向量知识点题型归纳

1、专题 -平面向量1. 向向量的相关概念、 、2. 向量的线性运算.rrrr1 r3 r（ 1 ）若 a(1,1),b(1, 1),c( 1,2) ，则 c _（答： ab ）；22（ 2 ）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.uruurB.uruur(5,7)e1(0,0), e2(1, 2)e1( 1,2), e2uruururuur(1, 3)C.e1(3,5), e2(6,10)D. e1(2, 3),e2（答： B）；24uuuruuuruuurr uuurruuurr r（3）已知 AD,BE 分别是ABC 的边 BC, AC 上的中线 ,且 ADa, BEb ,则 BC

2、可用向量 a,b 表示为 _（答：2 r4 rab ）；33（4）已知ABC中，点 D在 BC边上，且 CD2DB ， CDr ABs AC ， 则 rs 的 值 是（答： 0）四 实 数 与 向 量 的积 ：实 数与 向 量 a 的积 是 一 个向 量 ， 记 作a ， 它 的 长度和 方 向 规 定 如 下 ：二向量的表示方法 ：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ， j 为基底，则平面rrr内的任一向量

3、 a 可表示为 axiy j x, y ，称 x, y 为向量 a 的坐标， a x, y 叫做向量 a 的坐标表示。如果 向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的基本定理：如果 e1 和 e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1 、2 ，使 a=1 e12 e2。 如rra 的方向与 a 的方向相同， 当a 的方向与 a 的方向相反， 当1 aa , 2 当>0 时，<0 时，rr 0 时， a0 ，注意 ： a 0 。五平面向量的数量积 ：uuurr uuurrAOB1 两个向量的夹角 ：对于非零向量 a ，

4、 b ，作 OAa,OBb ，0称为向量 a ， b 的夹角，当0 时， a ， b 同向，当 时， a ， b 反向，当时， a ，2b 垂直。a ， b ，它们的夹角为r r叫做 a 与 b 的2 平面向量的数量积 ：如果两个非零向量，我们把数量 | a | b |cosr r数量积（或内积或点积） ，记作： a ? b ，即 a ? b a b cos。规定：零向量与任一向量的数量积是0 ，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）ABC中，|AB| 3，|AC|4，|BC |5，则 AB BC_ （答： 9 ）；r(1,1r(0,1rrr urrrr ur，则 k 等于 _（答：

5、1 ）；（ 2 ）已知 a2),b2),cakb,dab ， c 与 d 的夹角为4rrr rrr（答： 23 ）；（ 3 ）已知 a2, b5, agb3 ，则 ab 等于 _rrrrrrr rr（ 4 ）已知 a,b 是两个非零向量，且abab ，则 a与 ab 的夹角为 _（答： 30o ）r0 。 如3 b 在 a 上的投影 为 | b | cos，它是一个实数，但不一定大于可编辑.已知 | a |3 ， | b |5，且 a b12 ，则向量 a 在向量 b 上的投影为 _（答： 12 ）r54 a ? b 的几何意义 ：数量积 a ? b 等于 a 的模 | a |与 b 在 a

6、上的投影的积。5 向量数量积的性质：设两个非零向量 a ， b ，其夹角为，则：rrr r0 ； aba ?br rr 2r rr 2 rr 2r r当 a ，b 同向时， a ? b a b ，特别地，aa ? aa, aa ；当 a 与 b 反向时， a ? b a b ；rrr r当 为锐角时，a ? b0，且、不同向，a b0 是为锐角的必要非充分条件；当 为钝角时，a ? ba brrrr0，且ab不反向，a b0 是为钝角的必要非充分条件；、rrrr rr非零向量 a ， b 夹角的计算公式： cosa ? brr ； | a ? b | | a | b | 。如a b（1）已知

