天津市武清区2019-2020学年高一下期末联考数学试题含解析

1、天津市武清区2019-2020学年高一下期末联考数学试题一、选择题：本题共 12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知向量 a 2,1, b i,x, a 8,则 x ()A. 1B. 1C. 2D. 2【答案】D【解析】【分析】利用平面向量垂直的坐标等价条件列等式求出实数x的值.【详解】、4444 4 ”日 cI a2,1 , b1,x , ab ,a b2x0，斛仔x 2,故选 D.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，解题时将向量垂直转化为两向量的数量积为零来处理，考查计算能力，属于基础题.22222.若直线l：ax by 1 。始终平分圆M：x y 4x 2

2、y 1 0的周长，则 a 2 b 2的最小值为( )A.而B. 5C. 2 75D. 10【答案】B【解析】22.试题分析：把圆的万程化为标傕万程得x 2 y 14,所以圆心M坐标为 2, 1半径r 2,因为直线l始终平分圆 M的周长，所以直线l过圆M的圆心M ,把M 2, 1代入直线l:ax by 1 022得；2a b 1 0,即 2ab 1 0, a,b 在直线 2x y 1 0上，a 2 b 2 是点 2,2 与一一4 2 1 l点a,b的距离的平方，因为 2,2到直线2a b 1 0的距离d 瓜所以 .5 22a 2 b 2的最小值为5,故选B.考点：1、圆的方程及几何性质；2、点到

3、直线的距离公式及最值问题的应用【方法点晴】本题主要考查圆的方程及几何性质、点到直线的距离公式及最值问题的应用，属于难题.解决解析几何的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是利用几何意义，将 22a 2 b 2的最小值转化为点到直线的距离解答的.3.已知数列 A：ai,a2, ,an (0 a a?an, n 3)具有性质 P ：对任意 i、j (1 i j n),aj ai与aj ai两数中至少

4、有一个是该数列中的一项，对于命题： 若数列A具有性质p ,则a1 0 ; 若数列a1，a2,a3( 0 &a?a3)具有性质P ,则aa32a2 ；下列判断正确的是()A.和均为真命题B.和均为假命题C.为真命题，为假命题D.为假命题，为真命题【答案】A【解析】【分析】本题是一种重新定义问题，要我们理解题目中所给的条件，解决后面的问题，把后面的问题挨个验证.【详解】解：若数列an具有性质P,取数列an中最大项an,则an an 2an与4 a 0两数中至少有个是该数列中的一项，而 2a n不是该数列中的项,0是该数列中的项,ai 0 ；故正确；数列a1，a2， a3具有性质P , 04

5、a a2 %,aia3与a3为至少有一个是该数列中的一项，且阚 0,1若ai +a3是该数列中的一项，则 ai a3a3 ,a10 ,易知a2a3不是该数列的项asa2a2,aia3 2a22若%ai是该数列中的一项，则a3aiai或a2或a3,a、若aai合同i ,b、若 a3aia2 ,贝U a3 a2,与 a2a3 矛盾，c、% a, a ,贝U a3 2a1,ai a32a2.故正确.【点睛】考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查,属中档题.4. 一个正方体的体积是 8,则这个正方体的内切球的表面积是（）A. 8兀B. 6兀C. 4兀

6、D.71设正方体的棱长为a,则且1=8,a= 2.而此正方体的内切球直径为2,S表=4"= 4兀选C.5.已知数列an的前n项和为Sn,直线y x 2J2与圆o：x22an2交于"n点，且Sn值范围是（1 PQn4)2.记bnnan,其前n项和为Tn,若存在n N,使得Tn2an 2有解,则实数取A.3,5B.D. 0,根据题意，先求出弦长 PQn ,再表示出Sn,得到Sn 2an 2,求出数列an的通项公式,再表不出bnn 2n ,用错位相减求和求出Tn,再求解Tn2an 2即可.根据题意，圆 O的半径r J2an 2 ,圆心到直线y x 2、,2的距离d0 0 2.2-

