圆锥曲线与方程知识点复习及例题

1、.第二章圆锥曲线与方程§ 2.1 椭圆 : 知识梳理1、椭圆及其标准方程（1） . 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点F1 、 F2 的距离的和大于 | F1 F2 |这个条件不可忽视 . 若这个距离之和小于|F1 F2 | ，则这样的点不存在；若距离之和等于| F1 F2 | ，则动点的轨迹是线段F1F2 .（2） . 椭圆的标准方程：x 2y 21y2x21 （ a b 0）a 2b 2a 2b2（3） . 椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x 2 项的分母大于 y 2 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在 y 轴上 .2、椭圆的简

2、单几何性质（a b 0） .（ 1）椭圆的几何性质：设椭圆方程x 2y 21 ,线段 A1 A2 、 B1 B2 分别叫做椭圆的长a 2b 2轴和短轴 . 它们的长分别等于2a 和 2b，(2). 离心率：ec1b20 e 1.e越接近于 1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于 0aa2时，椭圆就越接近于圆 .(3) 椭圆的焦半径：MF1aex ， MF2 aex. a 2 =b2 + c2;.典例剖析;.(4).椭圆的的内外部点P(x0x2y21(a b 0) 的内部x02y021, y0 ) 在椭圆b2a2b2a2(5).焦点三角形PF1F2经常利用余弦定理、三角形面积公式 将有关线段PF

3、、 PF 、2c，12有关角FPFPF1 PF2PF1 PF21 2结合起来，建立、等关系§椭圆及其标准方程: 典例剖析题型一椭圆的定义应用例 1题型二椭圆标准方程的求法例 2 已知椭圆的两个焦点为（53-2 ， 0），（2,0 ）且过点 ( ,) ，求椭圆的标准方程22§ 椭圆的简单的几何性质典例剖析题型一 求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等例 1 已知椭圆x2( m3) y2m(m0) 的离心率 e3 ，求 m 的值及椭圆的长轴和短2轴的长、焦点坐标、顶点坐标;.例 2 设椭圆的两个焦点分别为F1、 F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 F1PF2

4、 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A2B21C2 2D2122例 3 已知椭圆C 的焦点 F1（ 22 ， 0）和 F2（ 2 2 ， 0），长轴长 6，设直线 yx2 交椭圆 C 于 A、 B 两点，求线段AB的中点坐标§2.2 双曲线 : 知识梳理1、双曲线及其标准方程（ 1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数2a（小于| F1 F2 | ）的动点 M 的轨迹叫做双曲线 . 在这个定义中，要注意条件2a | F1F2 | ，这一条件可以用 “三角形的两边之差小于第三边”加以理解 . 若 2a=| F1 F2| ，则动点的轨迹是两条射线；

5、若 2a | F1 F2 | ，则无轨迹 . 若 MF1 MF 2时，动点 M 的轨迹仅为双曲线的一个分支， 又若 MF1 MF2 时，轨迹为双曲线的另一支. 而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值” .（2）. 双曲线的标准方程判别方法是：如果x 2 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果 y 2;.项的系数是正数，则焦点在y 轴上 . 对于双曲线， a 不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.2、双曲线的简单几何性质（1）. 双曲线 x 2y 21 实轴长为 2a，虚轴长为2b，离心率 ec1b 2离心率 e 越a 2b 2aa 2大

6、，开口越大 .（2）. 双曲线 x 2y 21的渐近线方程为yb x 或表示为 x2y20 . 若已知双曲线a 2b 2aa2b2的 渐 近 线 方 程 是 ym x ， 即 mxny 0 ， 那 么 双 曲 线 的 方 程 具 有 以 下 形 式 ：nm 2 x 2n2 y 2k ，其中 k 是一个不为零的常数 .（3）焦半径公式PF1|e(x a2)|， PF2|e(a2x)|.cc双曲线焦半径应用举例双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径。已知点P(x0 ， y 0 ) 在双曲线x2 y 2= 1 (a 0，b 0) 上， F， F2分别为双曲线的左、右焦点。若点P 在右半支上，

