2019年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)：专题8.3空间点、线、面的位置关系(讲)(解析版)

1、2017年爲考数学讲练测【浙江版】【讲】 第八辛立体几何 第花节 空间点、直线、平面间的关系 【最新考纲解读】 内容 要求 备注 A B C 立 体 几 何 1 理解空间直线、 平面位置关系的定 义，并了解作为推 理依据的公理和定 理. V 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次(在表中分别 用A、B、C表示). 了解：要求对所列知识的含义有初步的，感性的理解，知道这个知识内 容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能(或会)在相关问题 中识别和理解它 理解：要求对所列知识有较深刻的理性理解，知道知识间的逻辑关系， 能够对所列知识作准确的描述说明， 用数学语言表达，利用所学的知识

2、内容对相关问题作比较，判断，讨论，具备利用所学知识解决简单问题 的水平. 掌握：要求对所列的知识内容能够推导证明， 利用所学知识对问题能够 实行分析，研究，讨论，并且加以解决 2 能使用公理、 定理和已获得的结 论证明一些空间位 置关系的简单命 题. V 【考点深度剖析】 平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型多为选 择题或填空题，少有在大题中间接考查平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直 线所成的角和距离是高考热点，在新课标高考卷中频频出现. 【课前检测训练】 判一判 1. 判断下面结论是否准确(打“V”或“X” ) (1) 如果两个不重合的平面 a

3、 , 3有一条公共直线 a,那么就说平面a , 3相交，并记作a n 3 =a. (2) 两个平面a , 3有一个公共点 A,就说a , 3相交于过A点的任意一条直线. (3) 两个平面a , 3有一个公共点 A,就说a , 3相交于A点，并记作a n 3 = A. (4) 两个平面ABC与 DBC相交于线段BC.F列直线中与直线 EF相交的是( (5) 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 答案：(1) V ; (2) X ;(3) X ; (4) X ;(5) V . 2空间四点中，三点共线是这四点共面的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4、 答案：A. 练一练 1.直线m, n均不在平面:-内，给出下列命题： 若 m n, n :，贝U m :-；若 m ：,沱 1：,，则 m :-；若 m _ n, n 丨 * ,则 m :-； 若m .1】,：.，则m 则其中准确命题的个数是( ) A. 1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 2.【2019高考浙江理数】 已知互相垂直的平面 ：-，:交于直线l.若直线m n满足m / ：, n :, F列直线中与直线 EF相交的是( A. m/ 1 B .m/ n C . n丄1 D 丄n 【答案】 C 【解析】 由题意知 :- -l, l :, n _ ：, n _ 1 . .故选c.

5、ABCDABCD,中，E、F分别为BC BB的中点，则 则() 3.【2019高考上海文科】如图，在正方体 (A)直线AA (B)直线 A B (C)直线 AiD (D)直线 BiCi 【答案】D 【解析】只有BiCi与EF在同一平面内，是相交的，其他 A, B, C中直线与EF都是异面直 线，故选D. 4.直三棱柱 ABO ABC中，若/ BAC= 90, AB= AC= AA,则异面直线 BA与AC所成的角等 于() A. 30 B . 45 C . 60 D. 90 【答案】C 【解析】由原来的直三棱柱补成一个正方体 ABCB AiBiCD，如图. /AC/ BD, / ABD即为异面直

6、线 BA与AC所成的角. ABD为正三角形， / ABD= 60 .故选 C. 5.下列命题： 三个点确定一个平面；一条直线和一点确定一个平面；两条相交直线确定一个平面； 两条平行线确定一个平面；若四点不共面，则必有三点不共线. 其中准确命题是 _ . 【答案】 【解析】不正确，当三点共线时不成立；不正确，当点在直线上时不成立；正确同，两条相交盲 线，必有三个点不共线，由公理？知正确；正确，理由同；正确，反证法：若有三点共线 4 则 与第四个点确定一个平面肚、 二四点共面，与已知相矛盾. 【题根精选精析】 考点一平面的基本性质 【1-1】在正方体 ABCB ABGD中，P, Q R分别是AB

