反比例函数常见几何模型

1、.反比例函数常见模型一、知识点回顾1.反比例函数的图像是双曲线， 故也称双曲线 y= k （ k0）其解析式有三种表示方法：kx y（ k 0 ）； y kx 1 （ k 0 ）； xy kx2反比例函数y= k （ k0）的性质x（ 1）当 k>0 时函数图像的两个分支分别在第一，三象限内在每一象限内，y 随x 的增大而减小（ 2）当 k<0 时函数图像的两个分支分别在第二，四象限内在每一象限内，y 随x 的增大而增大（ 3）在反比例函数y= k 中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值 (也就是求其图像上x一点横坐标与纵坐标之积).（ 4）若双曲线y= k 图像上一点（a，

2、 b）满足 a， b 是方程 Z2 4Z 2=0 的两根，求双x曲线的解析式 由根与系数关系得ab= 2，又 ab=k， k= 2，故双曲线的解析式是y=2 x（ 5）由于反比例函数中自变量x 和函数 y 的值都不能为零，所以图像和x 轴， y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势二、新知讲解与例题训练模型一：如图，点 A 为反比例函数 yk 图象上的任意一点，且 AB 垂直于 x 轴，| k |x则有 S OAB2;.例 1：如图Rt ABC 的锐角顶点是直线y=x+m与双曲线y= m 在第一象限的交点，且xS AOB3 ,（ 1）求 m 的值（ 2）求ABC 的面积变式

3、题1、如图所示，点A1, A2 , A3在 x 轴上，且 O A1 = A1 A2 = A2 A3 ,分别过 A1 , A2 , A3 作 y 轴平行8线，与反比例函数y= (x>0) 的图像交于点 B1 , B2 , B3 ，分别过点 B1 , B2 , B3 作 x 轴的平行x线，分别与 y 轴交于点 C1, C 2 , C 3 ,连结 OB1 , OB2 ,OB3 ,那么图中阴影部分的面积之和为_2、 如图，点 A 在双曲线 y1y3上，点 B 在双曲线上，且 ABx 轴， C、 D 在 x 轴上，xx若四边形 ABCD为矩形，则它的面积为.模型二：如图：点 A、B 是双曲线 yk

4、 (k 0) 任意不重合的两点， 直线 AB 交 x 轴于 Mx点，交 y 轴于 N 点，再过 A、 B 两点分别作 ADy 轴于 D 点， BFx 轴于 F点，再连结 DF 两点，则有： DF | AB 且 BM ANyNDDAFBxOF M;.例 2：如图，一次函数 y axb 的图象与 x轴， y 轴交于 A，B 两点，与反比例函数 yk 的图象相交于 C，D 两点，分别过 C，D 两点作 y 轴， x 轴的垂线，垂足x为 E，F，连接 CF，DE有下列四个结论： S CEFS DEF ； AOB 相似于 FOE ； DCE CDF BD其中正确的结论是（把你认； AC为正确结论的序号都

5、填上）yDBA OFxCE例 3：一次函数 yaxb 的图象分别与 x 轴、 y 轴交于点 M , N ，与反比例函数yk 的图象相交于点 A, B 过点 A 分别作 AC x 轴， AEy 轴，垂足分别为xC, E ；过点 B 分别作 BFx 轴， BDy 轴，垂足分别为 F， D，AC 与 BD 交于点K ，连接 CD（ 1）若点 A，B 在反比例函数yk的图象的同一分支上，如图，试证明：x1 S四边形 AEDKS四边形 CFBK； ANBM （ ）若点 A，B 分别在反比例函数yk的图象的不同分支上， 如图 2，则 AN 与2xBM 还相等吗？试证明你的结论图 1图 2;.模型三：如图，

6、已知反比例函数 yk （k0，x>0）上任意两点 P、C，过 P 做 PA x 轴，x交 x 轴于点 A，过 C 做 CDx 轴，交 x 轴于点 D，则S OPC梯形SPADC .例 4：如图，在直角坐标系中，一次函数y=k1的图象与反比例函数yk2 的x+bx图象交于 A(1,4)、 B(4，1)两点，则 AOB 的面积是 _.例 5：如图，在直角坐标系中，一次函数yk1 xb 的图象与反比例函数 yk2 的图象交于 A（1,4）、B（3，m）两点，则 AOB 的x面积是 _.例 6：如图 1，已知直线 y1 x 与双曲线 yk (k0) 交于 A、B 两点，且点 A 的横坐标为 42

