2019广州市二模(理科)试题及参考答案

1、1 2019 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 本试卷共 4 4 页，2121 小题， 满分 150150 分. .考试用时 120120 分钟. . 注意事项：1 1 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上. .用 2B2B 铅笔将试卷类型(A A )填涂在答题卡相应位置 上. . 2 2 选择题每小题选出答案后，用 2B2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷 上. . 3 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置

2、上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的 答案；不准使用铅笔和涂改液. .不按以上要求作答的答案无效 . . 4 4作答选做题时，请先用 2B2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答 . .漏 涂、错涂、多涂的，答案无效 . . 5 5 考生必须保持答题卡的整洁 . .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 . . 1 参考公式：锥体的体积公式是 V Sh, ,其中S是锥体的底面积, ,h是锥体的高. . 3 一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题 5 5 分，满分 4040 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.1.若复数z满足 i iz=2，其中 i

3、i 为虚数单位，则z的虚部为 A A -2 B B 2 C C. -2i i D D 2 i i 2若函数y = f (x )是函数y =3x的反函数，贝U f . -的值为 .2 A -log2 3 B B -log32 c c. 1 D D 、3 9 3 2 3 3.命题对任意 x x，R R，都有x x ”的否定是 A A .存在x R R，使得XQ - XQ B B .不存在x R R，使得X； - XQ 4.4.将函数f x = .3sin 2x cos2x(x R R)的图象向左平移 个单位长度后得到函数 6 y = g x，则函数y = g x A A 是奇函数 B B 是偶函数

4、 C C 既是奇函数又是偶函数 D D 既不是奇函数，也不是偶函数试卷类型：A 2019.42019.4 C C 存在X0 0 R R，D D .对任意x R R，都有x3乞x2 2 5 5有两张卡片，一张的正反面分别写着数字 0与1，另一张的正反面分别写着数字 2与3 , 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 11 1 3 A A. B B. C C. D D.- 6 3 2 8 2 2 6 6.设F1,F2分别是椭圆C :冷爲=1 a b 0的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1 a b （一）必做题（9 91313 题） 9 9.不等式2x2 -X -1 ：0的

5、解集为 _ （ 1 5 1010.已知.2x3 - 1的展开式的常数项是第 7项，则正整数n的值为 _ I x丿 11.11. 已知四边形ABCD是边长为a的正方形，若DE =2EC,CF =2FB ,则AE AF的值 为 _ . . N - y + 2 工0, 12.12. 设x, y满足约束条件 8x-y-40,若目标函数 ax by a 0,b 0的最的中点在y轴上，若.PF1F30，则椭圆C的离心率为 A .- B.- 6 3 C .二 D D. 6 3 一个几何体的三视图如图 1 1,则该几何体 的体积为 A A. 6 二 4 B B. 12 二 4 C C. 6 ，亠12 D D

6、. 12 二 12 排列，记可表示第i行第j列的数，若 a =2014，则i + j的值为 A A 257 B B . 256 C C 254 D D . 253 、填空题：本大题共 7 7 小题，考生作答 T 3 K 2 2 第 1 1 列 第 2 2 列 第 3 3 列 :第 4 4 列 第 5 5 列 第 1 1 行 2 4 P 6 8 第 2 2 行 16 14 12 10 第 3 3 行 18 20 22 24 第 4 4 行 32 30 28 26 第 5 5 行 34 36 P 38 40 ： 6 6 小题，每小题 5 5 分，满分 3030 分. 1 1 & &

7、将正偶数2,4,6,8,111按表1的方式进行 侧视图 3 大值 x - 0, y -0. 为8，则ab的最大值为 _ 13.已知lx 1表示不超过x的最大整数，例如-1.5|- -2,1.51-1.设函数f x：-|xx, 当x：= 0,n （nN N ）时，函数f x的值域为集合 A ,则A中的元素个数为 _ （二）选做题（14141515 题，考生从中选做一题） 严x = a t 1414.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系 xOy中，直线 一 （t为参数）与 y=t X =1 COST, 圆 G为参数）相切，切点在第一象限，则实数 a的值为 _ . . y =si n 日 15

