复数讲义(绝对经典)复习过程

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除复数一、复数的概念1 虚数单位i:（1）它的平方等于1 ，即 i 21 ；（ 2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立（ 3） i 与 1 的关系 :i 就是 1的一个平方根，即方程x21 的一个根，方程x21 的另一个根是 -i （4） i 的周期性：4n14n21 ，4n3i ，4 nii ，iii1 实数 a( b0)2 数系的扩充：复数abibi( b0)纯虚数 bi( a0)虚数 a非纯虚数 abi( a0)3 复数的定义：形如 abi( a ，bR ) 的数叫复数，a 叫复数的实部， b 叫复数的虚部全体复数

2、所成的集合叫做复数集，用字母C 表示4 复数的代数形式 :通常用字母 z 表示，即 za bi (a ，bR) ，把复数表示成 abi 的形式，叫做复数的代数形式5 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数 a bi ( a ，bR) ，当且仅当 b0 时，复数 abi( a ，bR) 是实数 a ；当 b 0 时，复数z abi 叫做虚数；当a0 且 b0 时， zbi 叫做纯虚数；当且仅当 a b 0 时， z 就是实数 06 复数集与其它数集之间的关系：N 苘ZQ 苘 RC7 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果 a ，a ，

3、b，d ，c ， dR ，那么 abicdiac ， bd只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除二、复数的几何意义1 复平面、实轴、虚轴：复数zabi( a ，bR )与有序实数对a ，b是一一对应关系建立一一对应的关系点 Z的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数zabi( a ，bR )可用点 Z a ，b表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数2 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0 ，0，它所确定的复数是z00i0 表示是实数除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数3复数 z a b

4、i一一对应复平面内的点 Z (a ，b)这就是复数的一种几何意义也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法三、复数的四则运算1 复数 z1 与 z2 的和的定义：z1z2abicdiacbd i2 复数 z1 与 z2 的差的定义：z1z2abicdiacbd i3 复数的加法运算满足交换律: z1z2z2z14 复数的加法运算满足结合律: ( z1z2 )z3z1(z2z3 )5 乘法运算规则：设 z1abi ， z2cdi ( a 、 b 、 c 、 dR)是任意两个复数，那么它们的积z1 z2abicdiacbdbcad i其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i

5、2 换成1，并且把实部与虚部分别合并两个复数的积仍然是一个复数6 乘法运算律：（1）z1z2 z3z1 z2z3（2） (z1z2 )z3z1( z2z3 )（3）z1z2z3z1 z2z1 z37 复数除法定义：满足cdixyiabi的复数xyi ( x 、yR)叫复数abi除以复数cdi的商，记为：只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除abi(a bi)cdi 或者 cdi8 除法运算规则：设复数 a bi( a 、 bR ) ，除以 c di( c ， dR )，其商为 xyi （ x 、 yR ) ，即 ( a bi)cdixyi xyicdicxdydxcy i

6、cxdydxcy iabixacbdcxdyac2d 2由复数相等定义可知解这个方程组，得，dxcyb，bcadyc2d 2于是有 :(abi)cdiacbdbcadic2d 2c2d 2利用cdicdic22abi 的分母有理化得：d 于是将 cdi原式abi(abi)( cdi) acbi(di)(bcad)icdi(cdi)( cdi)c2d2(acbd )(bcad)iacbdbcadc2d2c2d2c2d2 i ( (abi)cdiacbdbcadc2d22d2 ic点评 : 是常规方法，是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数 cdi 与复数 cdi

7、 ，相当于我们初中学习的32 的对偶式32 ，它们之积为 1是有理数，而cdicdic2d 2 是正实数所以可以分母实数化把这种方法叫做分母实数化法9 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除例题精讲1 复数的概念【例 1】 已知ai）12 bi (i 为虚数单位），那么实数 a，b 的值分别为（iA2， 5B-3，1C -1 13D2，2【答案】 D【例 2 】 计算： i 0!+ i 1!+ i 2!+ L+ i100!（ i 表示虚数单位）【答案】

