差分方程的解法

1、第三节差分方程常用解法与性质分析(8)1、常系数线性差分方程的解方程 aoxn kai Xn k A . akXn b( n)其中a。®,为常数，称方程（8）为常系数线性方程。(9)又称方程 ao Xn kaiXn kJ ak Xn - 0为方程（8）对应的齐次方程。如果（9）有形如Xn的解，带入方程中可得:kk 1(10)ao - a1 - . - ak dak 二 0称方程（10）为方程（8）、（ 9）的特征方程。显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解基本结果如下：（1） 若（10）有k个不同的实根，贝9）有通解：nnnXn = G1 C22Ck k（2）若（10）有

2、m重根，则通解中有构成项：（G c2 n . cm nm斗）n(3) 若(10)有一对单复根丸"土怡，令:扎二,：' -：2 “2, 二arctan, t ,。，则(9)的通解中有构成项：ci V cos :n C2n sin n(4) 若有m重复根：X" 士2，“ Pe"，贝9)的通项中有成项：(c1 q n . cm nmJ1)：、n cos n (cm 彳-cm .2 n c2m nm)："sin n 综上所述，由于方程(10)恰有k个根，从而构成方程(9)的通解中必有k个独立的任意常数。通解可记为：Xn如果能得到方程(8)的一个特解：人，

3、则(8)必有通解:一 *X _ xn + xn( 11)(1)的特解可通过待定系数法来确定。例如：如果b(nHPm(n), Pm(n)为n的多项式，则当b不是特征 根时，可设成形如bqm(n)形式的特解，其中qm(n)为m次多项式；如 果b是r重根时，可设特解：bnnrqm(n)，将其代入(8)中确定出系 数即可。2、差分方程的z变换解法对差分方程两边关于Xn取Z变换，利用人的Z变换F (Z) 来表示出Xn k的Z变换，然后通过解代数方程求出 F (z),并 把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的人例 1 设差分方程 Xn 也 * 3Xn * + 2Xn - 0,

4、Xo - 0, Xi - 1，求 Xn解：解法1：特征方程为人2 +3人+2 = 0，有根：打=-1丄2=-2故：Xn=ci(1)n C22)为方程的解。由条件 X0 =0, X1 h 得：Xn-(-2广解法2:设F(z)二Z(Xn)，方程两边取变换可得:2 1z (F(z) -X。-X1)3z(F(z)-x。)2F(z) =0zzF (z)=由条件X0 =0,X1才得I丿z2 3z 2由F(z)在z 2中解析，有1 1 1F(z)=z(厂z+ z+2Jzk ：(_1)k 丄一、(一1)4 八(_1)k(12k)z1 . 2 k卫Z k卫Z k卫z所以，XnU(_2)n3、二阶线性差分方程组X

5、a b设 z(nj)，-(c d),形成向量方程组(12)(13)z(n 1) = Az(n) z(n 1) = Anz(1)(13)即为(12)的解。为了具体求出解(13)，需要求出An，这可以用高等代数的方 法计算。常用的方法有:(1) 如果A为正规矩阵，则A必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，相似变换矩阵由A的特征向量构成：A 二 p 4Ap,A p 4.n p,. z(n 1) = (p'Tp)z(1)。 将A分解成/，为列向量，则有An /)n =.：.=('! )n-.A从而，z(n +1) =Anz(1) = (©®nAz (1)(3)或者将A相似于约旦标准形的形式，通过讨论 A的特征值的性态， 找出An的内在构造规律，进而分析解z(n)的变化规律，获得 它的基本性质。4、关于差分方程稳定性的几个结果(1) k阶常系数线性差分方程(8)的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程(10)所有的 特征根if.k满足|时"(2) 阶非线性差分方程(14)Xn 1 二 f(Xn)(14)的平衡点x由方程x二f(x)决定，将f(Xn)在点X处展开为泰勒