7、AD, BC的中点，那么正方体的过 P, Q R的截面图形是（） A.三角形 B 四边形 C 五边形 D 六边形 【答案】D 【解析】如團所示，作创购交皿干连接妒并延长与 d 延交于虧且妒反向延长线与延长 线交于M连接屈交曲于连接尸 6 则产6聽豹戯曲与正方体的交线，同理连接 2 交加于用连接 穌,弧则0禹応淘截面与正方体的交线， 二截面为六边形PQFGRE. 【1-2】【江西卷】如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 a上，且AB/ CD则直 线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 _ 【答案】4 【解析】取CD的中点为G由题意知平面 EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或

8、平行， 从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或 EF在平面内所以直线 EF与正方体的前、 后侧面及上、下底面所在平面相交.故直线 EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数 为4. 【1-3】在正方体 ABCB ABCD中，对角线 AC与平面BDC交于点Q AC BD交于点 M 求证: 点C , Q, M共线. 【答案】见解析 【解析】如图所示,/ AA/ CC, AA, CC 确 定 平面AC. / AC?平面 AC, Q AQ, Q平面AC ,而Q=平面BDCT线AC, Q平面BDC, Q在平面BDC与平面AQ的交线上. / A8 BD= M ME平面BDC,且ME平面AC , .

9、平面 BDCCi 平面 AQ= CiM 0 GM即C, O M三点共线. 【1-4】如图，直角梯形 ABDC中, AB/ CD ABCD S是直角梯形 ABDC所在平面外一点，画出 平面SBD和平面SAC勺交线. ：EE ACt曲匕平面SAC 平面SAG 同理，可证疋平面S8D. 二点兰在平面辭和平面匚的交线上，则连接SEf直线恥是平面迦和平面的交线. 【基础知识】 (1) 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (即直线在平面内). (2) 公理2 :经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 (即能够确定一个平面). (3) 公理3:如果两个不重合

10、的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共 直线. 推论1 :经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 :经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 :经过两条平行直线，有且只有一个平面. 【思想方法】 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理 【答案】见解析 【解析】很明显，点 m 是平面磁和平SAC个公共点，即点E在交线上.由于 3 仞，则分别延长曲 Q 和影交于点乱如團所示. 2及其推论是判断或证明点、线共面的 依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据要能够熟练用文字语言、符号语言、图形 语言来表示公理. 画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的

11、交线，此交线只需两个公共点即可确定，作 图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，能够更快地确定交线的位置. 证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不 共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可. 要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理 3，即证点在 两个平面的交线上.或者选择其中两点确定一直线 ,然后证明另一点也在直线上 【温馨提醒】 对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确 把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理 3中“不共线的三点”，“不共线”是 很重要

12、的条件.另外，对于平面几何中的一些准确命题，包括一些定理推论，在空间几何中 理应重新认定，有些命题因为空间中位置关系的变化，可能变为错误命题，学习中要养成分 类讨论的习惯，再就是结合较熟悉的立体几何图形或现实生活中的实物实行辨析，也可利用 手中的笔、书本等实行演示，验证. 考点二空间两直线的位置关系 【2-1】对于直线 m n和平面a，下列命题中的真命题是 （） A. 如果m? a , n? a , m n是异面直线，那么 n/ a B. 如果m? a , n? a , m n是异面直线，那么 n与a相交 C. 如果m? a , n/ a , m n共面，那么m/ n D. 如果m? a ,

