八年级数学上册专题突破讲练三角形的内外角关系试题(新版)青岛版

1、 三角形的内外角关系 1. 定理：三角形的内角和是 180 要点：定理的证明根据是平行线的性质。 定理的证明方法有多种，选取以下两种方法加以掌握。 /A+Z B+Z O 180 又/C= 90 /A+Z B= 90 /-ZA 与/B 互余。 等边三角形的每一个内角都是 60。 【重点难点扃错直点点精谨】 、三角形的内角和定理 2 /Z D+Z E+Z F= 180,又Z D=Z E=Z F,. 3 Z 180 ,：Z D=Z E=Z F=60 定理的应用： 在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角。 女口：在厶 ABC 中，/ C= 180 (/ A+Z B) 在三角形中，已知三个内角和的比

2、或它们之间的关系，求各内角。 女口：在厶 ABC 中，已知Z A：Z B: Z C= 2: 3: 4,则可设Z A、Z B、Z C 为 2x、3x、4x，利用 方程求得度数。 二、三角形的外角 1. 外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如Z ACD 与Z BCE 均为外角。 2. 三角形外角的性质 (1) 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。 (2) 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 提示：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有六个外角。通常每个顶 点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角。因为三角形的每个外角与它

3、相邻的内角是邻 补角，由三角形的内角和是 180,可推出三角形的外角和是 360 。 三、三角形的外角与内角的关系 1. 三角形的一个外角与它相邻的内角 互补，如图：Z 1 与Z 4 是邻补角，即Z 1 + Z 4 = 180o； 2. 三角形的一个外角 等于与它不相邻的两个内角的和 ，如图：Z 1 = Z 2+Z 3; 3. 三角形的一个外角 大于与它不相邻的任何一个内角 ，如图：Z 1Z 2, Z 1Z 3。 3 【拓展】4 两种图形 (1)对顶三角形： 有一个角是对顶角的两个三 角形。特点是：每个三角形中除对顶角外，另 两个角的和与另一个三角形中其余两个角的和 相等。如图：Z A+Z B

4、=Z D+Z E DJ 的认识 (2)图形的折叠：将图形沿某条线折叠，使其 一部分与图形中某部分重合，可以形成边、角 等多个相等关系。如图：Z 1 = Z 2=Z 3 Ai 方法归纳：三角形的内、外角关系的知识点应注意以下几点： (1) 实际应用中，题目中往往把/ A+Z B+Z C= 180这个条件隐藏，要时时注意想到这个条 件。 (2) 外角关系强调的是“不相邻”三个字，不要被题目偷换概念。 (3) 应用三角形的内、外角关系解题时，经常要使用到高、角平分线，注意二者定义中，高有 - 一 一 一 1 垂直的结论，即有角是 90,角平分线的作用是将一个角平分成两个相等的角， 有角的数值存在。

5、2 (4) 三角形的内角和定理和三角形的外角的性质是求角度及与角有关的推理论证时常使用的理 论依据，另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质。 技巧归纳：解决本部分习题时要注意几种数学思想的应用: 方程的思想 根据角与角之间的关系求角的度数时 可列方程(或方程组)求解。 女口： Z A：Z B:Z C= 三角形的形状。 1： 2： 3，求 整体运用的 思想 将待解决的问题看作一个整体，通过 研究问题做整体处理后，达到解决问 女口： Z A= 40，求Z + Z C 的度数。 B / 3+Z 4+Z B 题的目的。 D/3 A pc 5 转化的思想 求较复杂的图形中多个角的度数和的 问题。解

6、题的关键是利用有关性质把 这些角集中到一个三角形中，再利用 三角形内角和的性质解决。 女口：求五角星的内角和问题。 总结：1.学会综合运用内、外角关系解决图形的角度计算问题。 2. 将各种解题思想及方法掌握好，有利于今后几何的学习。 例题 1 如图，将三角尺的直角顶点放在直线 a上，a/ b,Z 1 = 50,/ 2= 60,则/ 3 的度 数为（ ） / 4= 180 / 1-/ 2= 180 50 60= 70, / 5=/ 4= 70, / a / b, ./ 3=/ 5= 70。 故选C 点拨：本题考查的是平行线的性质、三角形的内角和定理。解答此类题目时往往用到三角形的 内角和是180

