2014年江西省中考数学试卷

1、第 1页（共 30页） 2014年江西省中考数学试卷 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。每小题只有一个正确选 项） 1. （3 分）下列四个数中，最小的数是（ ） 5 （3 分）如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩， 做好后发现上口太小了， 于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适，以下裁剪示意图中, 致为（ ） A. - B. 0 C. 2 D. 2 2. （3 分）某市 6 月份某周气温（单位：C）为 23、25、28、25、28、31、28, 则这组数据的众数和中位数分别是（ A. 25、25 B. 28、28 3. （3 分）下列运算正确的是（ ）

2、 A. a2+a3=a5 C. （2a+1） （2a 1） =2-1 ) C. 25、 28 D. 28、 31 B. ( 2a2) 3= 6a6 D. (2a3 a2)* a2=2a 1 4.（3 分）直线 y=x+1 与 y= 2x+a 的交点在第一象限，则 a 的取值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 正确的是（ ） 第 2页（共 30页） 0 A. * 1 A trd C. : 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 7. _ （3 分）计算： 二 8. （3 分）据相关报道，截止到今年四月，我国已完成 5.78 万个农村教学点的建 设任务.5.

3、78 万可用科学记数法为 _ . 9. （3 分）不等式组 的解集是 . 0）的图象上，DA 丄 OA,点 P 在 y 轴负半轴上，OP=7. （1）求点 B 的坐标和线段 PB 的长; 20. （8 分）某教研机构为了了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取 某校部分初中学生进行了调查，依据相关数据绘制成以下不完整的统计表, 请根据图表中的信息解答下列问题: 某校初中生阅读数学教科书情况统计图表 类别 人数 占总人数比例 重视 a 0.3 一般 57 0.38 不重视 b c 塁且:班且 IZJ EJ心 F1: H 正面反面 0 E 第 6页（共 30页） 说不清楚 9 0.06 第 7

4、页（共 30页） （1） 求样本容量及表格中 a, b, c 的值，并补全统计图； （2） 若该校共有初中生 2300 名，请估计该校 不重视阅读数学教科书”的初中人 数； （3）根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看 法及建议； 如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何进行抽样？ 21. （8 分）图 1 中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成， 每相邻两个菱形均成 30。的夹角，示意图如图 2在图 2 中，每个菱形的边长 为 10cm，锐角为 60 . （1） 连接 CD, EB,猜想它们的位置关系并加以证明； （2） 求 A，B 两点

5、之间的距离（结果取整数，可以使用计算器） （参考数 1.41， 1.73， 2.45) 第 8页（共 30页） 五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 22. （9 分）如图 1, AB 是。O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，AB=4, BC=2 P 是。O 上半部分的一个动点，连接 OP, CP. （1） 求厶 OPC 的最大面积； （2） 求/ OCP 的最大度数； （3） 如图 2,延长 PO 交。O 于点 D,连接 DB，当 CP=DB 寸，求证：CP 是。O 的切线. 23. （9 分）如图 1,边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 在 AB 边上（不

6、与点 A, B 重合），点 F 在 BC 边上（不与点 B、C 重合）. 第一次操作：将线段 EF 绕点 F 顺时针旋转，当点 E 落在正方形上时，记为点 G; 第二次操作：将线段 FG 绕点 G 顺时针旋转，当点 F 落在正方形上时，记为点 H; 依此操作下去 （1）图 2 中的 EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为 _ ，求此时线段 EF 的长； （2）若经过三次操作可得到四边形 EFGH 请判断四边形 EFGH 的形状为 _ ，此时 AE 与 BF 的数量关系是 _; 以中的结论为前提，设 AE 的长为 x,四边形 EFGH 的面积为 y,求 y 与 x 的 第 7页(共 30 页)

7、 S 1 图 六(本大题共 12 分) 24. (12 分)如图 1,抛物线 y=a+bx+c (a0)的顶点为 M，直线 y=m 与 x 轴 平行，且与抛物线交于点 A, B,若 AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线 上 A，B 两点之间的部分与线段 AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形， 线段 AB 称为碟宽，顶点 M 称为碟顶，点 M 到线段 AB 的距离称为碟高. (1) _ 抛物线 y=-x2对应的碟宽为 _ ;抛物线 y=4X对应的碟宽为 _ ; 抛物线 y=ax2 (a0)对应的碟宽为 _ ;抛物线 y=a (x- 2) 2+3 (a0) 对应的碟宽为 _ ; (2) 抛物

