高数全微分方程学习教案

1、会计学1高数全微分方程高数全微分方程第一页，编辑于星期三：七点 十九分。2如如果果一一阶阶微微分分方方程程 ( , )( , )0(1)P x y dxQ x y dy():u = u x, y的的左左端端恰恰好好是是某某一一个个函函数数的的全全微微分分(1)则则称称方方程程为为全全微微分分方方程程. .第1页/共33页第二页，编辑于星期三：七点 十九分。3例如对于方例如对于方程程, 0 ydyxdx221(),2xdxydydxy 所以方程是全微分方程所以方程是全微分方程. .全微分方程的判全微分方程的判别别PQyx 第2页/共33页第三页，编辑于星期三：七点 十九分。4全全微微分分方方程程

2、的的解解法法 ( )yx 如如果果是是全全微微分分方方程程 1 1 ( , )( , )0(1)P x y dxQ x y dy ,的的解解 则则有有( , ( )0du xx ,( , ( )u xxC 因因此此( )( , )yxu x yC 即即是是由由所所确确定定的的隐隐函函数数. .( , )( , )( , )P x y dxQ x y dydu x y其其中中第3页/共33页第四页，编辑于星期三：七点 十九分。50uu dyxxy dx两两端端对对 求求导导, ,得得 ( , ( )u xxC 0uudxdyxy即即有有 ( , )( , )0P x y dxQ x y dy亦亦

3、即即 ( , )(1).u x yC 这这表表明明由由所所确确定定的的隐隐函函数数是是方方程程的的解解 ,( , )( ),u x yCyx 反反之之 如如果果确确定定一一个个可可微微的的隐隐函函数数则则第4页/共33页第五页，编辑于星期三：七点 十九分。6:结结论论 如如果果方方程程 ( , )( , )0(1)P x y dxQ x y dy( , )u x yC ( , ),u x y的的左左端端是是函函数数的的全全微微分分 则则C就就是是该该微微分分方方程程的的隐隐式式通通解解. .其其中中 为为任任意意常常数数. .( , )u x y 的的求求法法第5页/共33页第六页，编辑于星期

4、三：七点 十九分。7 423222(53)(33)01xxyydxx yxyydy解解例例求求Qx 423222( )53,( )33P x =xxyyQ xx yxyy解解 263Pxyyy .所所以以方方程程是是全全微微分分方方程程423200( , )(53)xyu x yxxyydxy dy522333123xx yxyy第6页/共33页第七页，编辑于星期三：七点 十九分。8所所以以原原方方程程的的通通解解为为522333123xx yxyyC( , )u x y另另解解 设设满满足足 42322253,33uuxxyyx yxyyxy,x第第一一式式对对 积积分分 得得52233(

5、)2uxx yxyy 第7页/共33页第八页，编辑于星期三：七点 十九分。9,y上上式式对对 求求导导 得得2233( )ux yxyyy 22233x yxyy31( )3yy 2( )yy 所所以以 5223331( , )23u x yxx yxyy于于是是522333123xx yxyyC故故原原方方程程的的通通解解为为第8页/共33页第九页，编辑于星期三：七点 十九分。10解解,64xQyxyP 方程是全微分方程方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合)32(14232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd .132Cyxy 原方程的通解为原方程的通解为),1(32y

6、xyd 例例2凑全微凑全微分法分法第9页/共33页第十页，编辑于星期三：七点 十九分。11 有有些些方方程程被被判判定定是是全全微微分分方方程程后后，不不必必按按上上述述一一般般方方法法求求解解，可可以以采采取取“分分项项组组合合”的的方方法法, ,先先将将那那些些本本身身已已构构成成全全微微分分的的项项分分出出, ,再再把把剩剩余余的的项项凑凑成成全全微微分分。一一些些简简单单的的二二元元函函数数全全微微分分有有： 222222()()()(ln)1(arctan)(ln)2ydxxdyxydxxdyd xydyyydxxdyyydxxdyxddxxxyyydxxdyxydxxdyxyddx

7、yyxyxy 第10页/共33页第十一页，编辑于星期三：七点 十九分。12问题问题: : 如何求方程的积分因子如何求方程的积分因子?( , ) ( , )( , ) ( , )0 x y P x y dxx y Q x y dy x, y 如如果果有有一一个个适适当当的的函函数数 = (= (定定义义) )使使,( , )x y 是是全全微微分分方方程程 则则称称函函数数是是方方程程( , )( , )0P x y dxQ x y dy .的的积积分分因因子子第11页/共33页第十二页，编辑于星期三：七点 十九分。13在在简简单单的的情情形形, ,可可用用观观察察法法求求积积分分因因子子. .

