两数和的平方

1、2 两数和（差）的平方课前知识管理2 2 2 2 2 21、完全平方公式有两个：（a+b） =a+2ab+b, （a-b ） =a-2ab+b .即，两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为（a±b） 2=a2±2ab+b2.为便于记忆，可形象的叙述为："首 平方、尾平方，2倍乘积在中央”.几何背景：如图，大正方形的面积可以表示为（a+b），也可以表示为 S= Si+ S n + S rn + Sw ,同时 S= a2+ab+ab+b2= a2+2ab+b2.从而验证了完全平

2、方公式( a+b) 2= a2+2ab+b2.2、 完全平方公式的特征： 左边是两个相同的二项式相乘， 右边是三项式，是左边二项式中两 项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍.公式中的字 母可以表示具体的数（正数或负数） ，也可以表示单项式或多项式等代数式 只要符合这一公 式的结构特征，就可以运用这一公式 3、 在使用完全平方公式时应注意问题：（1）千万不要发生类似（a± b） 2=a2±b2的错误；（2）不要与公式（ab） 2=a2b2混淆；（3）切勿把“乘积项” 2ab中的2漏掉；（4）计算时，应先观 察所给题目的特点是否符合公式的条件，

3、如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合， 应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则 运用乘法法则进行计算名师导学互动典例精析： 知识点1改变公式中a,b的符号例1、运用完全平方公式计算：-2x 5y 2【解题思路】本例改变了公式中a,b的符号，处理方法之一：把两式分别变形为(-2x +5y 2 = L(2x -5y J2=（2x 5y 2再用公式计算（反思得：（a b ）2 =（b a ）2;（a b f =（a +b）2）；方法把两式分别变形为：-2x 5y 2二5y -2x 2后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为（-2x+5y f2x）+

4、5y】2后直接用公式计算.【解】-2x 5y 2= 5y -2x 2 = 5y 2 -2 5y 2x 2x 2 =25y2 - 20xy 4x2.【方法归纳】对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用的前提是确定是否具备使用公式的条 件，关键是正确确定“两数”即“ a ”和“ b” .对应练习：（一a b 2知识点2：改变公式中的项数例 2、计算：（a +b +c f【解题思路】完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考 虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾所以在运用公式时，(a+b+cf可先变形为 B+(b+c)孑或(a+b)+cF或者(a+c)+b孑，再进

5、行计算.【解】(a+b+c2=Ea+b)+cf【方法归纳】运用整体思想可以使计算更为简便，快捷 对应练习：(2a b+ 4) 2知识点3:改变公式的结构例 3、运用公式计算：(1) x y 2x 2y ；(2) a b -a -b .【解题思路】本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔 细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了【解】(1) (x + y'(2X+2y )=2(x+ y 丫 =2x2+4xy+2y2;(2) a b a-b = - a b 2 a2-2ab-b2.【方法归纳】观察到两个因式的系数有倍数关系或相反关系是正确变形并利用公式

6、的前提条件对应练习：计算：a -b b -a知识点4：利用公式简便运算例4:计算：9992【解题思路】本例中的999接近1000 ,故可化成两个数的差，从而运用完全平方公式计算【解】9992 =(1000 -仃=10002 2000 +12 =1000000 2000 +1 =998001.【方法归纳】有些数计算时可拆成两数(式)的平方差、完全平方公式的形式，正用乘法公 式可使运算简捷、快速.对应练习：计算：100.1 2知识点5:公式的逆用例 5、计算：x 5 2 -2 x 5 x 3 - x 3 2【解题思路】本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式(a -

7、b f =a2 -2ab +b2的右边，不妨把公式倒过来用 .【解】x 5 2 -2 x 5 x 3 x 3 2=x 5；7.x 3 * = 4 .【方法归纳】解题中，？若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究， 进行整体思考、整体变形，？从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解.对应练习：化简2a 7 2 2a 7 a 3 a 3 2知识点6:公式的变形 例6、已知实数a、b满足a b =10, ab = 1.求下列各式的值：(1) a亠b ；2(2) a-b【解题思路】此例是典型的整式求值问题，若按常规思维把a、b的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方

