=10 则 SRt ABC=_2.现有长度分别为2 cm 、 3 cm 、 4

11、cm 、 5 cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为cm 3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求；勾股定理的逆定理的作用是用来证明4.如图中字母所代表的正方形的面积：A =B =81A225B2254005.在 ABC中， C 90°，若a 5， b 12，则 c6. ABC中， AB=AC=17cm， BC=16cm，则高 AD=，S ABC =。7.在 Rt ABC中，有一边是 2，另一边是3，则第三边的平方是。8.在 ABC中， AC=17 cm， BC= 10 cm， AB=9 cm，这是一个 _三角形（按角分） 。9.已知一个三角形的三边长分别是1

12、2cm， 16cm， 20cm，则这个三角形的面积为。三、简答题1.判断正误，并指出为什么？（ 1） ABC的两边为3 和 4，求第三边解：由于三角形的两边为3 和 4，所以它的第三边c 为 5。（ 2）若已知 ABC为直角三角形，则第三边为522222. 在 ABC中， BC=m-n， AC=2mn， AB=m +n (m n) 。求证： ABC是直角三角形。3. 求斜边长17 厘米，一条直角边长15 厘米的直角三角形的面积 ( 画图求解 )4. 已知一艘轮船以16 km / h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以12 km / h 的速度向东南方向航行，它们离开港口一个半小时相距多少千米？( 画图求解 )5. 如图，一根旗杆在离地面9 米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12 米处，旗杆折断之前有多高？9米12米6. 如图，在四边形ABCD中， BAD =90 ， DBC =90 ， AD = 3 ， AB = 4 ， BC = 12 ，求 CD；D家庭作业：A一、基础达标 :C1.下列说法正确的是（）A. 若 a 、 b、 c 是 ABC的三边，则 C. 若 a 、 b、 c 是 Rt ABC的三边， D. 若 a 、