7、a ( ,2) ， b(3 ,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则的取值范围是 _（答：40 且1或）；33（2）已知OFQ 的面积为 S ，且 OF FQ11S3，若，则 OF , FQ 夹角 的取值范围是 _22（答：( ,) ）；43六向量的运算：1几何运算 ：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向uuurr uuurruuurrr量 加 法 还 可 利 用 “ 三 角 形 法 则 ”： 设 ABa, BCb ， 那 么 向 量 AC 叫 做 a 与 b 的 和 ， 即rruuuruuuruuurabABBCAC ；（ 3 ）若

8、 O 是 VABC 所在平面内一点，且满足uuuruuuruuuruuuruuurOBOCOBOC2OA ，则 VABC 的形状为 _（答：直角三角形） ；uuuruuuruuurruuur（4）若 D 为 ABC 的边 BC 的中点，ABC 所在平面内有一点|AP|P ，满足 PABPCP0 ，设 uuur，|PD |则 的值为 _（答： 2 ）；uuuruuuruuurr，则 ABC 的内角 C 为 _（答： 120o ）；（ 5）若点 O 是 ABC 的外心，且 OAOBCO0rr2 坐标运算 ：设 a( x1 , y1 ),b ( x2 , y2 ) ，则：rr 向量的加减法运算： a

9、b ( x1x2， y1y2 ) 。 如uuruuruururuuruuruur已知作用在点 A(1,1)的三个力 F1(3,4), F2(2,5),F3 (3,1) ，则合力 FF1F2F3的终点坐标是（答：（ 9,1 ）r 实数与向量的积 ：ax1, y1x1,y1。uuur若 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，则 ABx2x1, y2y1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如uuur1 uuuruuuruuur11),(7,9) ）；设 A(2,3), B( 1,5) ，且 ACAB，AD3AB ，则 C、D 的坐标分别是 _（答： (1,r

10、 r33 平面向量数量积 ： a ?bx1 x2y1 y2 。rx2r 2rx2y2 。 如 向量的模 ： | a |y2 , a| a |2r ruurr13 ）；已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为60o ，那么 | a3b | _（答： 两点间的距离 ：若 A x1 , y1 , Bx2 , y2，则 | AB|x22y2 y12x1。uuurr uuurrrruuuruuuruuur向量的减法：用“三角形法则”：设 ABa, ACb, 那么 abABACCA ，由减向量的终点指向被七向量的运算律：rrrrrrrrrr减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如1交换律：

11、 a b b a ，aa ， a ?bb ?a ；uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurrrrrrr rrrrrrrrrrrr（1 ）化简： ABBCCD_； ABADDC _； ( ABCD )( ACBD ) _2结合律： abcabc, abcabc，a?ba ?ba ?b ；uuuruuurrrrrrrrrrrrr rrr（答： AD ； CB ； 0 ）；3分配律：aaa,abab ， ab ? ca ?cb ? c 。（2 ）若正方形ABCD的边长为uuurruuurr uuurrrrr（答：2 2）；如1， ABa, BCb, ACc ，

12、则 | abc | _可编辑.下列命题中：a ( bc )a ba c ； a (b c) (a b)c ； (ab)2| a |2r rr rrrr 2r 2r rr2 | a | | b |2b 0，则 a0 或 ba b b| b | ； 若 a0 ；若 a bc b, 则 ac ； aa； r 2r ；aar rr 2 r 2rrr 2r rr 2 (a b)2ab ； (ab)2a2a bb 。其中正确的是 _（答：）提醒：（ 1 ）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个

13、向量，即两边不能约去一个向uuuuruuuur则 叫做点 P 分有向线段1 2 所成的比， P 点叫做有向线段12 的以定比为的定比分点；PPPP2的符号与分点 P 的位置之间的关系 ：当 P 点在线段P1P 2 上时>0 ；当 P 点在线段P1 P2 的延长uuuur线上时< 1；当 P点在线段 P2P 1 的延长线上时10 ；若点 P 分有向线段 PP12 所成的比为，uuuur1则点 P 分有向线段 P2 P1 所成的比为。如uuuruuur若点 P 分 AB 所成的比为3 ，则 A 分 BP 所成的比为 _4（答：7）3量， 切记两向量不能相除(相约 ) ；（ 2 ）向量的