8、952i【解析】 i41 ，而 4 | k ! （ k4 ），故 i 0!+ i 1! + i 2! +L + i100!i i ( 1) ( 1) 1 97 95 2i【例 3 】 设 z(2t 25t 3)(t 22t 2)i ， tR ，则下列命题中一定正确的是（）A z 的对应点 Z 在第一象限B z 的对应点 Z 在第四象限C z 不是纯虚数D z 是虚数【答案】 D【解析】 t 22t 2(t 1)210【例 4 】 在下列命题中，正确命题的个数为（）两个复数不能比较大小；若 ( x21)(x23x2)i 是纯虚数，则实数x1； z 是虚数的一个充要条件是zzR ；若 a ，b 是

9、两个相等的实数，则( ab)(ab)i 是纯虚数； zR 的一个充要条件是zz z1 的充要条件是z1 zA1B 2C3D4【答案】 B【解析】 复数为实数时， 可以比较大小， 错； x1时，( x21)( x23x2)i0 ， 错； z 为实数时，也有 zzR ， 错； ab0 时，(ab)(ab)i0 ， 错； 正确 2 复数的几何意义只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除【例 5 】 复数 zm2i （ mR ， i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）12iA 第一象限B 第二象限C第三象限D 第四象限【答案】 A【解析】 由已知 zm2i(m2i )(12

10、i )1 ( m 4) 2(m 1)i 在复平面对应点如果在第一象限，则12i(12i )(12i )5m40，而此不等式组无解即在复平面上对应的点不可能位于第一象限m10【例6】 若3，5，复数 (cossin)(sincos )i 在复平面内所对应的点在（）44A 第一象限B 第二象限C第三象限D 第四象限【答案】 B【解析】 结合正、余弦函数的图象知，当3，5时， cossin0 ，sincos0 44【例 7 】 如果复数 z 满足 zi z i2 ，那么 zi 1的最小值是（）A 1B 2C 2D5【答案】 A【解析】 设复数 z 在复平面的对应点为Z ，因为 ziz i 2 ，所以

11、点 Z 的集合是y 轴上以 Z1 (0 ，1) 、 Z2 (0 ， 1) 为端点的线段z i 1 表示线段 Z1Z2 上的点到点 ( 1， 1) 的距离此距离的最小值为点Z2(0 ， 1)到点 ( 1， 1)的距离，其距离为1 【例 8 】 满足 z1 及13的复数 z 的集合是（）zz22A 13 i ， 13 iB 11 i ，11 i22222222C22 i ， 22 iD 13 i ，13 i22222222【答案】 D【解析】 复数 z 表示的点在单位圆与直线1上（ z131，与点3 ，的距离x2z表示 z 到点002222相等，故轨迹为直线x1 ），故选 D2只供学习与交流此文档

12、仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除【例 9 】 已知复数 ( x2)yi( x ，yR ) 的模为3 ，则 y 的最大值为 _x【答案】3【解析】 x2yi3 ，yOCx ( x2)2y23 ，故 ( x，y) 在以 C (2 ，0) 为圆心，3 为半径的圆上，y 表示圆上的点 ( x，y) 与原点连线的斜率x如图，由平面几何知识，易知y 的最大值为3 x【例 10】复数 z 满足条件：2 z1zi ，那么 z 对应的点的轨迹是（）A 圆B椭圆C双曲线D 抛物线【答案】 A【解析】 A ；设 zxyi ，则有 (2 x1) 2 yi x( y1)i ， (2 x 1)2(2 y)2x2(

13、y 1)2 ，22化简得：x2y15 ，故为圆339【点评】 zz0的几何意义为点z 到点 z0 的距离； zz0r (r0)中 z 所对应的点为以复数z0所对应的点为圆心，半径为r 的圆上的点【例 11】复数 z1 ， z2 满足 z1 z20 ， z1 z2z1z2，证明： z120 z22Z1 ， Z 2 ，由 z1z2z1 z2uuuuruuuur【解析】 设复数 z1 ， z2 在复平面上对应的点为知，以 OZ1， OZ2为邻边的平行四边形为矩形，uuuuruuuurz1ki(kR， kz122i2k20 OZ1OZ 2 ，故可设z20) ，所以2kz2也可设 z1a bi ，z2c

