高等数学重积分的应用学习教案

1、会计学1高等数学重积分的应用高等数学重积分的应用第一页，编辑于星期三：七点 四十七分。所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共24页第二页，编辑于星期三：七点 四十七分。 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共24页第三页，编辑于星期三：七点 四十七分。内接锥面所围成的立体的体积.解解

2、: 在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共24页第四页，编辑于星期三：七点 四十七分。设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素)则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共24页第五页，编辑于星期三：七点 四十七分。故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共24页第六页，编辑于星期三：七点 四十七分。若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式则则有且机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共24页第七页，编辑于星期三

3、：七点 四十七分。被柱面所截解解: 曲面在 xoy 面上投影为则出的面积 A .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共24页第八页，编辑于星期三：七点 四十七分。设空间有n个质点,其质量分别由力学知, 该质点系的质心坐标设物体占有空间域 ,有连续密度函数则 公式 ,分别位于为为即:采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共24页第九页，编辑于星期三：七点 四十七分。将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点机动 目

4、录 上页 下页 返回 结束 第9页/共24页第十页，编辑于星期三：七点 四十七分。则得形心坐标：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共24页第十一页，编辑于星期三：七点 四十七分。若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共24页第十二页，编辑于星期三：七点 四十七分。和的质心. 解解: 利用对称性可知而之间均匀薄片机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共24页第十三页，编辑于星期三：七点 四十七分。的方程为内储有高为 h

5、的均质钢液,解解: 利用对称性可知质心在 z 轴上，采用柱坐标, 则炉壁方程为因此故自重, 求它的质心.若炉不计炉体的其坐标为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共24页第十四页，编辑于星期三：七点 四十七分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共24页第十五页，编辑于星期三：七点 四十七分。设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数该物体位于(x , y , z) 处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共24页第十

6、六页，编辑于星期三：七点 四十七分。对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共24页第十七页，编辑于星期三：七点 四十七分。面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共24页第十八页，编辑于星期三：七点 四十七分。解解: 建立坐标系如图,的转动惯量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共24页第十九页，编辑于星期三：七点 四十七分。解解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则设球 所占域为(用球坐标) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共24页第二十页，编辑于星期三：七

7、点 四十七分。设面密度为 ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解解: 由对称性知引力处的单位质量质点的引力. 。机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、物体的引力五、物体的引力第20页/共24页第二十一页，编辑于星期三：七点 四十七分。( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9 ),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共24页第二十二页，编辑于星期三：七点 四十七分。记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则(用极坐标) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/