7、a2b21则| PF1 | = e x 0 + a ， | PF2 | = e x 0 a；若点 P 在左半支上，则 | PF 1 | = ( e x 0 + a)，| PF2 | = ( e x 0 a) 利用焦半径公式解题，可使解题过程简单明了，下面列举几例，供参考。一、求双曲线的标准方程例 1、设 F、F2是双曲线 x 2 y 2= 1 (a 0， b 0) 的左、右两个焦点， l 为左准1a 2b2线，离心率 e= 3 ， P(28 ,m) 是左支上一点， P 到 l 的距离为 d，且 d， | PF1|，|PF2|23成等差数列，求此双曲线方程。分析；利用焦半径，结合双曲线的第二定义

8、列出等式，求出待定系数.解：由双曲线的第二定义知：d =2|PF 1|，又|PF1 | = ( e x 0 + a) = 14a,3|，即 2| PF2| = ( e x0 a) = 14 a, 由已知得： d | PF2|=2|PF1(14 a) (143;.22a)=28 2a 得： a = 2 ， c =3 ， b =5 ，故双曲线的方程为x y=1。45评注：利用焦半径公式，可使运算过程简便易行。二、求值例 2 双曲线 x2 y2=1 的两个焦点为F1、F2，点 P 在双曲线上，若PF1PF2，916则点 P 到 x 轴的距离为 _.分析；利用焦半径及勾股定理，列出等式，求出P 点纵坐

9、标即可。解：不妨设 P 在双曲线上右支上，设 P(x 0 ， y 0 ) ，则 | PF 1 | = ex 0 + a = 3 5 x 0 ， | PF2 | = ex 0 a = 5 x03，33则|PF 1| 2|PF2 | 2= |F 1 F 2 | 2 ，即： (3 5 x 0 ) 2 (5 x 0 3) 2=100，332 369x02y022 256，所以点 P 到 x 轴的距离为16。所以 x0 =，又=1，所以 y0 =52591625评注：利用双曲线的定义和焦半径公式，简单明了。三、求范围例 3如图，已知梯形ABCD中， |AB| = 2|CD|，点 E 分有向线段 AC 所

10、成的比为，双曲线过 C、 D、 E 三点，且以 A、B 为焦点，当 2 3时，求双曲线离心率e 的取值范34围解：以直线 AB 为 x 轴，线段 AB的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则CD y 轴，因为双曲线经过点 C、 D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性可yDC知，C、D 关于 y 轴对称设双曲线的焦距为2c，则 A、EAOB xB、 C 三点的横坐标分别为c、 c、 c ，则点 E 的横2cc坐标为 x E =2根据双曲线焦半径公式， 有：1|AE| = ( ex E a ) =ecec a， |BC| = e x c a =ec a，12(1)2;.而 AC与 AE同号，从

11、而 | AC | = AC = 1|AE|AE |AC| =1·|AE| =1· ecec a =ec ec 1a，12(1)2由双曲线的定义有 |AC| |BC| = 2a，即 ( ec ec 1a) (ec a) = 2a ，22两边同除以 a，并化简整理，得11)e2= 21， e2=21= 23(11由 2 3，得 31 4，解得 7 e 2 10341 7 e 10 ，故所求双曲线离心率e 的取值范围是 7， 10评注：凡是遇到双曲线上的点到双曲线焦点距离的问题，均可考虑使用焦半径公式四、其他问题例 4 在双曲线 y 2 x 2=1 的上支上有三点A(x 1 ，

12、y1 ),B(26 ,6),C(x 3 ,y 3 ) 与 F(0 ，12135) 的距离成等差数列。求证：AC的垂直平分线经过某一定点。分析；利用焦半径及等差数列概念，列出等式，可解此题。证明： |AF| =ey1 a， |BF|=6e a， |CF|= ey 3 a，由已知得： 2|BF|=|AF| |CF| ，得： y y3=2× 6 = 12。设 AC的中点 M(x， 6) ，其中 x0= x1x3 ，又 A， C 在双曲线上，10213 y1212x121213，于是13 y3212x321213两式相减得： 13(y3 y 1 )(y 3 y 1 ) 12(x3 x 1 )