14、di ，则由向量 (a ，b) 与向量 (c ，d ) 垂直知 acbd0，z1a bi( acbd )(bc ad )ibcadz12z12i 0 ，故0z2c di2d2222z2ccdz2【例 12】已知复数z1 ， z217 1 ，2z24，求z1与z1 z2 的值满足 zz7 1 ，且 z1z2【答案】47i ； 43【解析】 设复数 z1 ， z2 在复平面上对应的点为Z1， Z2 ，由于 (71)2( 71)242 ，222故 z1z2z1z2 ，只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除uuuuruuuuruuuuruuuur，则 z171i47 i ；故以 O

15、Z1， OZ2为邻边的平行四边形是矩形，从而OZ1OZ 2z2713z1 z2z1 z24 【例 13】已知 z1 ，z2C ， z1z2 1 ， z1 z23 ，求 z1z2 【解析】 设复数 z ，zzzZ，Z，Zzz1uuuuruuuur在复平面上对应的点为3 ，由知，以OZ1，OZ2 为邻边12， 121212的平行四边形是菱形，记O 所对应的顶点为P ，由 z1z23 知，PZ1O 120 （可由余弦定理得到） ，故Z1OZ 260，从而 z1z21【例 14】已知复数 z 满足 z (23i)z (23i)4 ，求 dz 的最大值与最小值【答案】 dmax221 ， d min13

16、2【解析】设 zxyi ，则 ( x，y) 满足方程 ( x2y2)142dx2y2x241(x2)23x828 ，33又 1 x 3 ，故当 x1，y0 时， dmin1；当 x8 ，y2 5 时，有 d max2 213333 复数的四则运算【例 15】已知 mR ，若 (mmi) 664i ，则 m 等于（）A 2B2C2D 4【答案】 B【解析】 (m mi) 6m6 (2i) 38im664i m68 m2【例 16】计算： (22i )12( 23i )100(13i )9(123i )100【答案】 5111212100126【解析】 原式2(1i)(i2 3)1002(2i)1

17、100291 51129 (13i) 9 i(i23)29 (13i) 9( i)2222【例 17】已知复数 z1cosi ， z2sini ，则 z1 z2 的最大值为（）只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除A 3B 2C6D 322【答案】 A【解析】 z1 z2(cosi)(sini)(cossin1)(cossin)i(cos sin1)2(cos sin)2cos2sin 221 sin2 22，4故当 sin21时，z1z2有最大值12342【例 18】对任意一个非零复数z ，定义集合 M z w | wzn ，nN （）设 z 是方程 x10的一个根，试用

18、列举法表示集合M z 若在 M z 中任取两个数，求其和x为零的概率 P ；（ 2）若集合 M z 中只有 3个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由【答案】（ 1） 1 ；（ 2） z13i 322【解析】 （ 1） z 是方程 x210 的根， zi 或 zi ，不论 zi 或 zi ， M zi ，i2，i3 ，i4 i ， 1， i ，1，于是 P212C43（2）取 z13 i ，则 z213 i 及 z31 2222于是 M z z，z2 ，z3 或取 z13i （说明：只需写出一个正确答案）22【例 19】解关于 x 的方程 x25 x6( x2)i0 【答案】 x1 3i

19、 ，x2225x60x或x3【解析】 错解：由复数相等的定义得x22 x20x2x分析： “cdiac，且bd成立 ”的前提条件是 a ，b ，c ，dR ，但本题并未告诉x 是a bi否为实数法一：原方程变形为x2(5i) x62i0，(5i) 24(62i)2i(1 i) 2 由一元二次方程求根公式得x1(5i)(1i)3i， x2(5 i)(1i)2 22原方程的解为x13i ， x22 只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除法二：设 xa bi( a ，bR ) ，则有 (abi) 25(abi) 6( abi2)i0，(a2b 25ab6) (2 ab 5ba2)

