基本不等式专题---完整版(非常全面)

1、.基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（ 1）若 a, bR ，则 a 2b22ab（ 2）若 a, bR ，则 aba 2b 222、基本不等式一般形式（均值不等式）若 a,b R *，则 a b2ab3、基本不等式的两个重要变形（ 1）若 a, bR* ，则 abab22（ 2）若 a, bR*a b，则 ab2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当 ab 时取“=”4、求最值的条件： “一正，二定，三相等”5、常用结论（ 1）若 x0 ，则 x12 ( 当且仅当 x1时取“ =”）x12

2、( 当且仅当 x1 时取“=”）（ 2）若 x 0 ，则 xx（ 3）若 ab0 ，则 ab2( 当且仅当 ab 时取“=”）baR ，则 ab ( a b )222（ 4）若 a, bab22（ 5）若 a, b*1ababa 2b2R ，则1122ab特别说明：以上不等式中，当且仅当ab 时取“ =”6、柯西不等式（ 1）若 abc, ,d R ，则 ( a2b2 )(c2d 2 )( acbd) 2（ 2）若 a1 ,a2 , a3,b1 , b2 ,b3R ，则有：(a12a2 2a32 )(1b12b22b3 2 ) (a1b1a2b2a3b3 )2（ 3）设 a1 , a2 , ,

3、 an与 b1 , b2 , bn 是两组实数，则有(a12a22an 2 ) ( b12b22bn2 )(a1b1a2b2an bn ) 2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设 a,b 均为正数，证明不等式:ab 211ab2 、 已 知 a, b, c 为 两 两 不 相 等 的 实 数 ， 求 证 ：a 2b 2c2abbcca3、已知 abc1，求证： a2b2c2134、已知a, b, cR， 且abc1 ， 求 证 ：(1a)(1b)(1c)8a b c5、已知a, b, cR， 且abc1 ， 求 证 ：1111118abc;.6、（ 2013 年新课 标 卷数学（

4、理） 选 修 4 5：不等式选 讲题型二：利用不等式求函数值域设 a,b, c 均为正数 , 且 a bc 1,证明:1、求下列函数的值域（ 1） y 3x 21（ 2） y x(4 x)( )ab bc ca1 ; ()a2b2c21.2x23bca（ 3） y x1 ( x 0)（ 4） y x1 ( x 0)xx题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）41、已知 x2 ，求函数 y2x4的最小值；2x4（ 2013年江苏卷（数学）选 修 4 5：不等式选 讲7、已知 ab 0 ，求证 : 2a3b32ab2a 2b4变式 1：已知 x2 ，求函数 y2x的最小值；2x44变式 2：已知 x

5、2 ，求函数 y2x的最大值；2x4;.练习： 1、已知 x5 ，求函数 y 4 x 21的最小值；2、若 0x 2 ，求 yx(6 3x) 的最大值；44x52、已知 x5 ，求函数y 4 x 21的最大值；变式 ：若 0 x4 ，求 yx(8 2x) 的最大值；44 x5题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）3、求函数 y2x 1 5 2 x ( 1x5) 的最大值；1、当时，求 y x(82 x) 的最大值；22（提示：平方，利用基本不等式）变式 1：当时，求 y4x(82x) 的最大值；变式：求函数 y4x 3 11 4 x(3x11) 的最大值；44变式 2：设 0 x34x(3

6、2x) 的最大值。，求函数 y2;.题型五：巧用“ 1”的代换求最值问题变式 4：已知 x, y0，且 194 ，求 xy 的最小值；1、已知 a, b 0, a 2b 1 ，求 t11的最小值；xyab法一：变式 5：法二：0 且 2 xy1，求 11（ 1）若 x, y的最小值；xy（ 2）若 a,b, x, y R且 ab1 ，求 xy 的最小值；xy变式 1：已知 a,b0, a2b2，求 t11 的最小值；ab变式 6：已知正项等比数列 an满足： a7a6 2a5 ，若变式 2：已知 x, y 0, 281 ，求 xy 的最小值；4a114xy存在两项 am, an ，使得 ama