14、“乘法”不满足结合律，即 a(b ? c)(a ?b)c ，为什么？rrrrr rrr八向量平行 (共线 ) 的充要条件 ： a / bab( a b)2(| a | b |)2x1 y2 y1x2 0 。 如rrrr(1) 若向量 a( x,1),b(4, x) ，当 x _时 a 与 b 共线且方向相同（答： 2 ）；rrrrrrrrr r（ 2 ）已知 a(1,1),b (4, x) ， ua2b， v2ab ，且 u / v ，则 x_（答： 4 ）；uuuruuuruuur3线段的定比分点公式= x x1 = y y1 x2 x y2 y：设 P1( x1 , y1) 、P2 ( x

15、2 , y2 ) ，P(x, y) 分有向线段uuuurx1 2 所成的比为，则PPyx1x2x2线段 P1P 2 的中点公式y1y2 。在使用定比分点的坐标公式时，应明确y2x1x21，y1 y2 1( x, y) ，（3）设 PA( k,12), PB(4,5), PC(10,k) ，则 k_时， A,B,C 共线（答： 2 或 11）rrr rr rrr九 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ： a ba b0| a b | | a b |x1x2y1 y2 0 . 特 别 地uuuruuuruuuruuurABAC)ABAC( uuuruuur( uuuruuur ) 。如ABACAB

16、ACuuur(uuuruuuruuur3）；(1) 已知 OA1,2), OB(3,m) ，若 OAOB ，则 m（答：2（ 2 ）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB， B90，则点 B 的坐标是 _（答： (1,3) 或（ 3 ， 1 ）；rrurrurur（ 3 ）已知 n( a,b),向量 nm ，且 nm ，则 m 的坐标是 _（答： (b, a)或( b,a) ）十线段的定比分点 ：uuuruuur1 定比分点的概念 ：设点 P 是直线 P 1 P 2上异于 P1、P 21PP2 ，的任意一点， 若存在一个实数，使 PP( x1, y1) 、 ( x2 ,

17、y2 ) 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如1（1）若 M （-3 ，-2），N （ 6， -1 ），且 MPMN，则点 P 的坐标为 _3（答： ( 6, 7) ）；3uuuuruuur（ 2 ）已知 A(a,0), B(3,2a) ，直线 y1 ax 与线段 AB 交于 M ，且 AM2MB ，则 a 等于 _2（答：或）rh, k平移至 P( x , y ) ，则 a = pp ' ， xxh ；曲线 f ( x, y) 0十一平移公式 ：如果点 P( x, y) 按向量 ayykrh,

18、k 平移得曲线 f ( xh, y k)0按向量 a.注意：（1 ）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（ 2 ）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如rr7,2) 平移到点 _（ 1 ）按向量 a 把 (2, 3) 平移到 (1,2) ，则按向量 a 把点 (（答：（，）；可编辑.（2 ）函数ysin 2x 的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是y cos2x 1 ，则 a _（答： (,1)）412 、向量中一些常用的结论：（1 ）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2 ）rrr rrrr rrrrrr| a | | b | | a b | | a | | b

19、 |，特别地，当、同向或有 0| ab | | a | b |a brrrrr r反向或有rrr rrrrrrr r不 共 线| a | | b | | a b |； 当、0| a b | | a | | b | a | | b | | a b | ； 当、a ba brrrrrr).| a | b | ab | | a | b |(这些和实数比较类似在 ABC 中，若112, y233，则其重心的坐标为 Gx1x2x3 , y1y2y3。如A x , y , B x,C x , y33若ABC 的三边的中点分别为 （ 2，1 ）、（ -3 ，4 ）、（ -1 ，-1 ），则ABC 的重心的坐