7、这一隐藏条件。 例题 2 如图，在厶 ABC 中，/ ACB= 90,沿 CD 折叠 CBQ 使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处。 A. 50 B. 60 D. 80 解析：先根据三角形的内角和定理求出/ 4 的度数，由对顶角的性质可得出/ 5 的度数，再由平 行线的性质即可得出结论。 答案: 【卓题旌鬆名校题题题经典】 在 BCD中,/ 1 = 50, 6 若/ A= 22，则/ BDC 等于（7 A. 44 B. 60 C. 67 D. 77 解析： 由厶 ABC 中， / ACB= 90,/ A= 22， 可求得/ B 的度数。 由折叠的性质可得: =Z B= 68,/ BDC=

8、/ EDC 由三角形外角的性质，可求得/ ADE 的度数，继而求得答案。 答案：在厶 ABC 中，/ ACB= 90，/ A= 22, / B= 90/ A= 68, 由折叠的性质可得：/ CED=/ B= 68,/ BDC=/ EDC / ADE=/ CED-/ A= 46, / BDC= V = 67。 2 故选 Co 点拨：此题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理以及三角形外角的性质。此题注意掌握折 叠前后图形的对应关系，以及数形结合思想的应用。 1. 几何图形变换的研究 几何图形的变换，核心内容是首图形的证明基本思路，变换后的图形与首图形的总体证明方法 相同。但要注意的是这种题中所蕴含

9、的数学思想：通过变换掌握举一反三的能力，将知识学活、用 活。通过变换，提高面对试题的研读能力，从而做到一会百会。 (1) 充分分析首图形的条件，在此基础上将其应用到后面的图形中； (2) 在变换时，认清本质，对变换后的结果依照首图形结论加以书写，注意与第一个结论保持 格式上的一致，避免评卷老师的误判。 (3) 注意变换后，结论的变与不变：基本规律是线段与角相等的一般来说结论都会不变， 差类的变换最后其结论都会发生变化。 例题 如图所示，在 ABC 中,/ A= a , ABC 的内角平分线和外角平分线交于点 P, 3，试探求下列各图中 a与3的关系，并选择一个加以说明。CED 爾冏【拓展特结雄

10、升茜分必读】 但和、 且/ P= 8 / AB(+Z ACB= 180 / A。 / BP 与 CP 是厶 ABC 的角平分线, / PBC= 1 / ABC / PCB= 1 / ACB 2 2 / PBC+/ PCB= 1 (/ AB(+Z ACB = 90 2 3 = 90 + 1 2 2. 化归思想及对顶三角形的应用 化归思想是指将不同图形中的条件转化到同一图形中，三角形内角和的转化是利用有关性质把 不同图形中的角集中到一个三角形中，再利用三角形的内角和定理、外角性质进行解决。对顶三角 形的其他应用包含整体应用的思想，将不同三角形的内角和整体转化到一个图形中，从而解决复杂 图形中的求值

11、问题。 例题 （1）如图所示，线段 AD BC 相交于点 O,所组成的厶 ABgA CDO 叫做“对顶三角形”。 已知/ A= 70,/ B= 25,求/ C+/ D 的度数。 （2） 如图所示，求/ A+/ B+/ C+/ D+/ E 的度数。 （3） 如图所示，求/ A+/ B+/ C+/ D+/ E+/ F 的度数。 解析：本题没有给出具体角度，所以最后形成的将是一个关系式。 主要考查角平分线的定义、 三角形的内角和定理以及外角的性质，分析可知图（ 1)3 = 90 (2)、(3) 变换后图形道 理类似，但过程略有不同，可参考（ 1） 应用的定理加以说明。 答案： 解：（1） 3 = 9

12、0 选择（1） 进行证明。 在图（1） 中，根据三角形的内角和定理可得: 在厶 PBC 中，/ BPC= 180 (/ PCBFZ PB C = 180 (90 a )= 90 9 解析：先根据对顶三角形的性质求得图中 / A+Z B=Z C+Z D = 70+ 25= 95，图 中考虑连接 BC 则可将问题转化为对顶三角形的问题，总和为 180;图 中图形将三个三角形中 的Z A+Z BZ C+Z DZ E+ZF 转化到 GIH 中，利用对顶三角形的性质得到 2 (Z GIH+Z GHI + Z HGI)= 360 答案：解：(1)在厶 ABO 与厶 CDO 中 因为 ZA+Z B+Z AO