8、0.ydxxdy 求求解解方方程程例例 3 32()xydxxdydyy 解解 因因 21,y用用乘乘以以原原方方程程的的两两端端 得得20ydxxdyy 就就化化为为一一个个全全微微分分方方程程. .()0又又xdy .xCy 所所以以原原方方程程的的通通解解为为 第12页/共33页第十三页，编辑于星期三：七点 十九分。14 1.,:0ydxxdy同同一一方方程程可可以以有有不不同同的的积积分分因因子子 例例如如 注注22221111,.xyxyxy 的的积积分分因因子子有有,因因此此 在在具具体体解解题题过过程程中中由由于于所所用用的的积积分分因因子子不不同同，从从而而通通解解可可能能具具

9、有有不不同同的的形形式式. . 2.,在在实实际际解解方方程程时时 可可以以采采取取“分分项项组组合合” 的的方方法法, ,先先将将那那些些本本身身已已构构成成全全微微分分的的 项项分分出出, ,再再把把剩剩余余的的项项组组合合, ,再再考考虑虑积积 分分因因子子. .第13页/共33页第十四页，编辑于星期三：七点 十九分。15解解 分分项项组组合合()()0ydxxdyxy ydxxdy22()()0dxdyd xyx yxy即即 22()()0d xydxdyxyx y 11ln |ln |xyCxy积积分分得得1xyxCey 或或 第14页/共33页第十五页，编辑于星期三：七点 十九分。

10、16可降阶高阶微分方程 一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 三、三、 型的微分方程型的微分方程 第十二章 第15页/共33页第十六页，编辑于星期三：七点 十九分。17解法：连续积分n 次, 可得含 n 个任意常数的通解 .型的微分方程型的微分方程 例例1. 解解: 第16页/共33页第十七页，编辑于星期三：七点 十九分。18运动,在开始时刻随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减直到 t = T 时 F(T) = 0 .如果开始时质点在原点, 解解: 据题意有t = 0 时设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小,求质点的运动规律. 初速度

11、为0, 且对方程两边积分, 得 第17页/共33页第十八页，编辑于星期三：七点 十九分。19利用初始条件于是两边再积分得再利用故所求质点运动规律为第18页/共33页第十九页，编辑于星期三：七点 十九分。20型的微分方程型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分, 得原方程的通解第19页/共33页第二十页，编辑于星期三：七点 十九分。21解解: 代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为第20页/共33页第二十一页，编辑于星期三：七点 十九分。22绳索仅受重力作用而下垂,解解: 取坐标系如图.考察最低点 A 到( : 密度, s :弧长)弧段重力大小按静力平

12、衡条件, 有故有设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得第21页/共33页第二十二页，编辑于星期三：七点 十九分。23则得定解问题: 原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为第22页/共33页第二十三页，编辑于星期三：七点 十九分。24型的微分方程型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分, 得原方程的通解第23页/共33页第二十四页，编辑于星期三：七点 十九分。25代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解解:第24页/共33页

13、第二十五页，编辑于星期三：七点 十九分。26M : 地球质量m : 物体质量静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力). 解解: 如图所示选取坐标系.则有定解问题:代入方程得积分得一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 第25页/共33页第二十六页，编辑于星期三：七点 十九分。27两端积分得因此有第26页/共33页第二十七页，编辑于星期三：七点 十九分。28由于 y = R 时由原方程可得因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为第27页/共33页第二十八页，编辑于星期三：七点 十九分。29解方程可得问问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .则定解问题为第28页/共33页第二十九页，编辑于星期三：七点 十九分。30解解: 令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得第29页/共33页第三十页，编辑于星期三：七点 十九分。31可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令第30页/共33页第三十一页，编辑于星期三：七点 十九分。321. 方程如何代换求解 ?答答: 令或哪个方便用哪个. 均可. 2.