领航圆与方程知识点及题型新

1、所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。2.22.22.2x a y b a b a b222x a y r r 0222xy b r r0xa2y2a2a 0x2y b 2 b2 b 0222xaybbb0222xaybaa0222IIxaybaab0领航圆与方程的知识点及题型一、圆的方程（一）圆的标准方程222x a y b r ,圆心为（a, b）,半径为r1、求标准方程的方法一关键是求出圆心a, b和半径r待定系数：往往已知圆上三点坐标利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线

2、的距离公式及垂径定理2、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件方程形式圆心在原点x2 y2 r2 r 0过原点圆心在x轴上圆心在y轴上圆心在x轴上且过原点圆心在y轴上且过原点与x轴相切与y轴相切与两坐标轴都相切（二）圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风!13221、Ax By Cxy Dx Ey F0表示圆方程则C 02DA4 0A B 0C 022D2 E2 4AF 02 2 当D2 E2 4F 0时，方程表示一个圆，其中圆心C D, _E，半径r V D E 4F .222(2)当D2 E2 4F 0时，方程表示一个点D,

3、 E .22 当D2 E2 4F 0时，方程不表示任何图形.2、求圆的一般方程一般可采用待定系数法或者利用圆的几何性质结合图形分析3、D2 E2 4F0常可用来求有关参数的范围(三)点与圆的关系1、设点到圆心的距离为 d,圆半径为r ：a、点在圆内 <=>d< r b 、点在圆上|七3d=r c、点在圆外 U:'d>r2、 给定点 M(x0,y0)及圆 C：(xa)2(yb)2 r2. M 在圆C 内(X0a)2(y0b)2r2 M 在圆C 上(x0a)2(y0b)2r2 M 在圆C 外(xoa)2(y0b)2r2对应训练(求圆的方程)1、过点 A( 1, 1)

4、, B(-1, 1)且圆心在直线 x+y-2= 0上的圆的方程是 2、若x2 y2 (1)x 2 y 0表示圆，则的取值范围是3、以点(2, 1)为圆心且与直线3x 4y 5 0相切的圆的方程为4、圆心在直线 y=x上且与x轴相切于点(1, 0)的圆的方程为 5、以点 C( -2, 3)为圆心且与 y轴相切的圆的方程是 6、求经过 丹4, 2), R1, 3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程 7、求经过点(8, 3),并且和直线 x= 6与x= 10都相切的圆的方程 8、点(1,1)在圆(x a)2 (y a)2 4的内部，则a的取值范围是 9、过点A 1,11 , B .1,

5、1且圆心在直线xy 一 2二0上的圆的方程 10、若直线3x4y12二0与两坐标轴交点为 A,B,则以线段AB为直径的圆的方程是 11、(2016年天津高考)已知圆 C的圆心在x轴的正半轴上，点 M (0,75)在圆C上，且圆心到直线2x y 0的距离为 述，则圆C的方程为5二、直线与圆的位置关系1、直线 Ax By C 0与圆(x a)2 (y b)2圆心到直线的距离dAa Bb C2_ 2.A B1) d r 直线与圆相离 无交点；2) d r 直线与圆相切只有一个交点；3) d r 直线与圆相交有两个交点；弦长|AB| =2 Jr2 d2还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组Ax By

6、C 022_x y Dx Ey F求解，通过解的个0数来判断：(1)当0时，直线与圆有2个交点，直线与圆相交；(2)当0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；(3)当 0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；2、直线与圆相切(1)常见题型求过定点的切线方程切线条数点在圆外一一两条；点在圆上一条；点在圆内一一无求切线方程的方法及注意点i)点在圆外222222如 te 点 Px0,y0,圆：x a yb r,x0ay0b r 第一步：设切线l方程y y0 k x x0第二步：通过d r k,从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上千万不要漏了例：过点P 1,1作圆

7、x2y2 4x 6y 120的切线，则切线方程ii)点在圆上若点Xo,yo在圆x2y2r2上，则切线方程为x°xy°yr2会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目m -222右点 Xo, Vo在圆x a y b r上，则切线方程为x0 a x ayobyb r2碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果。若点x0, y0在圆x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0上，则切线方程为xo xy。 yxox yoy D E F o 22由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是一一判 断点与圆的位置关系，得出切线的条数.求切线长：

