八年级数学上册小专题八用分类讨论求解等腰三角形多解问题(新版)新人教版【含答案】

1、1 用分类讨论求解等腰三角形多解问题 （本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做 ） 类型 1 对对顶角和底角的分类讨论 方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这 个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨 论在分类时要注意：三角形的内角和等于 180;等腰三角形中至 少有两个角相等. 2. 如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数. 类型 2 对腰长和底长的分类讨论 方法归纳：在解答已知等腰三角形边长 的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”， 哪条边是“底”时, 往往要进行分类讨论.判定的依据

2、是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之 差小于第三边. 针对训练 3. 若一个等腰三角形的三边长 均满足（x 2）（x 4） = 0,求此等腰三角形的周长. 4. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为 9 cm 和 12 cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长. 类型 3 对锐角、直角和钝角三角形的分类 讨论 方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角 和钝角三角形.不同的三角形其高、中线、垂直平 分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高在这个三角形的内部；直角 三角形腰上的高在顶角的顶点上；钝 角三角形腰上的高在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论. 针对训练 5

3、. 已知 ABC 中，AB= AC, AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交成 50的角，求底角的度数. 针对训练 1. 等腰三角形是有一个角为 52,它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度? 2 6. 一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，则等腰三角形底角的度数是多少? 7. AC 为等腰 ABD 的腰 BD 上的高，且/ CAB= 60 .求这个三角形各内角的度数.3 参考答案 1.若已知的这个角为顶 角，则底角的度数为(180 若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为 设/A, / B,Z C 是该等腰三角形的三个内角，且/ A= 52 )十 2= 64，故一腰上的高与底边

4、的夹角为 38 .故所求的一腰上的高与底边的夹角为 1 2/B.设/ A= x，则/ B= 2x .若/B 180,. x + 2x + x = 180.解得 x= 45, 26 : 26或 38 . 2. 是顶角，则/ A, / C 是底角，于是有/ C=/ A= x . ./ A+/ B+/ C= / B= 90 .若/B 是底角，因为/ AM/B,所以/A 是顶角，/ C=/ B= 2x . v/ A+/B+/C= 180 ,. 2x + 2x + x = 180.解得 x = 36,故/ A= 36,/ B=/ C= 72 .综上所述，等腰三角形的各内角为 45、45、90或 36、7

5、2、72 . 3.据题意，得 x = 2、x= 4 都满足(x 2)(x 4) = 0.从而可知等腰三角形的三边长有四种可能 情况：2、2、4 或 2、4、4 或 2、2、2 或 4、4、4.其中，根据三角形的三边关系知，以 形，而其他三种情况均符合条件因此，所求等腰三角形的周 长为 6 或 10 或 12. 故/ A=/ C= 45, 2、2、4 为边不能构成三角 4.如图，由于条件中中线分周长的两部分，并没有指明哪一部分是 9 cm、哪一部分是 1 x + 於=9, 12 cm，因此, r 1 x + 歹=12, 应有两种情 形：若设这个等腰三角形的腰长为 x cm 底边长为 y cm,于

6、是根据题意，得叫 1 歹+y = 12. 或彳 1 訝 y = 9. x = 6, 解得 t |y = 9. 或|X = 8即当腰长是 6 cm 时，底边长是 9 cm ; |y = 5. 当腰长是 8 cm 时，底边长是 5 cm. 5.由题意可判断该三角形不 垂直平分线 DE 与腰 AC 相交, 可能是直角三角形、可能是锐角三角形或钝角三角形， 贝 y/A= 40,所以/ B=/ C- 70;如图 2,当 AB 的垂直平分线 DE 与腰 AC 的反向延长线相交, 则/EAD- 40, / BAO 140 ,所以两底角/ B=/ C- 20 .综上可知， 故分两种情况讨论：如图 1, 且 /

7、 AED- 且 / AED- 或 20 . 50, 50, 等腰三角形的底角为 70 6.设/A 为顶角，则/ ABC / ACB 为底角. 若/A 为锐角，如图 1，作 BD AC 于点 / BDA= 90 ,A / A= 30, 一边的一半”，这种情况无解; 如图 2，作 AD BC 于点 D, / ABC=Z ACB= 75 ; (2)若/A 为直角，根据题意“等腰 1 D,根据题意有 BD- ?AB, 三角形一边上的高等于另 (3)若/A 为钝角，有三种情况: 罔3 1 根据题意有： AD-，AB,/ ADB= 90,二/ ABO/ ACB= 30;如图 3,作 BDLCA 4 的延长

8、线于点 D,根据题意有：BD= 1BC, / ADB= 90,二/ ABC=Z ACB= 30;如图 4，作 BDL CA 的延长线于 点 D,根据题意有： BD= 2AB,/ ADB= 90 ,A/ BAD= 30,/ ABC=/ ACB= 15 .综上所述，等腰三角形底角的 度数是 75、30或 15 . 7.如图 1，高人。在厶 ABD 的内部，因为/ CAB= 60, / ACB= 90 ,所以/ B= 30 . 因为 BA= BD,所以/ BAD= / 75;如图 2,高 人。在厶 ABD 的外部，因为/ CAB= 60,/ ACB= 90，所以 / ABC= 30,所以/ ABD= 150 .因为