13、n/ a , m n共面，那么m与n相交 【答案】C 【解析】对于选项盘八T可以与平面亍相交，对于选项知昇可以与平面农平行故选项氣总均错, 由于曲 S nil Q ,则 d 府无公共点又爼共面，所以金检选项C正确，选项D错.故选匚 【2-2】如图是正四面体的平面展开图， G H M N分别为DE BE EF EC的中点，在这个 正四面体中， GH与 EF平行； BD与 MN为异面直线； GH与 MN成 60 角； DE与 MN垂直. 以上四个命题中，准确命题的序号是 _ . 【答案】 【解析】把正四面体的平面展开图还原如图所示， GH与 EF为异 面直线，BD与MN为异面直线， GH与 MN成

14、 60。角，DEL MN AD, EF, CD都相交的直线() A.不存有 C.有且只有三条 【答案】D 【解【解析】在且卫上析】在且卫上任取任取一点丘一点丘则则 E, F,F,尸确定一尸确定一个平面个平面 S S 过列乍过列乍PQllEFPQllEFr r则则厂厂连连接鉀并接鉀并延长交延长交 皿的延长线于刖则皿的延长线于刖则底厂底厂连接用连接用 6则三圧与豳则三圧与豳相交，当相交，当然也与然也与皿相交皿相交. . 重复以上过程，另取了点，会产生尸重复以上过程，另取了点，会产生尸./ ./ , ,故遠故遠样的直线有无样的直线有无数条数条. .故选故选 D. 【2-4】如图，在正方体 ABCD

15、ABCD中，M N分别为棱CD、CC的中点，有以下四个结论: 直线AM与 CC是相交直线； 直线AM与 BN是平行直线； 直线BN与MB是异面直线； 直线AM与 DD是异面直线. ABCD ABCD中，E, F分别为棱 AA, CG的中点，则在空间中与三条直线 B.有且只有两条 D.有无数条 A B 其中准确的结论为 _ (注：把你认为准确的结论的序号都填上 ). /bi. I/L A B 【答案】 【解析】A, M C三点共面，且在平面 ADCB中，但C?平面ADCB,所以直线 AM与 CG是异 面直线，同理 AMW BN也是异面直线，AM与 DD也是异面直线，错，准确； M B Bi 三点

16、共面，且在平面 MBB中，但N?平面MBB所以直线 BN与 MB是异面直线，准确. 【基础知识】 r 平行 ,共面直线,、 直线与直线的位置关系的分类 相目交 异面直线：不同在任何一个平面内 直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 【思想方法】 点共线问题的证明方法： 证明空间点共线，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再依据公理 3证明这些点 都在这两个平面的交线上. (2)线共点问题的证明方法： 证明空间三线

17、共点，先证两条直线交于一点，再证第三条直线经过这点，将问题转化为证明 点在直线上. 点线共面问题的证明方法： 纳入平面法：先确定一个平面，再证相关点、线在此平面内； 辅助平面法：先证相关点、线确定平面 a，再证明其余点、线确定平面 3，最后证明平面 a , 3重合. 【温馨提醒】 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直 接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形 (梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与 面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决 考点三异面直线所成的角 【3-1】【2019高考新课标1卷】平面a过正方体ABCDAi

18、BCD的顶点A a /平面CBD, a I 平面ABCDmI平面AB BAi=n,则m n所成角的正弦值为 x3 x-2 v3 1 (A) ( B) (C)(D) 2 2 3 3 【答案】A 【解析】如图，设平面CBD 平面ABCD =m,平面CB1D/j平面ABBA = n,因为/ 平面CB1D1,所以m/m,n/n则m,n所成的角等于 m, n所成的角.延长AD ,过D1作 /RC，连接 CE, B1D1,则 CE 为 m,同理 B1F1 为 n ,而 BD /CE,B1 F1 /A|B,则 m,n 73 所成的角即为 AB,BD所成的角，即为60 ,故m,n所成角的正弦值为 ,选A. 2