8、15（几何证明选讲选做题）在平行四边形 ABCD中，点E在线段AB上，且 AE = EB连接DE,AC , AC与DE相交于点F，若 AEF的面积为1 cmcm2，则 2 AFD 的面积为 _ cm cm 2. . 三、解答题：本大题共 6 6 小题，满分 8080 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.16.（本小题满分 1212 分） 如图 2 2，在 ABC中，D是边AC的中点, 且 AB =AD =1 , BD （1 1） 求cos A的值； （2） 求sin C的值. . Q 1717.（本小题满分 1212 分） 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中

9、随机抽取 50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为 5,151, 15,251, 25,351, 35,45, 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图 3. . （1 1） 求a的值； （2 2） 根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值； （注：设样本数据第i组的频率为p，第i组区间的中点值为Xi （i =1,2,3H,n ）, 3 图3 3 5 18.18. (本小题满分 1414 分) 如图4，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF /平面ABCD , EF -1 , FB 二 FC,. BFC =90 , AE 二.3. . 19.19.

10、(本小题满分 1414 分) 已知数列an的前n项和为Sn，且a0 ,对任意n N N*,都有nan Sn n n 1 . . (1 1)求数列 的通项公式； (2(2)若数列：0 满足an log2 n = log? 0，求数列的前n项和Tn. . 20.20. (本小题满分 1414 分) 已知定点F 0,1和直线l: y - -1，过点F且与直线l相切的动圆圆心为点 M，记点M 的轨迹为曲线E . . (1)(1) 求曲线E的方程； (2)(2) 若点A的坐标为 2,1 , ,直线h :y =kx 1( R R,且k = 0)与曲线E相交于B,C两 点，直线AB, AC分别交直线l于点S

11、,T 试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个 定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由 21.21. (本小题满分 1414 分) 已知函数f x二alnx，bx(a,bR R)在点1, f 1处的切线方程为 x-2y-2=0. . (1) 求a,b的值； k (2) 当x 1时，f X 0恒成立，求实数k的取值范围； x 2 (3) 证明：当 n，N N *，且 n2 时， 1 3n 2 n - 2ln 2 3ln3 nln n 2n2+2 n(1)求证：AB _平面BCF ； (2)求直线AE与平面BDE所成角的正切值 6 2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科

12、）试题参考答案及评分标准 说明： 1 1 参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力， 并给出了一种或几 种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数. 2 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分. 3 3 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4 4 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 、选择题：本大题考查基本

13、知识和基本运算共 8 8 小题，每小题 5 5 分，满分 4040 分. 题号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 答案 A A B B C C B B C C D D A A C C 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性.共 分 3030 分.其中 14151415 题是选做题，考生只能选做一题. (1)解：在 ABD 中，AB = AD = 1, 1 （2 2）解：由（1 1）知，cos A ，且 0 ： A ：二, 3 sin A 二 1 - cos2 A D是边AC的中点, 7 7 小题，5 5 分，满 9 9. -1,1 .2 1010.

14、8 1111. 1212. 4 13. I 13. I 2 1414. 2 1515. 3 三、解答题：本大题共 6 6 小题，满分 8080 分. 1616.（本小题满分 1212 分） 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 2 2 2 A AB2 + AD2_BD2 - cos A 2 AB AD 12 12 2 11 3 7 AC =2AD = =2.2. 在 ABC 中，cos A 3 AC* 2 AB AC12 22 _ BC2 1 8 X -0.2 10 0.32 20 0.3 30 0.18 40 = 24.6 (克). . 3 3 分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的