13、(x3 x 1 )= 0 ，得： 13(y3 y 1 ) · y3y1 12（ x 3 x1 ）=0，x3x1得：k AC = 2x0 ，所以 AC的垂直平分线方程为： y 6= 13 (x x 0 ) ，即 13x x 0 (2y 25)=0 ，132x0故经过定点 (0 ， 25 ) 。2;.评注：点差法是求解双曲线问题的一种常用方法。22xy例 5已知双曲线= 1 的左、右焦点分别为F1 、F 2 ，左准线为 l 能否在双25144曲线的左支上找到一点P，使 | PF 1 | 是 P 到 l 的距离与 | PF 2 | 的等比中项？若能，试求出P点坐标；若不能，请说明理由分析；

14、此题为探索题目，一般可设存在点P，再利用焦半径及等比数列概念列等式可求解。解：由 a = 5 ，c =13 ，知 e = 13 ， a 2=25 5c13设 P(x0 ，y 0 ) ，P 到 l 的距离为 d，则 |PF1| = a e x 0= 5 13 x 0 ，| PF2 |= a e x 0 =55 13 x 0 ， d = a 2 x 0 = 25 x 0 5c13令| PF1 | 2 = d · | PF2 | ，即 ( 5 13 x0)2=( 25 x 0 )(5 13 x 0 ) ，= 25= 2255135解得： x0或 x01332另一方面，因为P 在左支上，所以

15、 x 0 5 与矛盾故符合条件的P 点不存在评注：一般的， 1e 12 是双曲线 x 2 y2=1 左支上存在 P 点，使 |PF|2=a 2b21d· | PF2 | 成立的充要条件。本题中双曲线离心率e = 131 2 ，故符合条件的P 点不存5在 例如双曲线 x2 y 2= 1 的离心率 e312 ，则这样的 P 点一定存在。20252类似的可得： e23 是双曲线 x2 y 2= 1 左支上存在 P 点，使 2| PF |= d +| PF|a2b212成立的充要条件。通过以上几例， 不难看到， 适当的利用焦半径公式， 以及双曲线的第二定义解答双曲线类问题确能起到事半功倍之效

16、果。;.（4）双曲线的方程与渐近线方程的关系若双曲线方程为x2y2x2y20ybx ；若渐近线方a 21渐近线方程：b2ab2a2程为 yb xxy0双曲线可设为x2y2；若双曲线与 x2y 21 有aa ba2b2a2b 2公共渐近线，可设为x2y2（0 ，焦点在 x 轴上，0 ，焦点在 y 轴上） . a2b 2双曲线 x2y22cot1(a,b0) 焦点三角形面积：S FPFb2 cot，高 hb2。a2b2122c§双曲线的定义与标准方程: 典例剖析题型一双曲线标准方程的判断题型二求双曲线标准方程例 2 已知双曲线过 M (1,1),N ( 2,5) 两点，求双曲线的标准方程

17、例 3§双曲线的简单的几何性质;.典例剖析题型一双曲线的性质例 1 已知双曲线与椭圆x 2y 21共焦点，它们的离心率之和为14 ，求双曲线方程 .9255题型二 有共同渐近线的双曲线方程的求法例 2 求与双曲线 x2y21有共同的渐近线，并且经过点( 3, 4) 的双曲线方程93例 3 设双曲线x2y 21上两点 A、 B， AB中点 M（ 1， 2） , 求直线 AB方程；2;.例 4k 代表实数，讨论方程kx22 y280 所表示的曲线 .题型三直线与双曲线的位置关系例 已知不论 b 取何实数，直线 y=kx+b 与双曲线 x22y2=1 总有公共点，试求实数 k 的取值范围

18、.§2.3 抛物线知识梳理1抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线( 定点 F 不在定直线l上) 定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线方程y 22 pxp0 叫做抛物线的标准方程注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F（ p ,0 ），它的准线方程是2px ；22抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 22 px ， x 22 py ， x22 py . 这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程y22 pxy22 pxx22 pyx22 py( p0)( p0)( p0)( p0)l yyyllFxoFxFoox图形焦点坐标( p ,0)(p ,0)(0, p)(0,p )2222准线方程pxppypx2y222范围x 0x0y 0y0对称性x 轴x 轴y 轴y 轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e 1e1e 1e1说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（ 2）抛物