7、n，求的最小值；mn变式 3：已知 x, y0 ，且 119 ，求 xy 的最小值。xy;.题型六：分离换元法求最值（了解）题型七：基本不等式的综合应用x27x 101、已知 log 2 alog 2 b 1 ，求 3a9b 的最小值1、求函数 yx 1( x1) 的值域；变式： 求函数 yx28 ( x 1) 的值域；2、（ 2009 天津）已知 a, b0 ，求11x1a2 ab 的最小值；bx2变式 1：（2010 四川）如果 a b0 ，求关于 a,b 的表达2、求函数 y5的最大值；（提示：换元法）2x式 a2 11的最小值；aba(ab)x1的最大值；变式： 求函数 y变式 2：（

8、2012 湖北武汉诊断）已知，当a 0, a 1 时，4x9函数 ylog a (x1) 1 的图像恒过定点A，若点 A在直线 mxy n0 上，求 4m2n 的最小值；;.3、已知 x, y0 ， x2 y2xy8 ，求 x2 y 最小值；变式 1：已知 a,b0 ，满足 abab3 ，求 ab 范围；变式 2：（ 2010 山东） 已知 x, y0 ，111 ，2x2 y3求 xy 最大值；（提示：通分或三角换元）变式 3：（ 2011 浙江） 已知 x, y0 ， x2y2xy1，求 xy 最大值；4 、（ 2013年 山 东 （ 理 ） 设 正 实 数 x, y, z 满 足x23xy

9、4 y2z0 , 则 当 xy取得最大值z时 ,212的最大值为（）xyzA 0B 1C9D 34（提示：代入换元, 利用基本不等式以及函数求最值）变式： 设 x, y, z 是正数，满足x2 y3z0 ，求 y2 的xz最小值；;.题型八：利用基本不等式求参数范围题型九：利用柯西不等式求最值1、（ 2012 沈阳检测） 已知 x, y0 ，且 ( xy)( 1a )91、二维柯西不等式(a , b, c, dR , 当且仅当 ab ；即 adbc时等号成立 )xyacd恒成立，求正实数的最小值；若 a, b, c, dR ，则 ( a2b2 )(c2d 2 )(ac bd ) 22、二维形式

10、的柯西不等式的变式(1) a2b2c2d 2acbd(a , b, c, dR , 当且仅当 ab ；即 adbc时等号成立 )cd( 2) a2b2c2d 2ac bd2、已知 xy z0 且11n恒成立，(a , b, c, dR , 当且仅当 ab ；即 adbc时等号成立 )x yy zx zcd如果 n N，求 n 的最大值；（参考： 4）(3)(ab)(cd )( acbd ) 2（提示：分离参数，换元法）(a , b, c, d0, 当且仅当 ab ；即 adbc时等号成立 )cd3、二维形式的柯西不等式的向量形式(当且仅当0, 或存在实数 k , 使 ak时 ,等号成立 )4、

11、三维柯西不等式若 a1 ,a2 , a3 , b1, b2 ,b3R ，则有：变式：已知 a,b0满则 142 ，若 a bc 恒成立，( a12a22a32 )(1b12b22b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3) 2求 c 的取值范围；aba1a2a3( ai ,biR , 当且仅当时等号成立 )b1b2b35、一般 n 维柯西不等式设 a1 ,a2 , an与 b1 ,b2 ,bn 是两组实数，则有:( a12a22an 2 ) ( b12b22bn2 )( a1b1a2b2a nbn ) 2;.(ai , bi R , 当且仅当 a1a2an 时等号成立 )b1b2bn题型分析题

12、型一：利用柯西不等式一般形式求最值（ 2013 年湖南卷（理） ）已知 a,b,c,a 2b3c 6,4、1、设 x, y, zR ，若 x2y2z24，则 x 2y2z 的最小值为时， ( x, y, z)则 a24b29c2 的最小值是(Ans:12 )析： (x2y2 ) 2(x2y2z2 )12(2) 222 z4936 x2y2z 最小值为6此时 xyz622212212( 2)23 x24， z43， y332、设 x, y, zR ， 2xy 2z 6 ，求 x2y2z2 的最小值 m ，并求此时 x, y, z之值。5 、（ 2013年 湖 北 卷 （ 理 ） 设 x, y, zR,且满Ans ： m4; (x, y, z)( 4 ,2 ,4)3 3 3足 : x2y2z21 , x 2 y 3z1