7、1212所以弦长PQn24 d22j2an 2 ,1所以Sn涓Qn2an2,当n 1时，S12al 2 ,所以 a12,n 2 时，Sn i2an 1 2,所以SnSn1an2an 22an2an得-an-2 ,所以数列an是以a1an 12为首项,q2为公比的等比数歹U,所以an2n,bn n2n所以Tn2Tn 1Tn2TnTn22 222n2n 11 n 2n 1 2 ,所以Tn2,由Tn2an2有解,Tn2 an1 2n 122n1 21n,只需大于n 1 21n的最小值即可,因为n N*121n 0,所以0.故选：D本题主要考查求圆的弦长、由Sn和an求数列通项、错位相减求数列的和和解

8、不等式有解的情况，考查学生的分析转化能力和计算能力,属于难题6.若00,coscos-，贝”cos 等于A,昱3B.5.3C 9D.-69利用同角三角函数的基本关系求出sin与sin一,然后利用两角差的余弦公式求出2cos一 cos2值.,0则sin1 co/2.2,430,一 一 一，所以,422sin 一422cos因此，coscoscos 一 一4 2sinsin 44 212.113 335.3,9故选C.【点睛】 本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点: 利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负;利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的

9、公式求解.7,若实数a满足a2一一2 10 ,则a,a,a的大小关系A.a aa2B.2C.aD.分析：先解不等式a20，再根据不等式性质确定2 ,a,a,a的大小关系.详解：因为a2 a0,所以1 a 0 ,所以a 0 a2选D.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及不等式性质，考查基本求解能力与运用性质解决问题能力8.已知平面向量I的夹角为23-,且2,则A. 3C. 7D. -.7将模平方后利用数量积的定义计算其结果，然后开根号得出的值.【详解】2 121 1 1a 2a b bJ3,故选B.1-12 12-4 3,因此,2本题考查利用平面向量的数量积来求平面向量的模, 通常利用平方法结合

10、平面向量数量积的定义来进行求解，考查计算能力，属于中等题.9.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（试题分析：由题意知，样本容量为350045002000 2%200,其中高中生人数为2000 2% 40,高中生的近视人数为 40 50%20 ,故选B.【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题10.等比数列 an 中，0132 2 , a2a416,则公比q等于（A. 2B. 3由题意利用等比数列的通项公式，求出公比q的值.解：等比数列an中，aa2

11、 2 , a2a4“ a2a4' aa216, c万则公比口-2'本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题.11.如图，在平面四边形 ABCD中，AB BC, ADCD,BAD 120AB AD 1,若点E为边CD上的动点，则 aE 的最小值为（）25C.16D. 3【解析】【分析】【详解】 分析：由题意可得 4ABD为等腰三角形，1BCD为等边三角形，把数量积 襄EbE分拆，设IDE tDC（0 t 1）,数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。详解：连接BD,取AD中点为O,可知zABD为等腰三角形，而AB BC,AD CD ,所以 BCD为等边三角形，BD

12、、,3。设DE tDC(0 t 1)= 3t2 3t 3(0 t 1)AE BE (AD DE) (BD DE) AD BD DE (AD BD) flE22所以当t1 ,21,一时，上式取取小值一，选A.416点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分,需要选择合适的基底,再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。12 .已知x, y为正实数，则（）a 2y*+幻丫=2y*+2内丫B.21g（x+y）=2叱2侬c 2y*?内丫=2y*+2内丫D.2口(xy，=2y*?2y丫【解析】因为 as+t=as?at, 1g （xy） =1gx+1gy （x, y 为正实数），所

13、以21g（xy）=21gx+1gy=21gx?21gy,满足上述两个公式，故选D.二、填空题：本题共 4小题一 一一 .213 .函数y 2sin x的最小正周期为 .【分析】 先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期公式可得函数的最小正周期.解：由题意可得：y 2sin2x1 cos2x_2cos2x 1 ,X广，一，2可得函数的最小正周期为：2故答案为:本题主要考查二倍角的化简求值和三角函数周期性的求法，属于基础知识的考查z4.i 514 .若 z 3 4i,则一3 【答案】35【解析】先求z,| z|,再代入求值得解.由题得z=34i,|z|32 ( 4)25

14、,z所以一4154.i 5故答案为4.i 5本题主要考查共轲复数和复数的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题15.无穷等比数列an的首项是某个正整数，公比为单位分数（即形如:1，4一的分数，m为正整数），若m该数列的各项和为3,则 a1a2利用无穷等比数列，一 一S an的各项和，可求得a13 -3d 1 ，从而a13 一,利用首项是某个自然数，可1 m【详解】 二,无穷等比数列 an各项和为3,aiS33S d 1 3,ai 3 2是个自然数，则m 3,1 一mmc 284 a2233故答案为：83【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式，需熟记公式，属于基础题 .

