高数a函数的求导法则学习教案

1、会计学1高数高数a函数的求导法则函数的求导法则第一页，编辑于星期三：七点 十五分。定理定理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu第1页/共28页第二页，编辑于星期三：七点 十五分。证证(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvh

2、xvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 第2页/共28页第三页，编辑于星期三：七点 十五分。hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf第3页/共28页第四页

3、，编辑于星期三：七点 十五分。推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf第4页/共28页第五页，编辑于星期三：七点 十五分。例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 第5页/共28页第六页，

4、编辑于星期三：七点 十五分。例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得第6页/共28页第七页，编辑于星期三：七点 十五分。例例4 4.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得例例5 5.sinh的导数的导数求求xy 解解 )(21)(sinh xx

5、eexy)(21xxee .cosh x 同理可得同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh 第7页/共28页第八页，编辑于星期三：七点 十五分。.,1csc2. 12yxxy 求求补充题补充题).(,0),1ln(0,)(. 2xfxxxxxf 求求设设3. 设函数设函数 f(x)在在 x=0的某邻域内可导的某邻域内可导,且且).0(f 求求,3)(lim0 xxfx4. 求证求证:双曲线双曲线 x y = a2 (a0)上任一点处切线与坐标轴上任一点处切线与坐标轴构成的三角形面积为常数构成的三角形面积为常数.第8页/共28页第九页，编辑于星期三：七点 十五分。解解2.,

6、 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 x,11)(xxf ,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf222)1(csc2)1(cotcsc2xxxxxxy 222)1(2)1(cotcsc2xxxxx 解解1.第9页/共28页第十页，编辑于星期三：七点 十五分。解解3. . 3)(lim)0()(lim)0(, 0)0()(lim),(3)(:,3)(lim0000 xxfxfxfffxfxoxxfxxfxxxx由极限与无穷小的关系由极限与无穷小的关系解解4.

7、 证明证明: 在曲线上任曲一点在曲线上任曲一点(x,y), )(:),(22xXxayYyx 的的切切线线方方程程为为过过点点.222121)0 ,(), 0(:22222222222aayxxaxaayxxxaySayxxxay 切切线线与与坐坐标标轴轴的的交交点点为为222,xayxay 第10页/共28页第十一页，编辑于星期三：七点 十五分。定理定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数

8、等于直接函数导数的倒数.第11页/共28页第十二页，编辑于星期三：七点 十五分。证证,xIx 任取任取xx 以以增增量量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(连续连续xf),0(0 xy0)( y 又知又知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xIxxx 第12页/共28页第十三页，编辑于星期三：七点 十五分。例例1 1.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且内有内有在在)1 , 1( xI)(sin1)

9、(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc第13页/共28页第十四页，编辑于星期三：七点 十五分。例例2 2.log的的导导数数求求函函数数xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(内有内有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(内单调、可导内单调、可导在在 yyIax特别地特别地.1)(lnxx hxhxyaahlog)(loglim0 xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim

10、10 .ln1log1axexa 第14页/共28页第十五页，编辑于星期三：七点 十五分。定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变量求等于因变量对中间变量求导导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )第15页/共28页第十六页，编辑于星期三：七点 十五分。证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu

11、 )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 第16页/共28页第十七页，编辑于星期三：七点 十五分。推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例3 3.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 第17页/共28页第十八页，编辑于星期三：七点 十五分。例例4 4.)1(102的导

12、数的导数求函数求函数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例5 5.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a第18页/共28页第十九页，编辑于星期三：七点 十五分。例例6 6.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例7 7.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xe

13、yx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 第19页/共28页第二十页，编辑于星期三：七点 十五分。, ,求求y y ( ( /2)./2).xxy22cos1cos1 2222)cos1(sincos2)cos1()cos1(sincos2xxxxxxxy 22)cos1(2sin2xx , y, y ( ( /2)=0./2)=0.例例8 8例例9 9xnxynsinsin xxnnxxnxnynncossinsinsincos)1( xnxnxnxxnxxnnn)1sin(sin)cossinsin(cossin11 第20页/共28页第二十一页，编辑于星期三：七

14、点 十五分。.,arctan1arctanyeeyxx 求求已知已知xtwxvutwyvuyy 21解：解：222111)1(11xteeuwv 221arctan21111)1(11xxeeexxx 第21页/共28页第二十二页，编辑于星期三：七点 十五分。xxxxtgxxxCtansec)(secsec)(cos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式（常数和基本初等函数的导数公式（P94）xxxxctgxxxxxcotcsc)(csccsc)(sin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(ar

15、csinxxxx 2211)(11)(arccosxarcctgxxx 第22页/共28页第二十三页，编辑于星期三：七点 十五分。2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )C 第23页/共28页第二十四页，编辑于星期三：七点 十五分。3.反函数、复合函数的求导法则反函数、复合函数的求导法

16、则.)(1)(,)(,0)()(xxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导区间区间在对应在对应那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;第24页/共28页第二十五页，编辑于星期三：七点 十五分。).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决解决.注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.复合函数的求导法则复合函数的求导法则第25页/共28页第二十六页，编辑于星期三：七点 十五分。例例1 1.的导数的导数求函数求函数xxxy