8、线 y=a- 4ax- (a0)对应的碟宽为 6，且在 x 轴上，求 a 的值； (3) 将抛物线y=anx2+bnx+cn (an0)的对应准蝶形记为 Fn (n=1, 2，3)，定 义 F1，F2，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比.若 Fn与 Fn-1 的相似比为-，且 Fn的碟顶是 Fn- 1的碟宽的中点，现将(2)中求得的抛物线 记为y1，其对应的准蝶形记为R. 求抛物线 y2的表达式； 若 F1的碟高为 h1，冃的碟高为 h2，F的碟高为 hn，贝U hn= _ ，吊的碟 宽右端点横坐标为 _ ； F1，F2，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？ 若是，直接写出该直线的表达式

9、；若不是，请说明理由. 函数关系式及面积 y 的取值范围. 第 10页（共 30页） 2014年江西省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。每小题只有一个正确选 项） 1. （3 分）下列四个数中，最小的数是（ ） A.- - B. 0 C.- 2 D. 2 【解答】解：在-，0，- 2, 2 这 4 个数中，-2 为负数， -一，- 2 比较即可， - I -十一，I - 2|=2, V2， -2， 最小的数为-2. 故选：C. 2. （3 分）某市 6 月份某周气温（单位：C）为 23、25、28、25、28、31、28, 则这组数

10、据的众数和中位数分别是（ ） A. 25、25 B. 28、28 C. 25、28 D. 28、31 【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列 23, 25，25，28, 28, 28，31, 在这一组数据中 28 是出现次数最多的，故众数是 28C. 处于中间位置的那个数是 28，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 28C； 故选：B. 3. （3 分）下列运算正确的是（ ） 第 11页（共 30页） 2.3 5 2 3 6 A. a +a =a B. （- 2a ） =- 6a D. （2a3- a2）* a2=2a- 1,本项正确， 故选：D. 4. （3 分）直线 y=x+1

11、与 y=- 2x+a 的交点在第一象限，则 a 的取值可以是（ ） A.- 1 B. 0 C. 1 D. 2 【解答】解：联立 , 解得: 交点在第一象限， - * * ? - 解得：a 1. 故选：D. 5. （3 分）如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩， 做好后发现上口太小了， 于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适，以下裁剪示意图中, 正确的是（ ） 【解答】解：圆锥压扁后为扇形，圆台压扁后为扇形的一部分. 故选：A. 6. （3 分）已知反比例函数 yh 的图象如图，则二次函数 y=2&- 4x+k2的图象大 致为（ ） x- v 第 12页（共 30页） A.

12、* 1 1 A trd C. : 【解答】解：函数 y=的图象经过二、四象限， kv0, 由图知当 x二1 时，y二k 1 , kv - 1, 抛物线 y=2&- 4x+k2开口向下， 对称轴为 x= - 二-,-1一-, 的解集是 v 第 13页（共 30页） 由得，x 2, 故此不等式组的解集为：x -. 故答案为：x-. 10. （ 3 分）若a B是方程 x2 2x 3=0 的两个实数根，则a2+堯 10 【解答】解：T a B是方程 x2 2x 3=0 的两个实数根， 二 a+ B =2 ap 3, 二 a + p = （ a+ p） 2 2 ap = 2 X（ - 3） =

13、10. 故答案是：10. 11. （3 分）如图，在 ABC 中，AB=4, BC=6, / B=60 ,将厶 ABC 沿射线 BC 的 方向平移 2 个单位后，得到 A B,（连接 A，则厶 A B的周长为 12 . 【解答】解：由题意，得 BB =2 B C=BCBB =4 由平移性质，可知 A B =AB= 0）的图象上，DA 丄 OA,点 P 在 y 轴负半轴上，OP=7. （1）求点 B 的坐标和线段 PB 的长； 由勾股定理得：OB=3, 即点 B 的坐标是（0，3 ）， OP=7 线段 PB 的长是 7+3=10; (2) 过 D 作 DM 丄 y 轴于 M , 第 23页（共

14、30页） PD 丄 BD, / BDPN DMB=Z DMP=9 , / DBM+Z BDM=9 ,Z BDM+Z MDP=9 , / DBM 二/ PDM, DBMs PDM, / 0A=4, AD 丄 x 轴， 设 D 的坐标是(4, y) (y0), 解得：y=1, （y=- 5 舍去）， 即 D 点的坐标是（4, 1）, 把 D 的坐标代入 y=-得：k=4, 即反比例函数的解析式是 y=- 20. （8 分）某教研机构为了了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取 某校部分初中学生进行了调查，依据相关数据绘制成以下不完整的统计表， 请根据图表中的信息解答下列问题： 某校初中生阅读数

15、学教科书情况统计图表 类别 人数 占总人数比例 重视 a 0.3 一般 57 0.38 第 24页（共 30页） 不重视 b c 说不清楚 9 0.06 （1） 求样本容量及表格中 a, b, c 的值，并补全统计图； （2） 若该校共有初中生 2300 名，请估计该校 不重视阅读数学教科书”的初中人 数； （3） 根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看 法及建议； 如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何进行抽样？ 【解答】解：（1）由题意可得出：样本容量为：57-0.38=150 （人）， a=150X 0.3=45, b=150-57 - 45 -

