平面向量的数量积教案;

1、§241平面向量数量积的物理背景及其含义一、教材分析：教科书以物体受力做功为背景，引出向量数量积的概念，功是一 个标量，它用力和位移两个向量来定义，反应在数学上就是向量的数 量积。向量的数量积是过去学习中没有遇到过的一种新的乘法，与数的乘法既有区别又有联系。教科书通过“探究”，要求学生自己利用向 量的数量积定义推导有关结论。这些结论可以看成是定义的直接推 论。教材例一是对数量积含义的直接应用。二、学情分析：前面已经学习了向量的概念及向量的线性运算， 这里引入一种新 的向量运算一一向量的数量积，教科书以物体受力做功为背景引入向 量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系

2、， 又使学生看到数量积与向量模的大小有及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。三、三维目标：（一）知识与技能1、学生通过物理中“功”等实例，认识理解平面向量数量积的 含义及其物理意义，体会平面向量数量积与向量投影的关系。2、学生通过平面向量数量积的 3个重要性质的探究，体会类比 与归纳、对比与辨析等数学方法，正确熟练的应用平面向量数量积的定义、性质进行运算。（二）过程与方法1、学生经历由实例到抽象到抽象的的数学定义的形成过程，性 质的发现过程，进一步感悟数学的本质。（三）情感态度价值观1、学生通过本课学习体会特殊到一般，一般到特殊的数学研究 思想。2、通过问题的解决，

3、培养学生观察问题、分析问题和解决问题的 实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自 己解题思路和探索问题的能力.四、教学重难点：1、重点：平面向量数量积的概念、性质的发现论证；2、难点：平面向量数量积、向量投影的理解；五、教具准备：多媒体、三角板六、课时安排：1课时七、教学过程：（一）创设问题情景，弓I出新课问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运 算的结果是什么？新课引入：本节课我们来研究学习向量的另外一种运算：平面向量的数量积的物理背景及其含义（二）新课：1、探究一：数量积的概念展示物理背景：视频“力士拉车”，从视频中抽象出下面的物理模型背景的第一次

4、分析：问题：真正使汽车前进的力是什么？它的大小是多少?答：实际上是力F在位移方向上的分力，即FCOS ,在数学中我们给量b在a方向上的投影2、背景的第二次分析:问题：你能用文字语言表述“功的计算公式”吗 ？分析:w F S COS用文字语言表示即：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积；功是一个 标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢？平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量 a与b,它们的夹角是B,则数量|a| b|cos叫a与b的数量积，记作a b , 即有a b = |a|b|cos (O

5、<0<n).并规定0与任何向量的数 量积为0.注：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.3、向量的数量积的几何意义:数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影| b |cos的乘积.八、练习设计：例1已知丨a5,| b4, a与b的夹角 =60，求a b解：由向量的数量积公式得：（先复习特殊角度的余弦值）1a b =| a | b |cos =5>4>Cos60 =5>4X? =10练习1已知丨a丨=8,| b U 6,a与b的夹角为60，a与b的夹角=00，求 a b ；解：由向量的数量积公式得：1 a b=| a | b |cos =

6、8>6>Cos60 =8X5 =24 a b=| a | b |cos =8X5Xcos0 =8X5X1 =48归纳总结：由特殊到一般的数学思想得到：性质（1）当a与b同向时，a b = a| b ;练习2已知| a | = 1, | b |= 2,当a与b的夹角为90°时，求a b和a a解：根据向量夹角的概念和向量的数量积公式得:b =| a | b |cos= 1X2>cos0 =1X2X1=2 a a =| a | b |cos=1 X1 Xcos 0 =1X1X1=1归纳总结:2 2特别地a a常记作a ,这时a =练习4:1已知|a 12, b 2, a与b的夹角为30°，求a?b;九、课堂/小吉已知样25, b 4, a与b的夹角为45°求a?b;一个概念：数量积的定义a b = | a | b |COS三个性质：1、当a与b同向时，a b = a b ；2 2 22、特别地a a常记作a，这时a = a ;3、a 丄 b作业：基础作业： 课本1