高等动力学习题附答案

1、漩-B习题12-8侣区图12-8机构如图，已知OA = OiB = l, OiB_LOOi,力偶矩M。试求机构在图示位置平衡时， 力F的大小解：应用虚位移原理：F，arB-M ,贸=0如图所示，VaSinB = Ne；其中：*a =l汨；所以：l 89 sinB =sin8 arB,代入式（1）得：F =Ml12- 13在图示结构中，已知 F = 4kN , q = 3kN/mM = 2kN m, BD = CD , AC = CB = 4m,9 = 306 试求固定端A处的约束力偶Ma与铅垂方向的约束力 FAyo解：解除A处约束力偶，系统的虚位移如图（ a）。M a 泸 +2q 汗F sin

2、 8 讯=0 (1)其中：ar =1 ,沸；SrC = SrD = SrB =4 代入式（1）得：（M a +2q 4F sin 6）漕=0M a =4Fsin r -2q =2kN m解除A处铅垂方向位移的 约束，系统的虚位移如图（b）。 应用虚位移原理：FAy SrA Fcos2 arD +M 部BC =0 (2)其中：aA = srC =4cos 洲BC ； aD = 2 洲BC代入式(2)得：(FAy 4cosBFcos2B，2 + M )湃 Bc=° ； FAy1 F -M 0.577 kN4cos30例图d；系统物块C质帝为m*均质轮B质吊均为半祥均为X囚作纯滚 动，求系

3、统的运动微分方林，解系笑n有一自山度，保守系统，以物块琐平衡位置为嶂点，取X为广义坐标：7777777777,丁=：处尸+： /筋；+!; s=-/?/ X2 +-)2 + -Z7/-)2 +2 122 2 2R 2 - 2Or-Ux=（8/ZL + 71612以平倒位置为不力势能零点,，弟簧原长处为弹性势能零点,则v=!"，+；）”x0无一静止平衡时弹簧的伸长右恣切ori|± 静止平衡时有：澎可=2将1VL = T-V =一（8叫 4-7m.）x2 k（6、 -F-）2 +，叫gx16-22* = ：（8叫 +7m.）ig* = ：（84 +7.iox 8dt ox 8d

4、L.z c xx 11 ._ = -（Ju+-）-4-/71=- ox2 24代入涵氏方程4%字=0（8七+7n片+ 2奴=0dt ox ox钥7,一长盼的轻杆，现端各固结有质量分别为胆和2m的质点，置于半 径为面光滑球形碗内。用虚功原理求平衡时杆的位置。解：设两个质点的坐标分别叫,凹改曲，力学 体系只有一个自由度，取。为广义承标。由虚功原理得：8A =+ 2m3y2 =0 (1)由于杆长为岳,图中的三角形为等腰直角三角形，则a = °变换为广义坐标yx =rsina = rsiny2 = rcos ->= fcos 死。、Sy： =-rsin6e（2）（2）代入:nigrce

5、s 伐汨-2mgrsin 0S6 = 0-> （mgr cos G 2/ngrsin 6）60 = 0石河于大字*理系段保律11T mgr cos 0- 2mgr sin 3 = 0 T cos。= 2sin 8.Jg = 5例：浓搜：tlfi： m、R；轴：r (不计m) 0 求滚摆的运动微分方程.辛解;件0； qHsl ar 1 小 r1"瓦=云勺次2+不)6 -O-6定常保守系统：H = T= mx2 + mR2()2 -mgx24 r>p:D1QX m(2 +R")“于是： p =(2)dxR?由式(1)(2)得： A：(l+) g二0一滚摆的运动微分方

6、程2r此题无循环积分.有能量积分：H=7+/=const设开始系统静止，则T=0，SO,.H =T +【，= mx2 + -湖2( _=o.注意：有无循环坐标要看、P,(哈氏变量)，不要掉了0厂、例5两均质杆为8】与为82各长小1,各币R、Pv放在如图位置，接触处均光滑。求平衙时的91、代关系。解：系统为一自由度(1)W析法建立如图坐标,则为=cos(px 3(p% = M sin 代，亟=j cos / 溯2(一已;cos 们十 R COS 牲 )际=o22 l2 sin(p2,:凶、小.( ) = 0平衡"笠"的cos 伊， * cos(p或tan。_匕tan 饱 R5