15、16.在等比数列an中，a3 a7 64, a5的值为【答案】8【解析】【分析】根据等比数列的性质，可得a2 a3 a7 64 ,即可求解.【详解】2由题意，根据等比数列的性质，可得a5 a3 a7 64,解得a58 .故答案为：8【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的应用，其中解答熟记等比数列的性质，准确计算是解答的关键，着重考 查了计算能力，属于基础题 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。221117,已知圆 O： X2 y 1 和点 A( 2,0), B -,0 , C(2,0) , D - ,0 .若点P是圆O上任意一点，求|PA|PD|(2)过圆O上任意一点 M 与

16、点B的直线，交圆。于另一点N，连接MC , NC ,求证： MCB NCB.【答案】(1)2(2)见证明【解析】【分析】22.(1)设点P的坐标为 x,y ,得出x y 1 ,利用两点间的距离公式以及将关系式1代入可求出pa|；的值;pd|(2)对直线MN的斜率是否存在分类讨论。直线MN的斜率不存在时，由点 M、N的对称性证明结论;12，设点 M oy、N x2,y2 ,将直直线MN的斜率不存在时，设直线 MN的方程为y k xMC和NC的斜率之和为零来证明结论线MN的方程与圆O的方程联立，列出韦达定理，通过计算直线 成立。(1)证明:设 P(x, y),因为点P是圆O上任意一点,当直线MN的

17、倾斜角为900时,因为点M、N关于x轴对称，所以 MCBNCB.2k244(1 k2)1当直线MN的倾斜角不等于900时,设直线MN的斜率为k ,则直线MN的方程为(1 k2)x2k2 44设 M (x, y1)、N(X2,y2),则yi，y2X2kx1x2一,Xi x2 k11k kMC +kNC小y2x1 2x22y。2) y2(x1 2)(X 2)(x2 2)，(x2 2) k x2, 5 , k - (x1 x2) 2x1x2 22)(X2 2)韦达定理在直线与圆的综合问题的处理，本(Xi 2)(x2 2)22,5k2ok2 4k22222 1 k24(1 k2)0,(X 2)。 2)

18、MCB NCB.【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系问题，考查两点间的距离公式、题的关键在于将角的关系转化为斜率之间的关系来处理, 另外，利用韦达定理求解直线与圆的综合问题时,其基本步骤如下:(1)设直线的方程以及直线与圆的两交点坐标Xi, ViX2,y2 ；(2)将直线方程与圆的方程联立，列出韦达定理;(3)将问题对象利用代数式或等式表示，并进行化简;将韦达定理代入(3)中的代数式或等式进行化简计算。18 .如图，AB为圆。的直径,点E , F在圆。上，AB EF ,矩形ABCD和圆。所在的平面互相垂直，已知AB 2, EF 1.(1)求证：平面DAF平面(2)当AD 2时，求多面体EFAB

19、CD的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)5.36(1)由题可得AF(2)过f作fhCB, AF BF ,从而可得 AF 平面CBF ,由此证明平面 DAF 平面CBF ;AB交AB于H ,所以FH为四棱锥F ABCD的高，多面体EFABCD的体积VF ABCDVC BEF， 利用体积公式即可得到答案.【详解】 (1)证明：平面ABCD 平面ABEF,矩形 ABCD , CB AB ,平面 ABCD。平面 ABEF AB , CB 平面 ABEF , AF 平面 ABEF , . . AF CB ,又 AB 为圆 O 的直径， AF BF ,又 BF BC B , . AF 平面 CBF ,

20、 AF 平面ADF ,平面DAF 平面CBF ;(2)过f作fh ab交AB于H ,由面面垂直性质可得 FH 平面ABCD,即FH为四棱锥F ABCD的高,由&OEF是边长为1的等边三角形，可得 fh ,又正方形 ABCD的面积为4, .vfabcd 1 4 冢3.323VC BEF所 5 T 13 M 366本题主要考查面面垂直的证明,以及求多面体的体积，要求熟练掌握相应判定定理以及椎体、柱体的体积 公式，属于中档题.19.高考改革是教育体制改革中的重点领域和关键环节，全社会极其关注.近年来，在新高考改革中，打破文理分科的 3 x”模式初露端倪.其中3”指必考科目语文、 数学、外语，