8、公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径(2) (a-b f =(a+ b 丫-4ab =6.(a-bf =(a + bf -4ab；【解】(1) a2+b2 = (a+b 丫 -2ab =8 ；【方 法 归 纳】2 . 2 22.2 2 2 2a b a -b 4ab, a b = a b -2ab,a b 二 a-b 2ab熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求值的关键对应练习：已知：x + y = - 1, x2 + y2 = 5,求xy的值.知识点7:乘法公式的综合应用例 7、计算：x y z x y -z【解题思路】此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同

9、，另外的项互为相反数。故可考虑把相同的项和互为相反数的项分别结合构造成平方差公式计算后，再运用完全平方公式等计算.【解】【方法归纳】灵活运用公式主要是指既要熟练地正用公式，又要掌握公式的逆用，还要根据 题目特点善于对公式进行变式使用.在解题中充分体现应用公式的思维灵活性，综合并灵活地解决有关的不同类型的问题.对应练习：2x - y 3z 2x y -3z易错警示例 8、(x+1)2.错解：(x+1) 2=x2+1.错解分析：错解中漏掉了加上它们积的2倍，(x+1)2(2+1，不能与积的幕(ab)n =anbn混淆.正解：(x+1)2=x2+2x+1例 9> (x2-y2)(x2-y2).

10、错解：(x2-y2)(x2-y2)=x4-y4错解分析：(x2-y2)(x2-y2)=(x2-y2)2，错解中错误地运用平方差公式来计算了，(x2-y2)(x2-y2)玫-y2)(x2+y2) = x4-y4.正解：(x2-y2)(x2-y2)=(x2-y2)2=x4-2x2y2+y4.例 10、(3x+2y)2.错解：(3x+2y)2=9x2+6xy+4y2错解分析：(3x+2y)2展开式中 它们积的2倍”是2 3x 2y= 12xy，因为第二数2y有一个“2, 所以很容易忘掉“2倍”.正解：(3x+2y)2=(3x)2+2 3x 2y+(2y)2=9x2+12xy+4y2.例 11 >

11、; I -x y .4 y错解：错解分析：1x y24 y展开式中 -x1 2 x , 16因此原来的系数是完全平方数，因此，也4很容易忘了把它再平方.正解：y x2 xy y2U 丿 162课堂练习评测知识点1 :完全平方公式1、在a2口4a 4的空格中，任意填上“ +”或“一”，在所得到的这些代数式中，能构成完全平方式的有（）种A. 1B. 2C. 3D. 42、图是一个边长为（m，n）的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图能验证的式子是（）2 2 2(m n)_ (m n ) = 2mn2 2(m n)(m -n) = m _n2 2A. (m n) -(m -n) 4mn

12、BC. (m -n)2 2mn = m2 n2D(12州12x+1=9,则 X-1x1X丿3、若的值为2124、已知(a-b) =4,ab=，则(a+b)=25、若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式 ，如2a b c就是完全对称式.下列三个代数式：（a-b）；a b be c;2 2 2a b，b e e .a其中是完全对称式的是 .6、先化简，再求值：(a3b)(a+3b)+(3ba 4'(2a )，其中 a= 3,b=10知识点2 :开放型试题7、已知x是有理数，y是无理数，请先化简下面的式子， 再在相应的圆圈内选择你喜欢的数代入求值：2(x y)

13、 y(2x y).课后作业练习基础训练：一、选择题1 .下列运算中，正确的是()22632459A . 3a+2b=5ab B. (a 1) =a 2a+1 C. a 为=aD. (a ) =a2 .下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是()" /、 2 2 2r ,、 2 22A . ( x+y) =x +yB . (x y) =x y2 2 2 2 2 2C. ( x+y) =x 2xy+yD . ( x y) =x 2xy+y3 .下列各式计算结果为2xy x2 y2的是()2 2 2 2A . ( x y)B. ( x y)C. ( x+y)D. ( x y)4 .若等式(

