周期数列详解

1、.周期数列一、周期数列的定义：类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列 an ，如果存在一个常数T (TN ) ，使得对任意的正整数nn0 恒有 an Tan 成立，则称数列 an 是从第 n0项起的周期为 T 的周期数列。若n01，则称数列 an 为纯周期数列，若n02 ，则称数列 an 为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期。设 An 是整数 ,m 是某个取定的大于 1 的正整数 , 若 Bn 是 An 除以 m后的余数 , 即Bn=An(mod m), 且 Bn 在 0,1,2,.,m-1, 则称数列 Bn 是An 关于 m的模数列 , 记作 An(mod m) 。若模数列

2、An(mod m) 是周期的 , 则称 An 是关于模 m的周期数列。二、周期数列的性质1、周期数列是无穷数列，其值域是有限集；2、如果 T 是数列 an 的周期，则对于任意的kN， kT 也是数列 an 的周期。3、若数列 an 满足 anan1an 2 （ nN，且 n2 ），则6 是数列的一个周期。4、已知数列 an 满足 antan （ n,tN，且 t 为常数）， Sn分别为 an 的前 n 项的和，若 n qtr （ 0rt ， rN ），则 anar ， SnqSt Sr。特别地：数列 an 的周期为 6，（即： an 6an ）则 S2012335S6S25、若数列 an 满足

3、 ananks ( nk, nN) ，则数列 an 是周期数列；若数列 an 满足 anan1an ks (nk, nN) ，则数列 an 是周期数列。若数列 an 满足 anan 1anks ( nk, nN, s0) ，则数列 an 是周期数列。特别地：数列 an 满足 anan 1s (n k, nN ) ，则数列 an 周期 T=2 ；数列 an 满足 anan 1an 2s (nk, n N ) ，则数列 an 周期 T=3数列 an 满足 an an1s ( nk, nN) ，则数列 an 周期 T=2 ；数列 an 满足 an an1 an2s (nk, nN) ，则数列 an

4、周期 T=3;.6、若数列 an 满足 anaan 1b , a+d=0,则数列 an 是周期 T=2 ；can 1d3an 17例：数列 an 满足 anan 1, 则数列 an 是周期 T=2 ；3三、周期数列性质的简单应用1、求数列的通项公式（ 1） 数列 1， 2， 1，2，1，2， 的通项公式解析：原数列可构造成：31 ， 31 ， 31 ， 31 ， 31 ，31， ，222222222222它的通项公式可以写成： an3( 1) n 1(n N)，2231sin(n )( n N)，或者写成： an22231(n N)，又或者写成： ancos n22总结：一般的 数列 a ，

5、b， a， b， a， b，它的通项公式可以写成：1(a b)1( n N)an(b a) cos n22（ 2） 1， 0， 1， 1， 0， 1，的通项公式解析：该 数列周期为3，我们把它与周期为 的函数y tan x 进行改造，使它们能发生联系。事实上，当x分别为， 0，3， 2， 4，时， tanx 的值分别为3333，0， 3，3，0，3 ，这样1，0，1， 1，0， 1，的通项公式可以写成：1tan(n2)3bn 212)(nN)所以，原数列的通项公式为tan(n3（3）数列 cn ： 1，2， 3， 4，1， 2， 3， 4， 的通项公式;.解析：将原数列扩大2倍：2，4，6，8

6、，2， 4，6，8，再减去平均数5得到：3，1，1，3，3， 1，1，3，分解成两个数列：(1)1，1，1，1，1，1，1， 1 ，(2)2 ， 2，2，2，2，2，2，2，(1) 的通项公式为 ( 1)n易得， (2) 的通项只要求出1 ，1 ，1， 1， 1，1 ，1 ，1 ，的通项便可以了，它与(2) 相差一个系数2 。以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项：c1n2 sin( 1 n1)(n N)，242， 2， 2，2，2，2， 2， 2，的通项为：c2 n22 sin( 1 n1)(n N)，2 4 3 ， 1， 1，3， 3 ， 1， 1， 3，的通项为：c3

7、n( 1) n22 sin( 1 n1)(n N)，24则原数列 cn 的通项为：cn1 5( 1) n2 2 sin( 1 n1) (n N)。224（ 4） cn ： 1， 1， 1，1， 2， 2， 2， 2，3， 3， 3，3， 4，4， 4， 4，的通项公式乘以 ( 4) 得：4，4，4，4，8，8，8，8，12，12，12，12，加上 (n+4) 得： 1， 2， 3，4， 1， 2， 3， 4，1， 2， 3， 4，它的通项公式为：;.cn '1 5(1) n22 sin(1n1)224又 cn '4cn( n4)化简整理得：c n1 2n3 (1) n22 si

8、n( 1 n1(n N)。8242、求数列中的项例 3（由第十四届希望杯改编）、已知数列 an 中， a13, a25 且对于大于 2的正整数，总有 anan 1an 2 ，则 a2009等于（）A -5B -2C 2D 3解析：由性质（2）知，数列 an 是以 6 为周期的周期数列，而20096 3345 ，再由性质（ 3）可得 a2009a5a4a3 (a3a2 )a35，故选 A例 4（上海中学数学杂志2000 年的第 1 期）、已知实数列 an 满足 a1a （ a 为实数）， an3an 1 13an 1( n N ) ，求 a2000 3an 11an 13an 13解： annN

9、) 可变形为 an3我们发现 an3(3 an 113 an 113 an 133与三角式 tan(x)tanxtan6十分相似，因此可把此三角式认为是原递推关系61tan x tan6an = tan ntan ( n1)的原型通过运算，发现本题中可取， an 1显然此数列的66周期是 6而 2000 33362 ，再由性质（ 3），得 a2000 a23a1 3a3 、求周期数列的前n 项和例5、设数列 an 中，a1 a2，a32，且对 nN ，有an an 1 an 2 an 3=1anan 1 an 2an 3 （ an an 1an 21）成立，试求该数列前100 项和 S100

10、解：由已知条件，对任何自然数N，有 an an 1 an 2 an 3 = anan1 an 2 an 3 ，把式中的 n 换成 n1，得 an 1an2 an 3 an 4 = an 1an 2an 3an 4两式相减得，;.an 1an 2 an 3 (anan4 )an an 4 因为 an1an 2an 31，所以an 4an(nN) 所以 an 是以 4 为周期的周期数列，而1004 25 ，再由性质（3），得 S10025 S425(1124)200 例 6（上海 08质检题）、若数列 an 满足 an 2an 1an(n N) ， Sn 为 an 的前n 项和，且 S22008

11、， S3 2010，求 S2008 解析：由 an 2an 1an 及性质（ 2），可知所以数列 an 是以 6 为周期的周期数列由 S22008， S32010 ，知 a1a22008 ， a1 a2 a32010 ，再结合a3a2a1 ，可求得 a11003， a21005， a32；由递推关系式可进一步求得a41003， a51005， a62 因为 20086334 4，由性质（ 3），得S2008334S6S43340 10071007 4 、求周期数列的极限例 7、（ 06 北京）在数列 an 中， a1 ， a2 是正整数，且 anan 1an 2 ，n3,4,5 ，则称 an 为“绝对差数列”若“绝对差数列” an 中， a203 ，a210 ，数列 bn 满足 bn an an 1an 2 ， n 1,2,3 ，分别判断当 n时，数列 an 和 bn 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值解析：因为