7、-27质量为mi的滑块Ml可沿光滑水平面滑动，质量为m2的小球M2用长为l的杆AB与滑块连接，杆可绕轴 A转动，如图所示。若忽略杆的重量，试求系统的首次积分。解：取整个系统为研究对象， 该系统有二个自由度， 取滑块的位移X,以及杆AB与铅垂方向的夹 角中为广义坐标。系统的动能为：vB212=mx21. 2. 2-m2( lcos *)2( l sin )212. .12. 2=-(m1 m2)xm2l cos x-m2l设中=0时势能为零，系统的势能为： V = m2gl (1 - cos中)拉格朗日函数：L =T -V1 ,= _(m2-o. .1m2)xm2l cos xm2l 厂 m2g

8、l(1cos )2拉格朗日函数中不显含广义坐标x和时间t,存在循环积分和广义能量积分，即:冬=旦 = (m + m2)x + m2仰cos中=常数 .x :xT +V = 1 (m +m2)x2 + m2l cos中x甲 + 1 m2l2平2 + m2gl(1 cos平)=常数225-28图示质量为m2的滑块B沿与水平成倾角的光滑斜面下滑，质量为 m1的均质细杆 OD借助皎链O和螺旋弹簧与滑块 B相连，杆长为l,弹簧的刚度系数为 k。试求系统的首次积分。解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度， 取滑块B沿斜面的位移s,以及杆OD与铅垂方 向的夹角中为广义坐标。杆OD作平面运动，系统的动能

9、为:1 21/12、.212T =瑚& 顼 mJ )-m2VB2 2 122-m2s221.2.l 212 2=-m1( ssin :八)scos« : )- m1l *=1 (m1 m2)s2 _ 1 mJ scos。八) 1 m1l2 , 2226设s = 0,平=90°时势能为零，系统的势能为：k'21 ,、.1cos：注一(m1 m2)gssin :-2 2拉格朗日函数L=T-V中不显含时间t,存在广义能量积分，即:T V = (m1 m2) s2 _ 1 m11 scos :八)m112'222611 . 2+ m1g §cos中

10、一(m + m2)gssinak平 =常数例8图示系统中，4为小球，可以视作质点，王质量为m 如为一长质量不计的直杆，BC为长食的软绳，"为球钱链，OB=b.平衡时，敦"Q4在水平技置而8。在铅垂位置*表小球A的运 /匚-、二动律分方程。“解：小球具有一个白曲度，设J的坐标为（屯呵土），期B的坐标为（众出，&M，*3刀，。的坐脉为（执仇0、约束方程为系统为完整系统.解：系统的约束方程由Lagrange第一类方程 月-心+ £Ari - 0，:可解得："geos。/2 +"，i 辿 a(2>弓mxm. cos a七=* 二用2 +竺

11、 g sin a cos am2 + mx sin 2 a。:+7？ )gsui, am2 + /；! sui a小球受到的主动力为重力，沿负*2轴方向，即有F = 3= 0, F2 = Mg系统的完整约束的个数(1=1,"=/此1. =1、二.、)代入I.agrange第一类方程4-岫+家七二°d1、3)可得-尸疽匚小八 1 = JZj Yj +I.Vj 一 I FZ22b2.h/x2 - mg + 2z4jX2 + -p"(.v2 - Jh/b %/.v3 = M v3 +M例8.2质量为"勺的质点放在倾角为“、质笔 为巾2的三角形楔块的斜边上，楔块又可在水平面 上滑动。不计摩擦，适/t)Lagrange第一类方程求 殖点和枚块的加速度以及它们所受的约束力。Mi= * tan aJ切 -= tan。Q>加J公0也。dx2中2主动力心=0% =-?gF=0 x2乌=%g1 = y2 _ J'l _(毛 _ 旦)tan« = o A = y2 = h 1,2, 3/|得 mzX