20、标为（答： (2, 4) ）；uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurr331G 为 ABC 的重心，特别地P 为ABC 的重心； PG( PAPBPC )PAPBPC03uuuruuuruuuruuuruuuruuurP 为ABC 的垂心；PA PBPB PCPC PAuuuruuurABACABC 的内心 (是BAC 的角平分线所在直线向量(uuur)(0) 所在直线过)；uuur|AB|AC|uuur uuur uuuruuruuruuur1 .如（4 ）向量 PA、PB、PC 中三终点 A、 B、 C 共线存在实数、使得 PAPBPC且平面直角坐标系中，O 为坐标原点，

21、已知两点A(3,1) , B(1,3),若点 C 满足 OC1 OA2 OB ,其中1 , 2R 且 121,则点 C 的轨迹是 _（答：直线 AB ）12 、向量与三角形外心 .三角形外接圆的圆心,简称外心 . 是三角形三边中垂线的交点 .（下左图）重心三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍.（上右图）三、垂心三角形三条高的交点,称为三角形的垂心.（下左图）四、内心三角形内切圆的圆心,简称为内心 . 是三角形三内角平分线的交点.三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.（上右图）题型一：共线定理应用

22、例一： 平面向量 a, b 共线的充要条件是（） A. a, b 方向相同B.a, b 两向量中至少有一个为零向量C.存在R, baD 存在不全为零的实数1 , 2 , 1 a2 b0变式一： 对于非零向量a, b ，“ ab0 ”是“ a/ b ”的（）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件变式二： 设 a, b 是两个非零向量（）A. 若 aba _ b 则 abB. 若 ab ，则 aba _ b可编辑.C. 若 a ba _ b ，则存在实数，使得 ba D 若存在实数，使得 b变式一： ( 高考题 ) 在三角形 ABC 中，点 D 在边 AB

23、 上， CD 平分角 ACB, CBa ， CA b , a 1, b 2 ,a ，则 aba _ b则 CD()例二： 设两个非零向量e1 与 e2，不共线，A.1 a2 b ,B.2 a1 b,C.3 a4 b ,D.4 a3 b,（1）如果 ABe1e2 , BC3e12e2 , CD8e12e2 ,求证： A,C, D三点共线；33335555（2）如果 ABe1e2 , BC2e13e2 , CD2e1k e2 ,且 A, C, D三点共线，求实数 k 的值。变式二： 设 D,E,F 分别是三角形ABC的边 BC,CA,AB上的点，且 DC2BD, CE 2EA, AF 2FB, 则

24、变式一： 设 e1 与 e2 两个不共线向量，AB2e1ke2 ,CBe13e2 ,CD2e1e2 , 若三点 A,B,D 共线，求ADBE, CF与BC()实数 k 的值。A. 反向平行B. 同向平行C.互相垂直D. 既不平行也不垂直变式二： 已知向量 a, b ，且 ABa 2b, BC5a 2b,CD 7a 2b, 则一定共线的三点是（）变式三： 在平行四边形ABCD 中， E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若 ACAEAF,其 ,R, 则A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D=题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一： 设 P 是三角形AB

25、C 所在平面内的一点，2BPBCBA, 则（）变式四： 在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD的中点， AE 的延长线与 CD交于点 F，A. 0PAPBB.0PC PAC. 0PBPCD.0PCPAPB若 ACa, BD b, 则 AF()A.1 a1 b,B.2 a1 b,C.1 a1 b,D.1 a2 b,42332433变式一： 已知 O 是三角形 ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边的中点，且02OAOB OC ,那么（）题型三：三点共线定理及其应用A. A0ODB. A02ODC. A03ODD.2 A0OD例一： 点 P 在 AB 上，求证

26、： OPOAOB 且=1（ ,R, ）变式二： 在平行四边形ABCD中 AB a ， ADb ， AN3NC ,M为 BC 的中点，则 MN( 用a, b 表示 )变式： 在三角形 ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M和N,若ABmAM , ACn AN ,则 m+n=例二： 在三角形 ABC 中， ABc ， ACb ,若点 D 满足 BD2DC ,则 AD()例二：在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是 BC,CD 的中点， DE 与 AF 交于点 H, 设 ABa, BCb, 则 AHA.2 b1 c,B.5 c2 b,C.2 b1