20、i0a2b25ab602ab5ba20，由 得： a5b2 ，代入 中解得：a3或 a2 ，2b1b1b0故方程的根为x13i ，x2 2 【例 20】已知 z1x2i x21 ， z2(x2a)i ，对于任意 xR ，均有 z1z2 成立，试求实数a 的取值范围【答案】 a11，2【解析】 z1z2 ， x4x21( x2a )2 ， (12a)x2(1a 2 )0对 xR 恒成立当 12a0，即 a1 时，不等式恒成立；2当 12a0时，12a01 a1 4(12a)(1a 2 ) 02综上， a1 ，12【例 21】关于 x 的方程 x2(2ai )xai1 0有实根，求实数a 的取值范

21、围【答案】 a1【解析】 误： 方程有实根，(2 ai )24(1ai)4a250 解得 a 5 或 a 5 22析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程ax2bxc0( a0) 根的情况，而该方程中 2a i与 1ai 并非实数正：设 x0 是其实根，代入原方程变形为x022ax01 ( ax0 )i0 ，由复数相等的定义，得x022ax0 10 ，解得 a1x0a 0【例 22】设方程 x22x k0 的根分别为，且22 ，求实数 k 的值【答案】 k1或 k3 【解析】 若，为实数，则4 4k 0 且2)2()244 4k (2 2) 2 ，(只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权

22、请联系网站删除解得 k1若 ，为虚数，则44k0 且，共轭，2() 2() 2444k (2 2) 2 ，解得 k 3 综上， k1或 k3 【例 23】用数学归纳法证明：(cosisin)ncos()isin(n)，nN n并证明 (cosisin) 1cosisin，从而 (cosisin)ncos(n )isin( n ) 【解析】 n 1时，结论显然成立；若对 nk 时，有结论成立，即(cosisin)kcos(k)isin( k) ，则对 nk 1， (cosisin)k1(cosisin)(cosisin)k由归纳假设知，上式(cosisin)cos(k )isin( k )(co

23、scosksinsin k )icossin( k )sin cos kcos(k1)isin( k1) ，从而知对 nk1，命题成立综上知，对任意 nN，有 (cosisin)ncos(n)isin( n)，nN易直接推导知：(cosisin)(cosisin )(cos()isin()(cosisin)cos0isin0 1故有 (cosisin) 1cosisin(cosisin)n(cosisin) n(cos()isin() ncos( n )isin(n)cos(n)isin( n) 【例 24】若 cosisin是方程 xna1 xn1a2 xn 2Lan 1 xan0 （ a1

24、 ，a2，L，anR ）的解，求证： a1 sina2 sin 2L an sin n0【解析】 将解代入原方程得：(cosisin)na1 (cosisin)n 1Lan0 ，将此式两边同除以(cosisin)n ，则有：1a1 (cosisin) 1a2 (cosisin) 2Lan (cosisin) n0 ，即1a1 (cosisin)a2 (cos2isin 2 )Lan (cos nisin n )0，(1a1 cosa2 cos2Lan cos n )i( a1 sina2 sin 2Lan sin n)0 ，由复数相等的定义得a1 sina2 sin 2Lan sin n0【例

25、 25】设 x 、 y 为实数，且xy5，则 x y =_1 i1 2i1 3i只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除【答案】 4【解析】 由 xy2i15知， x (1i )y (12i)5(1 3i ) ，1 i13i2510即 (5 x2 y5)(5x4y15)i0，故 5x2 y50，解得x1 ，故 xy4 5x4 y150y5【例 26】已知z是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹z1【答案】以1 ，为圆心，1 为半径的圆，并去掉点(0 ，0) 和点 (1，0) 022【解析】 法一：设 zxyi （ x ，yR ），则zxyix(x1)y2yi是纯虚数，z 1 x 1 yi( x 1)2y2故 x2y2x0( y0) ，即 z 的对应点的轨迹是以1 ，为圆心， 1为半径的圆，并去掉点(0 ，0) 和点 (1，0) 202法二：z是纯虚数， zz0（ z0 且 z1）z1z11zzz0 ， z(z 1)z