15、平均值约为 24.6克. . 4 4 分 (3)解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在 5,151内的概率为0.2，贝U L B 3,1 . . I 5丿 . 5 5 分 的取值为0.1.2.3 , , . 6 6 分 的分布列为: 0 1 2 3 P 64 48 12 1 125 125 125 125 E =0 -64 1 2 竺 3 125 125 125 125 产 1 3 (或者 E E =3 =3 - - 解得By 由正弦定理BC AB sin A sin C sin AB sin A BC 2、2 3 、2 J66 33 1717.(本小题满分 12 12 分) (1) 解：由

16、题意，得 0.02 0.032 x 0.018 10=1 , 解得 x - 0.03. . (2) 解：50个样本小球重量的平均值为 1010 分 1111 分 1212 分 1 1 分 2 2 分 P =2 =Ca 43 WL丄2 5 5 125 P =3 =C： 1 15丿 1 125 1010 分 1111 分 1212 分 6j4 125 48 125 3 3 9 5 5 1818.(本小题满分 1414 分) (1 1)证明：取AB的中点M，连接EM，则AM二MB =1 , / EF /平面 ABCD , EF 平面 ABFE，平面 ABCD i 平面 ABFE 二 AB ,10 E

17、F / AB，即 EF / MB . . . 1 1 分 / EF =MB =1 .四边形EMBF是平行四边形. . 2 2 分 EM / FB , EM = FB . . 在 RtRt BFC 中，FB2 FC2 二 BC2 =4=4，又 FB = FC，得 FB = . 2. . 在厶 AME 中，AE 二、.3 , AM =1 , EM =2 , 2 2 2 AM EM =3 二 AE , AM _ EM . 4 4 分 AM _ FB，即 AB _ FB 四边形ABCD是正方形， AB _ BC. . . 5 5 分 FBBCB , FB 平面 BCF , BC 平面 BCF , AB

18、 _ 平面 BCF . . . 6 6 分 取BC的中点H，连接OH , EO，FH , 1 则 OH / AB , OH AB = 1. . 2 1 由（1 1）知 EF / AB，且 EF AB , 2 EF / OH，且 EF =OH . . 四边形EOHF是平行四边形. . EO / FH，且 EO 丹= =1 1 . 7 7 分 由（1 1）知AB _平面BCF，又FH 平面BCF , FH _ AB . . . 8 8 分 / FH _ BC , AB 门 BC = B, AB 平面 ABCD , BC 平面 ABCD , FH 平面 ABCD . . EO _ 平面 ABCD .

19、 . / / AO 二平面 ABCD , EO _ AO. . / AO _ BD , EOP|BD=O,EO 平面 EBD , BD 平面 EBD , AO 平面 EBD . . . 11 11 分 - AEO是直线AE与平面BDE所成的角. . 1212 分 AO 在 RtRt AOE 中，tan _ AEO 2 . . 13 13 分 EO (2)证法 1 1 连接AC , AC与BD相交于点 1010 分 O,则点O是AC的中点, 11 直线AE与平面BDE所成角的正切值为 2 . . . 1414 分12 1 则 0H / AB , OH AB = 1. . 2 1 由（1 1）知

20、EF / AB，且 EF = AB , 2 EF / OH，且 EF =0H . . 四边形EOHF是平行四边形. . E0 / FH，且 EO =FH -1. . 由（1 1）知AB _平面BCF，又FH二平面BCF , FH _ AB . . / FH _ BC , ABBC 二 B, AB 平面 ABCD , BC 平面 ABCD , FH 平面 ABCD . . E0 _ 平面 ABCD . . 以H为坐标原点，BC所在直线为x轴，0H所在直线为y轴，HF所在直线为z轴, 建立空间直角坐标系 H -xyz，则A 1囚 ,B 1,0,0 , D , E . . 忑二-1,1,1 , BD

