附录1高斯-马尔科夫定理的证明_第1页
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1、局斯一马尔科夫定理（OLS有效性）的证明根据OLS的一阶条件:S( -)=-2X那设b是解，则b满足正则方程组X Xb这正是我们曾分析的最小二乘正则方程组。因为X是满秩的，所以XX的逆存在,从而得到解是b =(X X )亶 X yS( !) =y y 2!壬 X y ：-X X制').-=2Xy 2XX： =0为了证实这确实是最小值，我们需要二阶编分矩阵f2S(!)，卞I，=2X X是- -个正定矩阵。我们现在来证明这个结果。对任意一非零向量c,令q=Xc则X的各列的一个线性组合等除非v的每一元素都为0,否则q是正的。但若v为零的话, 于0,这与X满秩的假定相矛盾。三、最小二乘估计量的

2、统计特性在本节中，我们对回归量的两种情况，即非随机回归量和随机回归量下分别作讨论。1、X非随机回归量若回归量当作非随机来进行处理时，则将X当作常数矩阵处理就可导出最小二乘估计量的各种特性。可得(4)b = (X X ) = X (X ：；) - - (X X )堂 X ；若X是非随机的，或E（X目=0，则（4）中第二项的期望值是 0。所以，最小二乘估计量是无偏的，它的协方差矩阵是Var b = E(b - /(b - '-)= E( X X )里X ; ;X (X X )七 .1.1= (XX) 一 XE把X(XX) 一=(X X ) -X (二 2|)X (X X ) J2-1=C-

3、 (XX)-在前面的内容中，对 K=2的特殊b是3的最小方差的线性无偏估计量。现在我们给出 一 - . . 这个基本结果的一个更一般的证明，令b =Cy是E的另一个不同于b的线性无偏估计量，其中C是一个KX n矩阵。若b是无偏的，ECy = ECX ! C ;=：,、 、 . - 这暗示着CX=I，并且b = E +C&。所以可以得到b的协方差矩阵是2 一一.Var b= c- CC 现在令D =C (X X) -X ',由假设知 D丰0 。那么，b* = b b = Dy ,Var (b*) = D£ Y D' = u2DD ',于是DD '是非负定矩阵。则Var - ；.- 2( D (X X )X )( D (X X ) J X )- ；.-2( D (X X )X )( D . X (X X ) ”= c-2(dd . (X X)七在展开这个四项和式之前，我们注意到I =CX = DX (X X ) a(X X )由于上面最后一项是I,有DX=0 ,所以Var b - ；.一 D D ,。 (X X )2=V a ib。D Db的方差矩阵等于 b的方差矩阵加上一个非负定矩阵。所以，Var b 的每个二次型都大于Var b的相应二次型。利用这个结果可以证明高斯 -马尔

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