八年级数学下册1.4角平分线第2课时试题资料库素材(新版)北师大版

1、 角平分线 第 2 课时 F E B C E B 例 2.如图，已知在 A ABC中，BA DC / 1 = Z 2,求证：AD 平分/ BAG DF =DB Rt . ： CDF 三 Rt. : EDB ( HL) CF= EB (全等三角形的对应边相等) 证明：/ AD 平分/ BAC / C= 90 , DEL AB DC= DE （角平分线上一点到角的两边的距离相等） 在 Rt CDF 和 Rt ： EDB 中, DC =DE 例 1. 在 ABC 中，.C =90 , AD 平分 BAC , DE _ AB 于 E, F 在 AC 上, BD 二 DF 求证：CF = EB。 角平分

2、线的集合解释 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 因此，角的平分线的集合解释是：角平分线是到角两边距离相等的所有点的组成的集合。 符号语言： PD 二 PE 又 PD _OA,PE _OB .点P在.AOB的平分线上（或写成：OP是.AOB的平分线） 2 证明：过点 D 作DEL AB于 E, DF 丄 AC 于 F. 在厶 BED 禾口厶 CFB 中， YBED =NCFD =90 = BD =CD ：BED 二.：CFD(AAS DE= DB AD 平分/ BAC 利用角平分线的性质证明两条线段相等 例 3.如图已知 AB= AC, BD= CD 证明：连结 AD 在厶 ABD

3、 和 : ACD 中 AB 二 AC “ BD =CD .AD = AD . ：ABD 二. ：ACD( SSS C 在同一直线上，有下面四个论断: 又DE= 利用全等三角形的性质证明线段及角的相等关系 例 4.如图，在 AFD和厶 BEC 中，点 (1) AD- CB ( 2) AE= CF; ( 3)/ B=Z D; ( 4) AD/BC。 请用其中三个条件作为条件，余下一个作为结论编一道数学题， A D 在 : ADF 和厶 CBE / A=/ C / BAD=Z CAD 即 AD 平分/ BAG 又 DEI AB DFL AC DE= DF (角平分线上的点到角两边距离相等) 解答：已

4、知：AE= CF，/ B=/ D, AD/BC 求证：AD= BC 证明： AE= CF，. AE+EF= CF+EF 即 AF= CE4 .A = /C =ZD AF =CE ：ADF= ：CBE( AAS AD= BC 例 5.如图.：ABC 中，已知 AB= AC,要使 AD= AE,需添加的一条件是 _ 解答：BD= CE 添加辅助线构造全等三角形 (1)截长补短法 例 6.已知如图 AB/CD , E 为 BC 上一点，/ 1 = 7 2,7 3=7 4。 求证：AD= DC+AB 证明：在 AD 上截取 AF= AB,连结 EF 在 : ABE 和厶 AFE 中 AB =AF 1-

5、2 AE =AE . ：ABE 三 ：AFE(SAS 7 B=7 AFE 又 AB/CD, B C =180 又AFE EFD =180 ./ C=7 EFD 在厶 DCE 禾口厶 DFE 中 乙3 = 4 奁 EFD =NC .ED =ED ：DCE 二：DFE(AAS DF= DC 又T AD= AF+FD AD= DC+AB (2)利用角平分线构造全等三角形 例 7.已知如图7 1 = 7 2, P 为 BN 上一点，且 PD 丄 BC 于 D, AB+BC= 2BD 求证： BAP ： BCP = 180 证明：过点 P 作PEL BA于 E / PD 丄 BC, / 1 = Z 2

6、PE= PD 在 Rt BPE 和 Rt BPD 中 BP =BP PE = PD Rt BPE 二 Rt BPD( HL) BE= BD / AB+BC= 2BD BC= CD+BD AB= BE- AE AE= CD / PDL BC, PEL BA cc 0 L PEB=Z PDC= 90 在丄 PEA 和丄 PDC 中 PE =PD 2PEB =NPDC AE =CD PEA 三也 PDC(SAS L PCB=L EAP BAP EAP =180 BAP BCP =180 证明线段的和、差、倍、分的方法及技巧 例 8.已知：如图 ABC 中，AB AC, AD 平分L BAQ E 是

7、AB 上一点，EG! AD 于 M 交 AC 于 F,交 BC 的延长线于Go 求证：L G 二丄(L 1 - L B) 2 分析：L GL 1、L B 在图形中处在一条线上，不便于寻找它们的关系，利用图中三角形内、外角 的关系，可将问题转化、解决。 证明：在厶 BEG 中 , L 2=L B+L G 6 又 AD 丄 EF （已知） / AME= 90 （垂直定义） / 2= 90/ 3 （直角三角形两锐角互余） 又 AD 平分/ BAC（已知） 1 / 3 = 1 / BAC （角平分线定义） 2 / 2=90一 / 3=90一1 / BAC （等量代换） 2 180 - / BAC =2

8、/ 2 在 ABC中，180 -/ BAC = / B - / 1 （三角形内角和定理） 2 /2二/ B - / 1 (等量代换) / 2 1 (/ B / 1） 2 / B -/ G 1 (/ B + / 1）（等量代换） 2 / G _ 1 (/ 1 - / B) （等式性质） 2 例 9:已知 BD%A ABC 的内角/ ABC 的角平分线，CD 为外角/ ACE 的平分线，它与 BD 交于 D。 求证：/ A= 2/ D 例 10.如图所示，AB= AC BE 丄 AC 于 E, CF 丄 AB 于 F, BE 与 CF 交于点 O,下列结论正确的是（ ） 厶 ABE ACF 厶 B

9、OF COEO点在/ BAC 的平分线上 A. B. C. D. 解答：B 例 11 .下列命题中，错误的是（ ） A. 两条直角边对应相等两个直角三角形全等 B. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 C. 斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等 D. 斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等 解答：C 例 12.如图，已知在厶 ABC 中，/ ACB= 90 ,CD、CE 三等分/ ACB,CDLAB 求证: (1) AB= 2BC (2) CE= AE= EB 证明：(1)vZ ACB= 90 CD , CE 三等分/ ACB / 1 = Z 2=Z 3= 30 / CD AB /

10、A= 30 在 Rt ACB 中 / A= 30 AB= 2BC (2)vZ BCE= 60 ,/ B= 60 BCE 为等边三角形 CE= EB 又/ 1 = 30,/ A= 30 CE= AE CE= AE= EB 例 13.如图，BD CD 分别为 ABC 的外角平分线，且相交于点 D,求证：D 在/ A 的平分线上。 证明：过 D 作 DEI A B, DF 丄 AC ,DG 丄 BC / BD, CD 平分/ CBE / BCF DE 丄 AB, DF 丄 AC, DGL BC DE= DG DG= DF / DE= DF D 在/A 的平分线上 例 14 如图，BD CD 分别为 ABC 的外角平分线，且相交于点 D,求证：D 在/ A 的平分线上。8 例 15.如图，在 ABC 中，AC= BC, / C= 90 ,AD是厶ABC 的角平分线， DEL AB 垂足为E。 (1) 已知 CD= 1cm,求 AC 的长 (2) 求证：AB= AC+CD 解：(1 )T AD 平分/ CAB DCL AC DEL AB DE= DC= 1cm / AC= BC, / C= 90 / B= 45 T EB= ED= 1cm BD= 2 cm AC= BC= 1 + 2 cm (2)证明 T AB= AE+EB AE =