8、利用基本图形，AP2 CP2 r2AP J|CPr2求切点坐标：利用两个关系列出两个方程3、直线与圆相交(1)求弦长及弦长的应用问题 垂径定理及勾股定理一一常用弦长公式：l田k2|x1 x2 J 1 k2 % x2 2 4x1x2 （暂作了解，无需掌握）(2)判断直线与圆相交的一种特殊方法(一种巧合):直线过定点，而定点恰好在圆内(3)关于点的个数问题2例：1、右圆x 322y 5 r上有且仅有两个点到直线4x 3y 2 o的距离为1,则半径r的取值范围是答案：4,62、已知圆x2 y2 4,直线l:y x b,当b为直线l的距离都等于1。时，圆x2 y2 4上恰有3个点到3、已知圆x2 y2

9、 4,直线l:y x b,当b为22.时，圆x y 4上恰有1个点到直线l的距离都等于1。4、已知圆x2 y2 4,直线l:y x b,当b为22时，圆x y 4上恰有2个点到直线l的距离都等于1。5、已知圆x2y24,直线l : y x b ,当b为时，圆x2 y2 4上恰有4个点到直线l的距离都等于1。对应训练（直线与圆的关系）1、以点（3, 4）为圆心，且与 x轴相切的圆的方程是 2、若直线x+ y+m=0与圆x2 + y2=m相切，则m为3、直线x y 1与圆x2 y2 2ay 0 （a 0）没有公共点，则a的取值范围是 .一 一一一 22.-54、过坐标原点且与圆 x y4x 2y

10、- 0相切的直线方程为 5、直线l过点（2,0） , l与圆x2 y2 2x有两个交点时，斜率 k的取值范围是 ._ .2_ 26、设直线ax y 3 0与圆（x 1） （y 2）4相交于A、B两点，且弦 AB的长为2v3,则 a .7、设圆x2+y2-4x- 5=0的弦AB的中点为P（3, 1）,则直线 AB的方程是 .8、求过点P （6, 4）且被圆x2 y2 20截得长为6 J2的弦所在的直线方程 9、（2016全国高考新课标 n卷文数6）圆x2 y2 2x 8y 13 0的圆心到直线ax y 1 0 的距离为1,则a 10、（2016全国高考新课标1卷 文数15T）设直线y x 2a与

11、圆C:x2 y2 2ay 2 0 相交于A,B两点，若| AB | 2痘,则圆C的面积为 11、（2016全国高考新课标 出卷文数15T）已知直线l ： x J3y 6 0与圆x2 y2 12 交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点，则|CD| 12、（2016全国高考新课标 出卷理数 16T）已知直线l ： mx y 3m J3 0与圆 x2 y2 12交于A, B两点，过A, B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点，若AB 23, 则 |CD| .13、(2016年北京高考)圆(x+1) 2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为 2214、已知圆M ：x2 (y 2)2

12、 1,Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A, B两点(1)若点Q的坐标为(1,0),求切线QA QB的方程(2)求四边形QAMB的面积的最小值；H 4 2(3)若AB ，求直线 MQ的方程.3二、对称问题2221、右圆x y m 1 x 2my m 0,关于直线x y 1 0 ,则头数m的值为.222、已知点A是圆C:x y ax 4y 5 0上任意一点， A点关于直线x 2y 1 0的对称点在圆C上，则实数a .223、圆x 1 y 31关于直线x y 0对称的曲线方程是 .22224、已知圆C1 ： x 4 y 21与圆C2： x 2 y 41关于直线l对称，则直线l的方程为.225