16、 9=39, c=39- 150=0.26， 如图所示： （2） 若该校共有初中生 2300 名， 该校不重视阅读数学教科书”的初中人数约为：2300X 0.26=598 （人）； （3） 根据以上所求可得出：只有 30%的学生重视阅读数学教科书，有 32%的 学生不重视阅读数学教科书或说不清楚，可以看出大部分学生忽略了阅读数 学教科书，同学们应重视阅读数学教科书，从而获取更多的数学课外知识和 对相关习题、定理的深层次理解与认识. 如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况， 应随机抽取不同的学校以及不 同的年级进行抽样，进而分析. 21. （8 分）图 1 中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶

17、点处依次串联而成， 每相邻两个菱形均成 30。的夹角，示意图如图 2在图 2 中，每个菱形的边长 为 10cm，锐角为 60 . （1） 连接 CD, EB,猜想它们的位置关系并加以证明； （2） 求 A，B 两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器） （参考数 1.41， 1.73， 2.45) 【解答】解：（1）猜想 CD/ EB. 证明：连接 DE. 重视 F 不重视说不 清楚 第 26页(共 30页) 中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成 30。的夹角，菱形的锐角 第 20页（共 30页） 为 60 / CDE=60 十 2 X 2+30 =90, / BED=60-2X2

18、+30 =90, / CDEW BED, CD/ EB. （2）如图 2,连接 AD、BD. 由（1）知，/ BED=90, BE=DE / EDB=/ EBD=45, 同理，/ ADC=45 又由（1）知，/ CDE=90, / ADOZ CDE/ EDB=180, 点 A、D、B 三点共线. BE=2OE=X 10X cos30=10 _cm, 同理可得，DE=1。cm, 贝 U BD=10 _cm, 同理可得，AD=1。cm, AB=BD+AD=20 49cm. 答：A, B 两点之间的距离大约为 49cm. 五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 22. (9 分)如

19、图 1, AB 是。O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，AB=4, BC=2 P 是。O 上半部分的一个动点，连接 OP, CP. 第 27页（共 30页） (1) 求厶 OPC 的最大面积； (2) 求/ OCP 的最大度数； (3) 如图 2,延长 PO 交。O 于点 D,连接 DB,当 CP=DB 寸，求证：CP 是。O 的切线. 【解答】(1)解：AB=4, OB=2 OC=OBBC=4. 在厶 OPC 中，设 OC 边上的高为 h, T 5opkOC?h=2h, 当 h 最大时，SLOPC取得最大值. 观察图形，当 OP 丄 OC 时，h 最大，如答图 1 所示: 售图1 此时

20、 h=半径=2, SLOPC=2X 2=4. OPC 的最大面积为 4. (2)解：当 PC 与。O 相切时，/ OCP 最大.如答图 2 所示: / sin/ OCP h=, 第 28页(共 30页) :丄 OCP=30 / OCP 的最大度数为 30 ./ A=/ D=/ APD=/ ABD, = , = , .AP=BD vCP=DB .AP=CP A=/ C A=/ D=/ APD=/ ABD=/ C , 在厶 ODB与厶BPC 中 . ODBA BPC(SAS , D=/ BPC v PD 是直径, DBP=90 ,第 29页（共 30页） / D+Z BPD=90, / BPGZ

21、BPD=90, DP 丄 PC, v DP 经过圆心， PC 是。O 的切线. 23. (9 分)如图 1,边长为 4 的正方形 ABCD 中， 点 E 在 AB 边上(不与点 A, B 重合)，点 F 在 BC 边上(不与点 B、C 重合). 第一次操作：将线段 EF 绕点 F 顺时针旋转，当点 E 落在正方形上时，记为点 G; 第二次操作：将线段 FG 绕点 G 顺时针旋转，当点 F 落在正方形上时，记为点 H; 依此操作下去 (1) 图 2 中的 EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为 等边三角形 ，求 此时线段 EF 的长； (2) 若经过三次操作可得到四边形 EFGH 请判断四边形

22、 EFGH 的形状为 正方形 ，此时 AE 与 BF 的数量关系是 AE=BF ; 以中的结论为前提，设 AE 的长为 x,四边形 EFGH 的面积为 y,求 y 与 x 的 【解答】解: (1)如题图 2,由旋转性质可知 EF=DF=DE 则厶 DEF 为等边三角形. 在 RtAADE 与 RtACDF 中， RtAADE RtACDF (HL) AE=CF 第 30页(共 30页) 设 AE=CF=x 贝 U BE=BF=4- x BEF 为等腰直角三角形. EF二 一 BF 二(4 - x). DE=DF=EF= (4 -x). 在 RtAADE 中，由勾股定理得：Ah+AD2=DW，即

