2015高考立体几何理科（教师版）

1、2015高考立体几何（理科） 1.（15北京理科）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A B C D5【答案】C试题分析：根据三视图恢复成三棱锥，其中平面ABC，取AB棱的中点D，连接CD、PD，有，底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2，AD=BD=1,PC=1, ,，,三棱锥表面积. 2.（15年山东理科）在梯形中，,.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A B C D 解析：，答案选(C) 3.（15年广东理科）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值( ) A大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3【答案】【考

2、点定位】本题考查空间想象能力、推理能力，属于中高档题4.（15年新课标1理科）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.6222，故选B.5.(15年

3、新课标2理科) 已知A,B是球O的球面上两点，AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为A36 B.64 C.144 D.256【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C6.（15年陕西理科）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为，母线长为，所以该几何体的表面积是，故选D7.（15北京理科）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点() 求证：；() 求

4、二面角的余弦值；() 若平面，求的值【答案】(1)证明见解析，（2），（3）试题解析：()由于平面平面，为等边三角形，为的中点，则，根据面面垂直性质定理，所以平面EFCB，又平面，则.()取CB的中点D，连接OD,以O为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，由于平面与轴垂直，则设平面的法向量为，设平面的法向量，则，二面角的余弦值，由二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.（）有（1）知平面EFCB，则，若平面，只需，又，解得或，由于，则.8.（15年广东理科）如图2，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，.点是边的中点，点、分别在线段、上，且，.（1）证明：；（2）求二面角的正切值；（3）求直

5、线与直线所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】（1）证明： 且点为的中点， ，又平面平面，且平面PABCDEFG平面，平面， 平面，又平面， ；（2） 是矩形， ，又平面平面，且平面平面，平面， 平面，又、平面， ， 即为二面角的平面角，在中， 即二面角的正切值为；（3）如下图所示，连接，PABCDEFG ，即， ， 为直线与直线所成角或其补角，在中，由余弦定理可得， 直线与直线所成角的余弦值为【考点定位】本题考查直线与直线垂直、二面角、异面直线所成角等知识，属于中档题9.（15年福建理科）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=

6、BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.()求证：平面 ； ()求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值【答案】()详见解析；() 试题解析：解法一：（）如图，取的中点，连接，又G是BE的中点，又F是CD中点，由四边形ABCD是矩形得，所以从而四边形是平行四边形，所以，,又，所以所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为解法二：()如图，取中点，连接，又是的中点，可知，又面，面，所以平面在矩形ABCD中，由，分别是，的中点得又面，面，所以面又因为，面，面，所以面平面，因为面，所以平面（）同解法一考点：1、直线和平面平行的判断；2、面面平行的判断和性质；3、二面角10（15年

7、陕西理科）如图，在直角梯形中，是的中点，是与的交点将沿折起到的位置，如图 （I）证明：平面；（II）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值【答案】（I）证明见解析；（II）试题解析：（I）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，BAD=，所以BE AC即在图2中，BE ，BE OC从而BE平面又CDBE，所以CD平面.(II)由已知，平面平面BCDE，又由（1）知，BE ，BE OC所以为二面角的平面角，所以.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为, 所以得 ，.设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取，得，取，从而，即平面与平面夹角的余弦值为.考点：1、线

8、面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用.11.（15年天津理科）如图，在四棱柱中，侧棱,且点M和N分别为的中点.(I)求证：；(II)求二面角的正弦值；(III)设E为棱上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段的长【答案】(I)见解析； (II) ； (III) .【解析】试题解析：如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，又因为分别为和的中点，得.(I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量，由此可得，又因为直线平面，所以平面(II)，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，设为平面的一个法向量，则，又，得，不妨设，可得因此有，于是，所以二面角的正弦值为.(III)依题意，可设，其中，则，从而