21、 二 一2,-2,0 , 得-2x -2y=0 , -x-y z=0，得 z=0, x - - y . . 令X h，则平面BDE的一个法向量为 n = 1, -1,0 . . 设直线AE与平面BDE所成角为二, 证法 2 2：连接AC , AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点, 取BC的中点H，连接OH,EO, FH , 设平面npx, y,z , n BE = 0 1010 分 7 7 分 13 则si,诚n,斌卜准卜号. 1111 分 cos J - . 1 - sin2 3 , tan 二= 3 sin 二 1313 分 直线AE与平面BDE所成角的正切值为.2 . . 1414

22、分 1919.（本小题满分 1414 分） （1 1）解法 1 1：当 n 一2 时，na. 1 二 Sn n n 1 , n T a. = n n-1 ,1 1 分 两式相减得 nan 1 - n T aS - Sn4 n n 1 -n n-1 , . 3 分 9 9 分 14 即 na.彳 _ n _1 a an 2n ，得 a“ i _a“ = 2. . . 5 5 分 当 n = 1 n = 1 时，1 aaSi 1 2，即 a? Q Q = =2.2. . 6 6 分 数列1an n? ?是以印=0为首项，公差为2的等差数列. . an =2 n _1 =2n _2. . 7分 解法

23、 2 2 :由 n an Sn - n n 1，得 n Sn “ - Sn =Sn n n 1 , . 1 分 整理得，n Sn 1 = ：i n 1 Sn n n 1 ， . 2 2 分 两边同除以n n亠1得，Sn 1 Si = 1.i = 1. . 3 3 分 各=n i n -1 . . . 4 4 分 当 n 亠2时，an = Sn - Sn=n n -1 y n 1 j n 2 = 2n 2. . . 5 5 分 又 d = 0= 0 适合上式， . 6 6 分 数列 fajfaj 的通项公式为a. =2n-2. . . 7 7 分 (2)解法 i i：v an log2 n=lo

24、g2bn, bn = n 2an = n 22n 二 n 4n. . . 9 9 分 Tn -b1 b2 b JH bn4 b40 2 41 3 42 l|丨 n-1 4n， n 4n , 4Tn = 41 2 42 3 43 川 n -1 4nJ n 4n， A n 1 . . 解法 2：T an log? n gbn, a* 2 n -2 n 4 n +1 n 数列 是以21=0为首项，公差为1的等差数列 In J 1 色=0 n -1 = n -1. 1111 分 -得-3T40 41 4MH 4n4 -n 4n n 14 14 - n 4n 13n 4 -1 3 1313 分 1414

25、 分 4 4 分 4 15 bn = n 2 二 n 2 n 44 4 分 4 16 令 y = T，得 x=2- 8 X1 2 Tn b2 b3 川 bn bn =4 2 41 3 42 川 n1 -4n n -4nJ n卑卑 由 X X2 X3 川 Xn 二匕 X, 1 -X 1313 分 1 T = (3 n 1 )4n +1. . 14 分 9 2020.(本小题满分 1414 分) (1 1)解法 1 1:由题意，点M到点F的距离等于它到直线l的距离， 故点M的轨迹是以点F为焦点，丨为准线的抛物线. . 1 1 分 2 曲线E的方程为X =4y. . 2 2 分 解法 2 2:设点M

26、的坐标为(x, y), ,依题意，得MF =|y+1 , , 即 Jx2 +(y _1 ( =| y +1 , , . 1 1 分 化简得x2 =4y. . 曲线E的方程为x2 =4y. . . 2 2 分 y = kx +1 由 丫2 消去 丫 得 x2-4kx-4 = 0, x =4y, 4k 4Jk2+1 小 c 72 解得 x12= - =2k 2jk +1 . . 2 x1 x2 = 4k,为冷=一4 . . V1 1 直线AB的斜率kAB 1 x| 2 故直线AB的方程为y-1=X1，2 x_2 . . 1111 分 两边对X取导数得, X0 2X1 3x2 H | n Xn J

27、= nxn* -（ n +1 ）xn +1 2 -X 1212 分 令 X =4, 得 4 2 41 3 42 |H n -1 4心 n 4nJ 酋3n -1 4n 1 . . (2)(2)解法 1:1:设点B, C的坐标分别为 X|, y1 , X2,y2，依题意得, 2 2 X1 =4y1,X2 =4y2. . 3 3 分 17 点S的坐标为 2，1 为+2 同理可得点T的坐标为卜鼎，“ ST 2 一 8 - 2- 8理 8 (为x2 ) x1 +2 X2+2 区+2仏+2 设线段ST的中点坐标为怡，一1 , .1010 分 2 4 2 4(k2+1) 4 展开得 x y 1 2 2=4.