14、x 4) 2=x2 8x+m 2成立，则m的值是()A . 16B . 4C . 4D . 4 或一4二、填空题25 . ( x 2y)=.226 .若(3x+4y)= (3x 4y) +B，贝U B=.227. 若 a b=3 , ab=2,则 a +b =.12922928. (_ y)=_x xy+; () =a 6ab+.3416提高训练1 2 1 29、若(x+ ) =9，则(x )的值为.xx210、 化简：a (a 2b) ( a b).1 2 1 211、(巧题妙解题)已知 x+y=1，求一x +xy+ y的值.2 212、已知a+=5，分别求a2+2，( a丄)2的值.3米，

15、？则它的面积就增加 39平方(2) 782 .1(x+2) 2,其中 x=aaa13、为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加米，求这个正方形花坛的边长.14、 利用完全平方公式计算：(1) 20192；215、 先化简，再求值：(2x 1) (x+2) ( x 2) 2 16、小明在计算2200920082 22009200720092009 - 2时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不需要用计算器，而且很快说出了答案你知道他是怎么做的吗？12.3.2对应练习答案：1. 解：a - b 2 =-a b 2 h-a 2 -2 a b b2 二 a2 2ab b2.2. 解 原

16、式=(2a b) + 42=( 2a b) 2+ 8 (2a b) + 16 = 4a2-4ab + b2+ 16a 8b+ 16.2 2 23. 解：(a_b(b_a)F_(a_b) = -a +2ab-b24. 答案：100.1 =10020.01.5. 答案：a2 -8a 166. 解:由xy =(x y)2 -(x2 y2)2(-1)2 -52=2.7.解: (2x y +3z (2x + y _3z )=(2x _(y _3z )2x +(y _3z)p= 4x2 _(y _3z j课堂练习评测参考答案1、答案：B2、答案：B3、答案：54、答案：65、答案：6、解：当 a= 3,b

17、=10 时，原式=3 3X 10= 33 7、解：(x-y)2 y(2x-y) =x2，答案不惟一，比如选 x = 1，则代数式的值为1.课后作业练习参考答案：1 B2 C 点拨：(x+y) =x +2xy+y，所以 A 不正确；(x y =x 2xy+y，所以 B 不正确；( x+y) 2= ( x) 2+2 ( x) y+y 2= 2xy+y 2,所以 C 正确；(x y) 2= ( x+y) 2=x2+2xy+y 2, 所以D也不正确，故选C.3. D4. D 点拨：因为(x 4) 2=2 8x+16，所以若(x 4) 2=x2 8x+m2成立, 则m2=16，从而得m=±4,

18、故选D.2 2 2 2 2 2 25. x +4xy+4y 点拨：(x 2y)= ( x+2y) = ( x+2y) =x +4xy+4y 6 . 48xy 点拨：B= ( 3x+4y ) ( 3x 4y) =9x +2 4xy+16y ( 9x 2 4xy+16y )2 2 2 2?=?9x +?24xy+16y 9 +24xy 16y =48xy .2 2 2 27. 13 点拨：因为 a b=3, ab=2，所以 a +b = (a b) +2 ab=3 +2 X2=9+4=13 .31 2 328. x; y ； a 4b; 16b2949. 52222222210、 解：a (a 2b) ( a b) =a 2ab( a 2ab+b ) =a 2ab a +2ab b = b .1 212111、解：因为 x+y=1 ,所以(x+y) =1 ,即 x +2xy+y =1 .所以一x +xy+ y =(x +2xy+y )2 2 2点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式，从而巧妙求值.1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 112、 解：因为 a+ =5，所以 a2+p=( a+ ) 2 2 a =52 2=23，所以(a) 2=a2+ 2aaaaaa12 a =23 2=21 .a点拨：注意公式的一些变形形式，例如：a2+b2= (a+b)