13、B=Z C+Z D+Z CO= 180 Z AOB=Z COD 所以Z A+Z B=Z C+Z D 因为Z A= 70 ,Z B= 25 所以Z C+Z D= 70 + 25 = 95 (2) 连接 BC 因为 EODW BOC 为对顶三角形， 所以Z D+Z E=Z OBCFZ OCB 所以Z A+Z B+Z C+Z D+Z E= 180 (3) 因为 ABG 与 GIH、A EFI与厶 GIH、A CHDM GIH 都是对顶三角形， Z A+Z B=Z GIH+Z GHI Z C+Z D=Z GIH +Z HGI Z E+Z F=Z GHI+Z HGI 所以Z A+Z B+Z C+Z D+

14、Z E+Z F= 2 (Z GIH+Z GHI+Z HGI)= 360 （答题时间：45 分钟） 、选择题 1. 在给定的下列条件中， 不能判定三角形是直角三角形的是（ ） A. Z A : Z B : Z C= 1 : 2 : 3 B. Z A+Z B=Z C C. Z A=Z B=Z C D. Z A= 2 Z B= 3Z C 2. 已知 ABC 的三个内角Z A、Z B、Z C 满足关系式Z B+Z C= 3ZA,则此三角形中（ ） 10 A. 一定有一个内角为 h B. 一定有一个内角为 CU11 *3.如图，在 ABC中,/ C- 700,沿图中虚线截去/ C,则/ 1 + Z 2=

15、( ) 沿着 DE 折叠压平，A 与 A重合，若/ A= 75,则/ 1 + Z 2 =( C. 一定是直角三角形 D. ，定是钝角三角A. 360 o B. 250 o *4.已知 D. 140 o / ABC则/ BOC-定( ) A.小于直角 B. 等于直角 C. 大于直角 D.不能确定 *5. 如图 ABC 中，/ BAD=Z CB 吕/ ACF / ABC= 50 ,/ ACB= 62,则/ DFE 的大小是( ) A. 50 D. 70 *6. 如图，在折纸活动中，小明制作了一张 ABC 纸片，点 D E 分别在边 AB AC 上，将 ABC A. 150 D. 75 二、填空题

16、*7.如图，已知 ABC 的/ B 和/C 的外角平分线交于点 D,Z A= 40 ，那么/ D- C. 180 o B. B12 *8.如图，在 ABC 中，/ B=Z C, FD BC DEL AB / AFD- 158, 则/EDF = _ 13 *9. 如图，/ ACD是 ABC 的外角，/ ABC 的平分线与/ ACD 的平分线交于点 A ,/ ABC 的平分 线与/ AiCD的平分线交于点 A，/ A-iBC 的平分线与/ An-iCD 的平分线交于点 An。设/ A=B。 则： 三、解答题 10. 判断适合下列条件的 ABC 是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？ (1) Z

17、A= 20 ,/ B= 75 ; (2) / A- / B= 30,/ B-/ C= 30; 1 1 (3) / A= / B= /C 2 6 *11. 一个零件的形状如图，按规定/ A 应等于 90,/ B、/ D 应分别是 20和 30,李叔叔量 得/ BCD= 142就判定这个零件不合格，你能说出道理吗 ？ *12.如图，已知在厶 ABC 中，/ B= 70,/ BAC：/ BCA= 3 : 2, CDLAD 于 D,且/ ACD= 35, 求/ BAE 的度数。 *13.如图，点 C 为 Rt ABE 的边 AE 延长线上的一点，BE!AC 点 D 为边 AB 上一点，DC 交 BE

18、于 点 F,已知/ ADC= 80,/ B= 35，求/ C 的度数。(1)/ Ai = ；(2)Z 14 fi *14.如图所示，已知/ 1 = Z 2,Z 3=Z 4,/ C= 32,/ 28, (1) 求/P的度数。 (2) 请推断/P与/ C/D的关系。 *15. 已知 ABC 中，/ BAC= 100。 (1) 若/ ABC 和/ ACB 的平分线交于点 O,如图所示，试求/ BOC 的大小； (2) 若/ ABC 和/ ACB 的三等分线(即将一个角平均分成三等份的射线)相交于 O O,如图 所示，试求/ BOC 的大小； (3) 以此类推，若/ ABC 和/ ACB的 n等分线自