27、 c ,D.1 b2 c,A.2 a4 b, B.2 a4 b,C.2 a4 b,D.2 a4 b ,3333333355555555变式： 在三角形ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点N 是边 AC 上一点且AN=2NC,AM与 BN 相交于点P,若可编辑.APPM,求的值。变式一：O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点 P满 足题型四：向量与三角形四心OP OAABACR, 则点 P 的轨迹一定通过(),ABC 的（）一、内心AB COSBAC COSCP满足OPOA(ABAC ), 【0，A. 外心B.内心C.重心D .垂心例一： O 是 ABC 所在平面内一定点，

28、动点）ABAC，四外心则点 P 的轨迹一定通过ABC 的（）A.外心B. 内心C.重心D.垂心例一： 若 O 是ABC 的外心， H 是ABC 的垂心，则OHOAOCOB变式一： 已知非零向量AB与 AC满足 ( ABAC )BC0 ，且ABAC1，则 ABCABACABAC2为（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形变式二： ABPCBC PACA PB0P 为ABC 的内心二、重心例一： O 是ABC 内一点， OCOAOB0 ，则为ABC 的（） A. 外心 B. 内心 C.重心D.垂心变式一： 在ABC 中， G 为平面上任意一点，证明： G

29、O1(GA GB GC)O 为ABC 的3重心变式二： 在ABC 中， G 为平面上任意一点，证明： GO1(AB AC)O 为ABC 的重心3三垂心：例一： 求证：在ABC 中， OAOBOBOCOCOAO 为ABC 的垂心变式一： 已知点 O，N ，P 在ABC 所在平面内，且 OAOBOC,0 NA NB NC，PA PBPB PCPCPA ，则 O，N ，P 依次是ABC 的（）A. 重心、外心、垂心B. 重心、外心 、内心C. 外心 、重心、垂心D . 外心 、重心、内心题型五：向量的坐标运算例一： 已知 A(-2,4),B(3 ， -1) ， C(-3 ，-4) ，且 CM3CA

30、, CN2CB ,试求点 M,N 和 MN 的坐标。变式一： 已知平面向量 a( 3 , 1), b( 1 ,3 ),向量xa （ t3）b, yk a t b, 其22中 t 和 k 为不同时为零的实数， （ 1）若 xy ，求此时 k 和 t 满足的函数关系式 k=f(t);(2)若 x / y ，求此时 k 和 t 满足的函数关系式k=g(t).变式二：平面内给定3 个向量 a(3,2), b(1,2), c(4,1) ，回答下列问题。（1 ）求 3 ab2 c ；（ 2 ） 求 满 足 ambn c 的 实 数m,n;(3)若 ( ak c) /( 2ba ) ， 求 实 数k ；（

31、4 ） 设d( x, y)满足 ( dc) /( ab) 且 dc1 ，求 d 。题型六：向量平行（共线）、垂直充要条件的坐标表示可编辑.例一： 已知两个向量a(1.2), b( 3,2) ,当实数 k 取何值时，向量k a2b 与 2a4b 平行？变式一： 设向量 a,b 满足 |a|= 25 ， b= （2,1 ），且 a 与 b 反向，则 a 坐标为 _例二： 已知向量OA ( k,12), OB ( 4,5), OC ( k,10) 且 A,B,C 三点共线，则k= （）3223A:B:C:D:2332变式一： 已知 a( 3 sin ), b(cos , 1), 且 a/b ，则锐角为 _23变式二： ABC 的三内角 A,B,C 所对边的长分别为a,b,c 设向量 p(a c, b), q (b a, c a), 若 p / q，则C 的大小为（）A:B:C:2D:6323题型七：平面向量的数量积例一：（1 ）在 Rt ABC 中，C=90 °，AC =4 ，则 ABAC （）A：-16B:-8C:8D:16（2）高)已知正方形ABCD 的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE CB的值为；DE CB的最