28、 . . 11 11 分 k k k 2 令 X = 0，得 y .1i； =4，解得 y =1 或 y = _3._3. . 12 12 分 以线段ST为直径的圆恒过两个定点 0,1 , 0,-3 . . . 1414 分 解法 2 2：由（1 1）得抛物线E的方程为X2 =4y. . 设直线AB的方程为y T =人x2，点B的坐标为 x, y, ST 8(X1 x2 ) 8(x1 X2 : X1 -X2 x1x2 +2(x1 +x2 )+4 8k k 2 2 2 X| -x2 x x2 ： -4XX2 k2 k2 k2 则 XD = 2 2 旦+2 x +2 2- Xi 2 X2 2 4(

29、4k+4) _2 xx2 2 片 x2 4 4 4k 4 2 _8k- k 以线段ST为直径的圆的方程为 x22 y 宀ST2 k2 由厂1我I2， 解得 y 一1, 2 x=2-二, 彳 k/ 点S的坐标为 2-2,-1 I k1丿 16 k2 1 3 3 分 18 丄 y 1 =匕(x 2 ),、” 亠 /口 2 由* 2 消去 y，得 x 一 4k)x + 8k)- 4 = 0 , X =4y,3 3 分 2 19 即 x -2 x -4k1 2 = 0，解得 x = 2 或 x = 4K -2. 1 2 2 -为=4K 一2 , y1 为=4匕-4k1 1. 4 点 B 的坐标为(4

30、2,4k； +1 ). 同理，设直线 AC的方程为y-仁k2 x-2 , 则点T的坐标为 22,1 ，点C的坐标为（4k22,4k； 4k2+1 ）. k2 点B,C在直线h : y = kx 1上, (4k； -4k2 +1 )_(4匕2 _4匕 +1 ) (k； k； )(k2 ) - k k1 k2 -1. . 4k2 - 2 i 4ki - 2 & k2 二 k 1. . 又 4k2 -4& 1 = k 4& 一2 1，得 4k： 一4匕=4k& 2k =4 & k2 _1 & _2k , k 化简得k1 1k k = =. . 2 设点

31、P x,y是以线段ST为直径的圆上任意一点，则 SP TP =0， c 2、 c 2 x _2 + x -2 +一 k1J k2 得 +(y+1)(y+1)=0， 1010 分 2 4 2 整理得，x x -4 y 1 0. . k 2 令 x = 0，得 y 1 i； =4 ,解得 y = 1 或 y = -3 . . 1111 分 1212 分 以线段ST为直径的圆恒过两个定点 0,1 , 0,-3 . . 1414 分 2121.（本小题满分 1414 分） (1)解：T f x 二 aln x bx, f x b. . x .直线x -2y -2 =0的斜率为 解得a =1,b二 3 3 分 2 20 f1? f 1 1 b , 即 2 a b L 2 0 0. . 21 x (2(2)解法 1 1：由(1 1)得 f x =ln x _ 2 2 X 令 g x xlnx，贝y g x 二x：；l nx 1 二x1l n x. . 1 x 1 令 h x ;=x -1 In x，贝U h x =1 x x 当x 1时，h x 0，函数h x在1,：心上单调递增，故 h x h 1 =0. . . 6分 从而，当x 1时，g x 0，即函数g x在1,=上单调递增， 2 x k xln x恒成立，则 2 所求k的取值范围是一：，丄. . I 2 x 解法 2