巧添辅助线妙解圆问题

1、巧添辅助线 妙解圆问题与圆有关的辅助线常规作法解析与圆有关的几何问题，几乎涵盖了初中几何的各种基本图形与基本性质，题型的复杂程度可想而知。为此，常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为基本图形，从而方便求解。为帮助大家正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法，现就圆中辅助线的常规作法分类总结如下，供同学们学习时参考一一一、圆中有弦，常作弦心距（或者作垂直于弦的半径或直径，有时还要连结过弦端点的半径）例1.如图，以Rt ABC的直角顶点 A为圆心，直角边 AB为半径的O A分别交BG AC于点 D E,若BD=10cm DC=6cm求O A的半径。1解：过 A作 AHI BD于 H,贝U

2、BH pBD =5cm。/ BA!AC, / CAB玄AHB=90。又ABH玄 CBAABHTAB rB CBA -, AB 2BE BH12=8。 3例4.如图,AB是半圆的直径，C为圆上的一点，CD丄AB于D,求证：CD2二AD BD。证明：连结AC、BC。/ AB 为直径， / ACB=90 ,1+/ 2=90 °。又t CDL AB,/ADC玄 CDB=90 , / 1 + / 3=90°,./ 3=/ 2, BCBA CAD BC BH BD DC EH 6 5 =8Cn =,BH AB r =AB = 80 =4.；5cm。例2.如图，AB是O O的直径，PO丄

3、AB交O O于点P,弦PN与AB相交于点 M 求证:PM PN =2PO2。证明：过O作OCL NP于点C,则PC=】PN。2/ OCL NP, POL AB, / POM/ PCO=90。又 OPM/ CPO OPM CPQ 巴=列,PC2 = PM PC PM1 ( P,N 即 PC PO2PM PN= 2F2O评析：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来沟通弦、弧、弦心距之间 的联系。二、圆中有直径，常作直径所对的圆周角（在半圆中，同样可作直径所对的圆周角）例3.如图，AB为半圆的直径， OHL A

4、C于H, BH与OC交于E,若BH=12求BE的长。解：连结BG1T AB 为直径， AC 丄 BC 又 T OHL AC, AO=BO. O必丄 BC,/ OHE/ CBE / HOE/ BCE OHE CBEHEBEOHBC 一 22AD =CD 即 CD2 =AD BD。CD BD '评析：由于直径所对的圆周角为直角，所以在有关圆的证明或计算问题中，利用该性质极易构造出直角三角形，从而可以很方便地将问题转化到直角三角形中进行解决。三、圆中有切线，常作过切点的半径例5.如图，已知MN为O O的直径，若PA=PM,求M A的度数。解：连结OP，设M A的度数为X。/ PA=PMM m

5、=m a,同理可得m（若无切点，则过圆心作切线的垂线）求证DAP是O O的切线，P为切点，点A在MN的延长线上，OPMW M, / POAM OPM乂 M=2M M=2Z A=2x。又 T APBO O于点 P,. API OPA+M POA=90，即x+2x=90 °，解之得 x=30°,.M A=30°o例6.如图,AB为O O的直径,C为O O上的一点,AD和过C点的切线垂直，垂足为C0M 仁 M 2。证明：连结OC/ DC切O O于点 C,. OCL DG 又 t AD丄 DC - OC/ AD,仁M 3。/ OA=OC/. M 2=M 3,.M 1=M

6、2。"评析：当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。四、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形（若题中有三角函数但无直角三角形，则也需作直径构造直角三角形）例7.如图，点A、B C在O O上（AC不过O点），若M ACB=60 ,AB=6,求O O半径的长。 解：作直径AD连结BC。B/ ACB与/ D都是AB所对的圆周角，/ D=M ACB=60。又'：AD D是直径,ABD=90 , AD =坦=。=4巧， si nD si n60右 BC=a CA=b AB=c例8.如图，在锐角厶ABC中,a _ b

7、 _ csinA si nB si nC=2R。证明：作直径CD连结BD。/ CD为直径，/CBD=90sinD 二匹=2DC 2R4 - r = AD = 2、. 3。 2 ABC的外接圆半径为A求证:R又/ A=M D,.4 / 3-2R si nAa b - 2R。si nA si nB si nC评析：当题设中未告诉有直角三角形但却含有30 °、45 °、60 °、90。等特殊角或某个角的三角函数值时，通常需要作直径构造直角三角形来帮助求解。五、两圆相切，常作公切线（或者作两圆的连心线）例9.如图，O O和O Q外切于点 A, BC是O O和O Q外公切线

8、，B、C为切点，求证：AB丄ACo证明：过点A作OO与O Q的公切线 AM交BC于点M=/ MA和MB分别切O O于点A、B,. MA=MB同理可得 MA=MC MA=MB=MC即点 A B、C同在以M为圆心，BC为直径的圆周上， AB丄AGC D为切点，若O A例10.如图，O A和O B外切于点 P, CD为O A、O B的外公切线,与O B的半径分别为r和3r,求：CD的长；/ B的度数。解：连结AB,连结AC BD,过点A作AE丄BD于E。、 CD是O A和O B的外公切线， C D为切点， ACL CD BD丄 CD。又T AEL BD,.四边形 ACDE为矩形， CD=AE DE=

9、AC=, BE=BD-DE=3r-r=2r。： AB=r+3r=4r , CD =AE = AB2 _BE2 =2.3r。BE 2r 1 、在 RtAEB中，T cosB =生=巳=丄，/ B=60°oAB 4r 2评析：在解决有关两圆相切的问题时， 常常需作出两圆的公切线或连心线， 利用公切线 垂直于经过切点的半径、切线长相等、连心线长等于两圆半径之和 （或差）等性质来沟通两 圆间的联系。六、两圆相交，常作公共弦（或者作两圆的连心线）例11.如图，O O和O Q相交于 A B两点，AD是O O的直径，且圆心 O在O 02上，连 结DB并延长交O Q于点C,求证：CQ丄ADO证明：连结ABo/ AD 为O Q 的直径，/ ABD=90，/ D+Z BAD=90。又和/ BAQ都是O 02中B。!所对的圆周角，/ C=Z BAQ,即Z C=Z BAD/ D+Z C=90°,. CQ丄 AC。例12.如图，O Q和O Q相交于A、B两点，两圆半径分别为 6湮和4與，公共弦AB的 长为12,求Z QAQ的度数。解：连结AB OQ,使之交于 H点。/ AB为O Q与O Q的公共弦，.连心线OQ垂直平分 AB,.AH 62flll AH