19、 已知正四面体 ABCD中, E是AB的中点，则异面直线 CE与BD所成角的余弦值为() 1 A1 【3-2】 【答案】 【解析】如图所示，取AD的中点眄连则EF/BD, A异面直绒CE与曲所成的角即为CE与EF所 _ 厂 成的角ZCEF.由题知ABC, ACU为正三角形，设屈二爲 则CE=CF=p3, EF=-fiD=l. 二在ACEF中，由余弦定理，得SM/IEF E + EF师=7 咅订心 =织故选目 2CE - EF E D B C a n M M 且 PN= 1CD 法二 由AB= CD能够把该三棱锥放在长方体 AABB CCDD中实行考虑，如图, 【3-3】已知在三棱锥 A BCD

20、中, AB= CD且点M N分别是BC AD的中点. （1）若直线AB与CD所成的角为60,则直线AB和MN所成的角为 _ 若直线AB丄CD则直线AB与MN所成的角为 _ 【答案】（1）60 或30 （2）45 【解析】（1）法一如图，取AC的中点P,连接PM PN贝y PM/ AB且PM= ；AB PN/ CD 所以乙硼或其补角）为.迪与刀所成的角-则乙：庄乂=6 或乙的哪=12旷, 若Z- R60 ,因为别闵 所以上E陀或其补角涯屈与所成的鼠 又因內躬=6 戕 PM=PN, 则FtfV是等边三角形, 所以即.毎与J V所成的角为60 若/腑暫=吃广 则易知汀是等膿三角形. 所以/ PMN=

21、 30 , 即AB与MN所成的角为30 综上直线AB和MN所成的角为60或30 由M N分别是BC AD的中点， 所以MM AA,即/ BAA或其补角）为AB与 MN所成的角. 连接AiBi交AB于 Q 所以AB/CD即/ AOA或其补角）为AB与 CD所成的角所以/ AOA= 60或120，由矩 形AABB的性质可得/ BAA= 60或30 . 所以直线AB和MN所成的角为60或30 . 1 取AC的中点P,连接PM PN则PM綉2AB所以/ MPN或其补角）为AB与CD所成的角， 因为 ABL CD 所以/ MPNk 90 . 又 AB= CD 所以 PM= PN 从而/ PMN= 45,

22、 即AB与MN所成的角为45 . 【基础知识】 异面直线所成的角 定义：设a, b是两条异面直线，经过空间任一点 O作直线a/ a, b/ b,把a与b 所成的锐角或直角叫作异面直线 a, b所成的角（或夹角）. 范围：（0,. 2 异面直线的判定方法： 判定定理：平面外一点 A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面. 【思想方法】 求异面直线所成的角常采用“平移线段法” ，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平 行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移.计算异面直线所成的 角通

23、常放在三角形中实行. 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归 为共面问题来解决，具体步骤如下： 平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； 认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； 计算：求该角的值，常利用解三角形； 取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 （0叟，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为 ，2 两条异面直线所成的角. 求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围. 【温馨提醒】 1. 解决立体几何问题常用的方法是空间问题的平面化，转化为平面问题后就能够用我们熟悉 的方法来解决，这体现了空间立体几何的转化与化归的思想

24、. 2. 高考中对异面直线所成角的考查，一般出现在综合题的某一步，其步骤为： 平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线. (2) 证明：证明所作的角是异面直线所成的角. (3) 寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之. 取舍：因为异面直线所成角 0的取值范围是0 V 90，所以所作的角为钝角时，应 取它的补角作为异面直线所成的角. 【易错问题大揭秘】 【易错试题常警惕】 易错典例：在正方体 ABCD ABCD中，E, F分别是棱 AiBi, AD的中点，贝U AB与EF所成角 的大小为 . 易错点：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，

25、容易忽视这个三角形的内角可能 等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角 . 分析：如图，连接 B D, DC, BC由题意知EF是ABD的中位线，所以 EF/ B D . 又Ai B/ DC所以Ai B与EF所成的角等于 B D与DC所成的角. n 因为 D B C为正三角形，所以/ B D 0=三. n 故Ai B与EF所成角的大小为 温馨提醒：i 准确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一 个平面内” 2. 不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件 3. 两条异面直线所成角的范围是 (0,. 2 4. 两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于