19、下而上依次相交于 O 0、O、，如图所 示，试探求/ BOC 的大小与 n的关系，并判断当/ BOC= 170时，是几等分线的交线所成的角。 1. C 解析：利用比例设方程， A B D 中都有直角，C 选项中三角相等则每一角为 60,则选 Co 2. A 解析：题目中隐含的条件为/ A+Z B+Z C= 180，将/ B+Z C= 3/ A 代入，则可知/ A =45 o 3. B 解析：利用整体运用的思想，Z C= 70,则Z 1、Z 2 外角的和为 110 ,Z 1 + Z 2= 360 -110 =250o I： 15 4. C 解析：Z ABC+Z ACBZ BAC= 180 ,Z

20、ABC+Z ACB= 180 -Z BAC Z ABC 和Z ACB 的平 1 1 分线交于点 O 则Z BOC= 180- ( 180 -Z BAC = 90+ Z BAC 所以选 Co 2 2 5. C 解析：因为Z DFE=Z ACF+Z CAF Z BAD=Z CBE=Z ACF 所以Z DFE=Z BAC 因为Z ABC =50, Z ACB= 62,则 Z BAC= 180- 50- 62= 68。 6. A 解析：连接 A A,根据三角形外角的性质，Z 1 + Z 2 = 2Z A,所以Z 1 + Z 2= 150 。 7. 70 解析：因为Z A+Z AB(+Z ACB= 18

21、0 , Z A= 40,所以Z AB(+Z ACB= 140 ,所以 Z ABC 与Z ACB 的外角和 =360- 140 = 220,因为 CD BD 是角平分线，所以Z BC+Z CBD= 110 ,所以Z D= 70 o 8. 68 解析：因为Z AFD= 158,所以Z CFD= 22，因为 FD 丄 BC,所以Z C= 68，又因为 Z B=Z C,所以Z B= 68,因为 DEL AB 所以Z BDE= 22,所以Z EDF= 180 - 90- 22= 68。 q p 9. (1) ，(2) 解析：(1)v A1B 是Z ABC 的平分线，A?B 是Z A1BC 的平分线， 2

22、 2n 1 1 Z ABC=Z ABC Z ACC= Z ACD 又TZ ACD-Z A+Z ABC Z ACC=Z ABC+Z A , 2 2 1 o Z A+Z ABC= 2 (Z A1BC+Z A) , A= Z A , TZ A= 0 , A= ; 2 2 1 p p (2)同理可得Z A2= Z A = ,所以Z Ai = o 2 护 2n 10. 解：(1)因为Z C= 180 -Z A-Z B, Z A= 20 , Z B= 75 ;所以Z C= 180 -Z A-ZB =180- 20- 75= 85，所以三角形为锐角三角形。 (2) 因为Z A-Z B= 30 , Z B-Z

23、 C= 30 ,所以Z A= 30 +Z B, Z C=Z B-30 ,因为ZA + Z B+Z C= 180，所以 30 +Z B+Z B+Z B-30 = 180 ,所以Z B= 60 ,Z A= 90 ,Z C =30,所以此三角形为直角三角形。 1 1 (3) 因为Z A= Z B= Z C,所以设Z A= x, Z B= 2x, Z C= 6x ,因为Z A+Z B+Z C= 180 , 2 6 所以 x + 2x + 6x = 180,所以 x= 20，所以 6x = 120,所以该三角形为钝角三角形。 11. 解：这个零件不合格。道理如下:延长 DC 交 AB 与点 E,因为/ DEB为厶ADE 的外角，所以/ DEB=Z A+Z D,因为/ DCB%A BEC 外角，所以Z DCB=Z CE 聊Z B,因为Z A 应等于 90 ,Z B Z D 应分别是 20和 30,所以Z BCD =140,所以这个零件不合格。 12. 解： / Z B= 70 (已知) 3 460 3 16 Z BAC+Z BC