21、'X”指考生根据本人兴趣特长和拟报考学校及专业的要求，从物理、化学、生物、历史、政治、地理六科中选择3门作为选考科目，其中语、数、外三门课各占150分，选考科目成绩采用 赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.假定A省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、15%的，以此赋分70分、60分、50分、40分.为了让学生们体验 赋分制”计算成绩的方法， A省某高中高一（1）班（共40人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单科全班排名，每名学生选三科计算成绩），已知这次摸底考试中的物理成绩（满分100分

22、）频率分布直方图，化学成绩（满分100分）茎叶图如下图所示，小明同学在这次考试中物理86分，化学70多分.5678化赞成绷04 32 3 31 12 3 4 5 123334 5567g92 3 3 5 5 5 6 6 8 8 9 12 3 3 6(1)求小明物理成绩的最后得分;(2)若小明的化学成绩最后得分为60分，求小明的原始成绩的可能值;(3)若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率2【答案】(1)70 分(2) 76,77,78,79. (3)5【解析】(1)先求出此次考试物理成绩落在80,90 , 90,100内的频率，再由小明的物理成绩即可得

23、出结果；(2)根据选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、15%的，以此赋分70分、60分、50分、40分，结合茎叶图中数据，即可得出结果；(3)先记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为A,a,b,c,d,e,用列举法列举出小明的所有可能选法，再列举出小明此次考试选考科目包括化学的选法，基本事件的个数之比就是所求概率【详解】解：(1) “1 1 100.005 0.015 0.025 0.0350.1, 10 0.005 0.05,1 2此次考试物理成绩落在80,90 , 90,100内的频率依次为0.1,0.05，概率之和为0.15小明的物理成绩为 86分，大于

24、80分.小明物理成绩的最后得分为70分.(2)因为40名学生中，赋分70分的有40 15% 6人，这六人成绩分别为 89,91,92,93,93,96;赋分60分的有40 35% 14人淇中包含80多分的共10人，70多分的有4人，分数分别为76,77,78,79 ；因为小明的化学成绩最后得分为60分，且小明化学70多分，所以小明的原始成绩的可能值为76,77,78,79 ；(3)记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为A,a,b,c,d,e ,小明的所有可能选法有：A,a,b , A,a,c , A,a,d , A,a,e , A,b,c , A,b,d , A,b,e , A,c,d A

25、,c,e , A,d,e共10种，其中包括化学的有 A,a,b , A,a,c , A,a,d , A,a,e共4种,若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率为2.5【点睛】本题主要考查频率分布直方图与茎叶图，以及古典概型，熟记古典概型的概率计算公式即可求解，属于常考题型.20.如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是菱形，PA 底面ABCD .P(I )证明：BD PC ;()若 BAD BPA 60 ,求二面角P CD A的余弦值【答案】(I )见解析(n ) 31313【解析】【分析】i PAC 从A的平面(I )由PA 底面ABCD推出BD PA,由菱形

26、的性质推出 BD AC ,即可推出BD 、 而得到BD PC ; ( n )作AE CD ,交CD的延长线于 E ,连接PE ,则二面角P CD 角是 PEA,由已知条件求出 AD,进而求出AE、PD,即可求得cos PEA.【详解】(I )证明：连接AC ,PA 底面 ABCD, BD 底面 ABCD, BD PA.四边形ABCD是菱形，BD AC .又. PApAC A, PA 平面 PAC , AC 平面 PAC ,BD 平面PAC , BD PC.(n )作AE CD ,交CD的延长线于E ,连接PE.由于 AE CD, PA CD,AEp|PA A ,于是 CD 平面 PAE ,1En2 24n2PE 平面 PAE， PE CD ,所以二面角P CD A的平面角是PEA.设 PA 1”，:BAD BPA 60且底面ABCD是菱形,BA AD 芯,DAE 300AE cos30：AD 3 , PE 7PA2AE2 13 , 22cos