13、、圆x 3 y 11关于点2,3对称的曲线方程是.6、圆x2+y2+x6y+3=0上两点P、Q关于直线kx y+4=0对称，则k=.7、设O为坐标原点，曲线 x2+y2+2x- 6y+1=0上有两点P、Q,满足关于直线 x+my+4=0对称，又满足 OPLOQ,则m的值,直线PQ的方程四、最值问题方法主要有三种：(1)数形结合；(2)代换；(3)参数方程1、已知实数x , y满足方程x2 y2 4x 1 0 ,求：(1) y的最大值和最小值为 x 5(2) y x的最小值为(3) x2 y2的最大值和最小值分别为 2、圆x2 y2 4x 4y 10 0上的点到直线 x y 14 0的最大距离与

14、最小距离的差是,一 ，一.一，2,、2.一 , 一 |2_2 一3、已知A( 2,0), B(2,0),点 P在圆(x3)(y4)4 上运动，则 | PA PB 的最小值是.4、设P为圆x2+y2=l上的动点，则点 P到直线3x 4y10=0的距离的最小值为 5、若点P在直线2x 3y 10 0上，直线PA,PB分别切圆x2 y2 4于A,B两点，则四边形PAOB面积的最小值为 6、动点P在直线2x+y=0上 运动，过P作圆(x-3 ) 2+ ( y-4 ) 2=4的切线，切点为Q,则|PQ|的最小值为7、已知点B (2,3 ),圆C: ( x-3 ) 2+ ( y-4 ) 2=9 ,若点A是

15、圆C上一动点，点P是x轴上的一动点，则|PA|+|PB| 的最小值是 L228、右直线 mx 2ny 4 0 (m, n R),始终平分圆x y 4x 2y 4 0的周长, 则m n的最大值是.9、【2014年江西卷(理09)】在平面直角坐标系中，A, B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x y 40相切，则圆C面积的最小值为 五、圆的参数方程x r cos y r sin为参数2.22x a y b r r 0x a r cos y b r sin为参数六、圆与圆的位置关系1、判断方法：几何法(d为圆心距)(1) dr1 r2外离(3)r1r2dr1r2相交(4)dr1r

16、2内切d ri 2内含2、两圆公共弦所在直线方程22_ 一_ 22圆 C1 ：x yD1x E1yF10,圆 C2 ： x y D2x E2 yF2 0,则DiD2 xEiE2 yFiF20为两相交圆公共弦方程.补充说明：若G与C2相切，则表示其中一条公切线方程；若Ci与C2相离，则表示连心线的中垂线方程.3、圆系问题2222(1)过两圆C1： x yDixEiyFi0和 C2： x yD?xE2yF20交点的圆系方程为 x2y2DixEiyFix2y2D2xE2yF20( i)说明：上述圆系不包括C2；当 i时，表示过两圆交点的直线方程(公共弦)(2 )过直线Ax By C 0与圆x2 y2

17、 Dx Ey F 0交点的圆系方程为x2 y2 Dx Ey F Ax By C 0(3)两圆公切线的条数问题相内切时，有一条公切线；相外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线；相离时，有四条公切线对应训练(圆与圆的位置关系)i、两个圆 Ci： x2+y2+2x+2y2=0 与 C2： x2+y2 4x 2y+i = 0 的位置关系为 2、圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x- 4y4=0的交点为 A, B,则线段 AB的垂直平分线的方程是3、圆x2+y22x=0和圆x2+y2+4y=0的公切线有且仅有 条4、两圆x2+y2= i和(x+4)2+(y a) 2= 25相切，试确定常数

18、 a的值. 22225、两圆x+y 4x+6y=0和x+y 6x=0的连心线方程为 22_ _226、求经过两圆x y 6x 4 0和x y 6y 28 0的交点，并且圆心在直线x y 4 0上的圆的方程为7、求半径为4,与圆x2+y24x2y4=0相切且和直线 y=0相切的圆的方程 七、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）：略（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标 的关系式一一轨迹方程.（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动动点 主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动对应训练（求动点的轨迹方程）1、过圆x2 y2 1外一点A 2, 0作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程222、如图，已知定点A2,0 ,点Q是圆x y 1上的动点， AOQ的平分线交 AQ于M ,当Q点在圆上移动时，求动点 M的轨迹方程.小，223、已知线段 AB的端点B的坐标是（4, 3）,端点A在圆（x 1） y 4上运动，求