高等代数试题附答案

1、科 目 名 称： 高 等 代 数姓名：班级：考试时间：120分钟 考试形式：闭卷一、填空题（每小题5分，共25分）1、 在P X中，向量1 x x2关丁基1, x 1,x2 3x 2的坐标为 o2、 向量组 11,2, 1 , 22,4, 2 , 33,0,3, 4 1, 1,2 , 5 5, 3,8 的秩为，一个最大无关组为 .。3、 （维数公式）如果V1,V2是线性空间V的两个子空间，那么 。3204、 假设A1 31的特征根是，特征向量分别为 。5、 实二次型 f x1,x2,x34x1 x2 2x1x3 2x2x3 的秩为 、是非题（每小题2分，共20分）1、如果a1,a2, ,ar线

2、性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ）2、 在Px中，定义变换Af（x） f（x°）,其中x° P,是一固定的数，那么变换 A是线性变换。（）3、设W1,W2是向量空间V的两个子空间，那么它们的并W, W2也是V的一个子空间。（ ）4、 两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（）5、 令（为乂乂*）是R4的任意向量，那么 是R4到自身的线性变换。其中,2222./（x，乂2,乂3法4）。（6、矩阵A的特征向量的线性组合仍是 A的特征向量。（）7、若矩阵A与B相似，那么A与B等价。（）8、 n阶实对称矩阵A有n个线性无关的特征向量。（）9、在

3、M2（R）中，若W由所有满足迹等丁零的矩阵组成,那么 W是M 2（R ）的子空间。（）10、齐次线性方程组（E A）X 0的非零解向量是A的届丁 的特征向量、明证题（每小题XX分，共 31分）1， 2，是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换，证明：A可逆当且仅当A 1, A 2, ,A n线性无关。（10）2、 设 是n维欧氏空间V的一个线性变幻，证明：如果是对称变幻，2=l是单位 变幻，那么是正交变换。（11）3、设V是一个n维欧氏空间，证明：如果W1,W2都是V得子空间，那么姓名:科目名称:高等代数»班级:考试时间：120分钟 考试形式：闭卷w W2WW 。 （10）四、计算题

4、（每小题1、求矩阵A8分，共24分）13 335 3的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P使得P 1AP为对66 4角形矩阵。3202、求一个正交矩阵U，使得U AU使对角形式，其中A 242。3、化二次型025fX1,X2,X34X1X2 2X1X3 2X2X3为平方和，并求所用的两秩线性变换。CZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZD

5、CZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZD、填空题（每小题5分，共25分）1、（3,4,1 ）1,32、秩为2, 一个最大无关组为3、维（V ）+ 维（V2）W隹（VV2）+ 维（V1V2）4、特征根是1, 1, 2,特征向量分别为11,1,1 , 22,1, 1 ,5、秩为3、是非题（每小题2分，共20分）1、（是）2、（是）3、（是）4、（否）5、（否）6、（否）7、（是）8、（是）9、（是）10、（是）三、明证题（每小题xx分，共 31分）1、证明设A可逆，则A1存在，且A 1也是V的线性变换，（1）若 A 1,A 2, ,A

6、n 线性相关，则 A 1（A 1）,A1（A 2）, ,A 1（A n）, （2）即1, 2, , n也线性相关，这与假设 1, 2, , n是基矛盾，故A,A 2, , A n线性无关。（5）反之，若A 1,A 2, ,A n线性无关，因V是n维线性空间，故它也是V的一组基，故对V中任意向量 1有 1 A（k1 1 k2 2kn n）, 即存在(k11 k2 2kn n），使A（ ）1,故A为V到V上的变换。（8）若 乂有l 1 1 l2 2l n n，使A( )1,即AI1A1 l2 A2lnA n«iA 1k2A 2kn A n)，因为 A i,A 2, ,A n是基，liki

7、,(i1,2, ,n），即，从而A 乂是的变换，故A为可逆变换。（10）2、证：2) (，)2(，) (，),(4),)2, ) ( 2, ) ,(8)=2(,) 2(, 2 ), (10)=0,(11)3、证：（1)W.W2WW2WW2WW2 ,(5)同理W,W2wW2 ,(8)则叫 W2叫 W2。（10）四、计算题（每小题8分，共24分）1、解：E A =（2）2（ 4）,则A的特征根为1,22 , 3 4,i (i1,2,3),它们对应的特征向量分别为110,2111 , 3011 ,2(6)1 11200易知1, 2, 3线性无关，取P 011，那么就得P1AP020。(8)1 020042、解:E A (1)(4)(7),贝U特征根为1 1,24,37 ,(3)221对应它们的线性无关的特征向量分别为12 , 21 , 32 ,122他们单位化后分别为23231 3232313213,21 3,3土 ，取正交矩阵U2331 ,122122333333100则，U AU040。(8)0 0 7X1y1y211 03、解X2y1y2,C11