23、：x2+42= - (4-x) 2, 解得：Xi=8 - 4 一，X2=8+4 (舍去) .EF= _ (4 - x) =4 4 _. DEF 的形状为等边三角形，EF 的长为 4 一- 4 一. (2)四边形 EFGH 的形状为正方形，此时 AE=BF 理由如下： 依题意画出图形，如答图 1 所示：连接 EG FH，作 HN 丄 BC 于 N，GM 丄 AB 于 M . 由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE .四边形 EFGH 是菱形， 由厶 EGMA FHN,可知 EG=FH .四边形 EFGH 的形状为正方形. / HEF=90 vZ 1+Z 2=90, / 2+Z 3=90, / 仁

24、 Z 3. vZ 3+Z 4=90, Z 2+Z 3=90, .Z 2=Z 4. 在厶 AEH 与厶 BFE 中， 第 31页(共 30页) AEHA BFE(ASA) AE=BF 利用中结论，易证 AEH BFE CGF DHG 均为全等三角形, BF=CG=DH=AE=xAH=BE=CF=DG=4x. y=S正方形 ABCD 4SAAEH=4X 4 - 4 X -x (4 - x) =2x - 8x+16. y=2x2- 8x+16 (Ov xv 4) y=2-8x+16=2 (x- 2) 2+8, 当 x=2 时，y 取得最小值 8;当 x=O 时，y=16, y 的取值范围为：80)的

25、顶点为 M，直线 y=m 与 x 轴 平行，且与抛物线交于点 A，B,若 AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线 上 A，B 两点之间的部分与线段 AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形， 线段 AB 称为碟宽，顶点 M 称为碟顶，点 M 到线段 AB 的距离称为碟高. (1) 抛物线 yx2对应的碟宽为 4 ;抛物线 y=4/对应的碟宽为-；抛物 线 y=a (a0)对应的碟宽为 -：抛物线 y=a (x- 2) 2+3 (a0)对应 的碟宽为一； (2) 抛物线 y=a- 4ax- (a0)对应的碟宽为 6，且在 x 轴上，求 a 的值； (3) 将抛物线y=anx2+bnx+cn (a

26、n0)的对应准蝶形记为 Fn (n=1，2，3)，定 义 F1, F2，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比.若 Fn与 Fn-1 的相似比为-，且 Fn的碟顶是 Fn- 1的碟宽的中点，现将(2)中求得的抛物线 记为 y1,其对应的准蝶形记为 F1. 求抛物线 y2的表达式； 若 F1的碟高为 h1, F2的碟高为 h2,F的碟高为 hn,则 hn= ,Fn的碟 宽右端点横坐标为 2+ ； F1, F?,，Fn的碟宽右端点是否在一条直线 上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由. 第 32页(共 30页) V / y=m * 厂 V7 O X 0 X 图1 准畔主曲 备用圉

27、 【解答】解：(1) 4;. 分析如下: / a 0, 其必过原点 0,记 AB 为其碟宽，AB 与 y 轴的交点为 C,连接 0A, 0B. 0AB 为等腰直角三角形，AB / x 轴， OCX AB, / AOCK BOC=/ AOBh 90=45 ACO 与厶 BCO 亦为等腰直角三角形， AC=OC=BC 二 xA=yA, XB=yB，代入 y=a*, 二 A ( ,), B ( ,), C (0, ), AB, OCh, 即 y=ax 的碟宽为-. 抛物线 y=x2对应的 a=-,得碟宽-为 4； 抛物线 y=4X 对应的 a=4 ,得碟宽为-为-; 抛物线 y=aX (a0),碟宽

28、为-； 抛物线 y=a (x-2) 2+3 (a0)可看成 y=ax2向右平移 2 个单位长度，再向上 平移 3第 33页(共 30页) 个单位长度后得到的图形， 平移不改变形状、大小、方向， 抛物线 y=a (x- 2) 2+3 (a0)的准碟形也抛物线 y=ax 的准碟， T抛物线 y=aX (a0),碟宽为-， 二抛物线 y=a (x- 2) 2+3 (a0)，碟宽为一. (2) v y=aX- 4ax-_=a (x- 2) 2-(4a)， 同(1)，其碟宽为一， y=a- 4ax的碟宽为 6， _=6， 解得 a， yA (x- 2) 2 - 3. (3) ：Fi的碟宽：FF 的碟宽=2: 1， * * ? T ai=_， 戌=一. y(x- 2) 2 - 3 的碟宽 AB 在 x 轴上(A 在 B 左边)， A (- 1, 0)，B (5, 0)， FF 的碟顶坐标为(2, 0)， 丫2才(x-2) 2. T Fn的准碟