高尔顿钉板与二项分布的关系的证明

1、高尔顿（钉）板与二项分布的关系的证明“（人教版）选修2 357页探索与研究高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多 一个，一排中各个钉子下好对准上面一排两上相邻铁钉的正中央。从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉， 它将以相等的可能性向 左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁休。如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内。有兴趣的同学可以通过以下的问题研究高尔顿板与二项分布 的关系。1. 通过高尔顿板实验课件，做1000个小球的高尔顿板试验， 看一看小

2、球在格子中的分布形状是怎样的？2. 计算小球落入各个格子所有可能路线的数目。（提示：考虑 它与杨辉三角的关系）3 .计算小球落入各个格子的概率。”设（如图）高尔顿（钉）板有 n行钉，第n行铁钉共有（n+2）个，两个铁钉之间一个空, 则有（n+1）个空。把这（n+1）个空由左到右依次编号为i=0 , 1, 2,，n共（n+1）个空。观察i=0这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向左落下，即连续n次选择向左落下，所以落入第i=0个空的概率为P （i=0） =0 0, （ - ） n（- ）0on 22观察i=1这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后

3、连续n次碰撞落下过程中，有且只有一次选择向右落下，其余都只能是向左落下，所以落入第i=1个空的概率为*11n 1 1 1P （i=1）=c, （ ；） n 1（； ）1。猜想第i个空，小球从这个空落下的结论是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n次碰撞落下过程中，有i次选择向右落下，其余都选择向左落下，所以落入第 i个空的概率为P （i） = Cn （ 1） n i（-2）i° （i=0, 1, 2, n）现对上猜想给出证明：an，i= P （i） = C n （ ； ） n）i。（i=0 , 1, 2,，n）规定：a,j表示第i行第j （0v j< n）个空球落下的概率。1 1由局

4、尔顿（钉）板可知：a，0= , a，1 =-2 2an,0an,i_1=2 an 4,01=2 a0,n 411= 2an4,I -an4,i用数学归纳法证明：1.当n=1时，已如上证。i当 n=2 时,a?, 0=-2ai, 0=（）2=c2 （ !）2一。（写2221a2, i=21ai, 0+ 2, i=勇（一）22 i()i2= c22）i a2> 2=- 2显然成立。2.假设 n=k (kA 2)即 ak, i= Ck ()k '2ai, i=(成立（2）'（!）°（!）（即假设第n行每一个数据都成立）当 n=k+ i 时，ak+i, 0= i ak，0=】C0 ( - ) k 0 ( )02222=C0 i-)(k+i) 02（2）0_ iak+i，k+i= 2iak，k=2ck（2）kkG)k=cki）（k+i）一（k+i） i2（ 2）k+ick+（!），k+i"k+i）（ i）k+iak+i，i = ak，i-i+ ak，i22c'k-ik-(i-i)( -)i-ick)iCk-i +Ck)G)k+i=ck+ ( -) (k+i)-i22）.在n=k成立的条件下，n=k+i也成立。3.由i, 2得，原命题成立。由此可知：做一个小球的高尔顿（钉）板试验落