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1、高斯散度定理设空间闭区域。是由分片光滑的闭拊面踱屈麻区数P(%yZ、Q(x.y办跄灯庭1±具有一阶连绑I导数，则有I Pdyd + Qdzdx + Rdrdy仰再+跟JJJ 列山(Pcosa + Q JJfros + R 仲 q)dS这里I是Q的整个边界幽画的外伽ssmcosR cwy是琏点(x*沸的法向量的方向余弦这两个会式叫伐高斯公衣用散度表示高斯公式用散度表示为：jj divAdv = § AndS nJ耳he是空间闭区mm界曲血而An = A n = P cos a + Q cos f H cos 7ri是向量A/ffEE的外侧佚向量上的投影。用向量表示令0代表有一

2、间单闭曲面s为边界的体积，f是定义左VD和s上逢焕可獴的矢昼炳。如果dS是外洼向矢星面元，则/ f /S = / . f wSV推论对于标量函数g和向量场F的积，应用高斯公式可得：HI (F(W)+g(VF)W = jj gFdS vdv对于两个向量场F x G的向量积，应用高斯公式可得：avj (G (V x F) - F (V x G) dV = (F x G) . dS V对于标量函数坏邛尊常向量的积，应用高斯公式可峰：vdv对于向量场F和非零常向量的向量枳，应用高斯公式可得：血 5dV = jjdSZ.V0V例子假设我们想要计算/fmS其中S是鲂-产：=1所定义的单位现F是向量场F = 2弟 +j + rk.直接计算这个积分是相当困难的，但我们可以用高斯公式未把它简化：矿 ndS=川(V-F) dVSW=2 川(1 + J/ + 2)dV=2*/叭2,加 e/SI

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