7、x（ 1）求 k 的值；（ 2）如图 2，过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 yk ( k 0) 于 C、D 两点（点xC 在第一象限且在点 A 的左边），当四边形 ACBD 的面积为 24 时，求点 C 的坐标;.模型四：在矩形 AOBC 中， OB=a， OA=b，分别以 OB， OA 所在直线为 x 轴和 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 F 是 BC 上的一个动点 （不与 B、C 重合），过 F点的反比例函数 yk ( x0) 的图象与 AC 边交于点 E，则 CEa .xCFbyAECFOxB例 7：两个反比例函数 yk 和 y 1 在第一象限内的图象如图所示， 点 P 在

8、y kxxx的图象上，PCx 轴于点 C，交 y1 的图象于点 A，PDy 轴于点 D，交 y 1xx的图象于点 B，当点 P 在 yk 的图象上运动时，以下结论：xODB 与 OCA 的面积相等；四边形 PAOB 的面积不会发生变化； PA 与 PB 始终相等；当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点其中一定正确的是_（把你认为正确结论的序号都填上） 课堂练习：一、选择题1、已知 m<0，则函数 y1mx 与 y2m 的图像如图，大致是（）x;.A.B.C.D62、如图，点 A 在双曲线 y上，且 OA=4, 过点xA作ACx 轴，垂足为 c， OA 的垂直平分线交O

9、C于 B,则ABC 的周长为（）A. 27B.5C. 47D.223、如图，双曲线ky（ k>0 ）经过矩形 OABC 的边 BC 的中点 E，交 AB 于点 D ，若梯形xODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（）A. y1B.2C. y36xyD.yxxx题 3题 4题 54、如图， A,B 是函数 y2的图像上关于原点对称的任xABC 的面积记为 S，则意两点， BC/x 轴， AC/y轴，S（ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示， 等腰直角三角形ABC 位于第一象限， AB=AC=2 ，直角顶点 A 在直线 y=x 上，其中 A 点的横

10、坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于 x 轴，y 轴，若双曲线 y= k（k0）x与 ABC 有交点，则 k 的取值范围是（）A 1<k<2B 1 k3C1 k 4 D 1 k<4二、填空题;.1、如图，点A 在双曲线y1 上，点 B 在双曲线 y 3 上，且 AB x 轴， C、 D 在 x 轴上，xx若四边形ABCD为矩形，则它的面积为.2、如图，双曲线 y2 ( x0) 经过四边形 OABC的顶点 A、C， ABC 90°， OC平分 OA与xx 轴正半轴的夹角，AB x 轴，将 ABC沿 AC翻折后得到 AB C，B点落在 OA上，则四边形 OAB

11、C的面积是.3、如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，（ 2，0）， 60°，点ABAOBk在第一象限，过点A 的双曲线为 y= x ，在 x 轴上取一点 P，过点 P 作直线 OA的垂线 l ，以直线 l 为对称轴，线段 OB经轴对称变换后的像是OB.（1）当点 O与点 A 重合时，点 P 的坐标是.（2）设 （， 0） , 当 与双曲线有交点时，t的取值范围是.P tOBk4、如图，已知双曲线y(k0) 经过直角三角形OAB 斜边 OA 的中点 D ，且与直角边ABx相交于点C若点 A 的坐标为（6 ， 4），则 AOC 的面积为.yADCBOx5、双曲线 y1 、

12、y2 在第一象限的图像如图， y14，x过 y1 上的任意一点 A ，作 x 轴的平行线交y2 于 B ，;.交 y 轴于 C ，若 S AOB1，则 y2 的解析式是课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx （ k>0）与双曲线y= 4 交于A （ x1， y1）， B （ x2， y2）两点，则2x1 y2x 7x2y1 的值等于 _2、反比例函数y= k 的图像上有一点P（ a， b），且 a， b 是方程 t2 4t 2=0 的两个根，则xk=_ ；点 P 到原点的距离 OP=_3、已知双曲线xy=1 与直线 y= x+b 无交点，则 b 的取值范围是 _4、反比例函数y= k 的图像经过点 P（ a，b），其中 a， b 是一元二次方程 x2+kx+4=0 的两个x根，那么点P 的坐标是 _5、如图，已知双曲线yk ( k0 ) 经过直角三角形 OAB 斜边 OB 的中点 D，与直角边 AB 相x交于点 C若 OBC 的