拉氏变换的基本概念

1、 二、单位脉冲函数及其拉氏变换二、单位脉冲函数及其拉氏变换一、拉氏变换的定义一、拉氏变换的定义 一、拉氏变换的定义 称（7-1）式为函数的拉氏变换式,用记号Lf(t)=F(P)表示.函数 ()称为f(t)的拉氏变换(Laplace) (或称为f(t) 的像函数) 定义定义 设函数设函数f(t)当当t0时有定义，若广义时有定义，若广义积分积分 在在P的某一区域内收敛，则的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为此积分就确定了一个参量为P的函数，记作的函数，记作F(P),即即dtetfpt 0)(dtetfPFpt 0)()(7-1) 函数f(t)称为() 的拉氏逆变换（或称为()像原函数），记

2、作)()(),()(11PFLtftfPFL 即即 例例7-1 求一次函数求一次函数f(t)=at(t0,a 为常数为常数)的的拉氏变换拉氏变换解解 0000)(dtepaepatetdpadtateatLptptptpt)0(02020 ppaepadtepaptpt关于拉氏变换的定义，在这里做两点关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明说明： （1）在定义中，只要求在定义中，只要求 f(t) 在在t0时有时有定义为了研究拉氏变换性质的方便，以定义为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在后总假定在 t0 时时,f(t)=0 . （2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式在较为深入的讨论中，拉氏变换式中

3、的参数中的参数P是在复数范围内取值为了方便是在复数范围内取值为了方便起见，本章我们把起见，本章我们把P作为实数来讨论，这并作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用不影响对拉氏变换性质的研究和应用 （3）拉氏变换是将给定的函数通过广义拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换变换.一般来说一般来说,在科学技术中遇到的函数，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的它的拉氏变换总是存在的.二、二、 单位脉冲函数及其拉氏变换单位脉冲函数及其拉氏变换 在研究线性电路在脉冲电动势作用后所在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生

4、的电流时产生的电流时,要涉及到我们要介绍的脉冲要涉及到我们要介绍的脉冲函数函数,在原来电流为零的电路中在原来电流为零的电路中,某一瞬时某一瞬时(设为设为t=0)进入一单位电量的脉冲进入一单位电量的脉冲,现要确定现要确定电路上的电流电路上的电流i(t),以以Q(t)表示上述电路中的表示上述电路中的电量，则电量，则 .0, 1,0,0)(tttQ由于电流强度是电量对时间的变化率，即由于电流强度是电量对时间的变化率，即,)()(lim)()(0ttQttQdttdQtit 所以，当所以，当t0时时,i(t)=0;当当t=0时时,有有 .)1(lim)0()0(lim)0(00 ttQtQitt 上式

5、说明上式说明,在通常意义下的函数类中找不在通常意义下的函数类中找不到一个函数表示电流强度为此到一个函数表示电流强度为此,引进一个新引进一个新的函数，这个函数称为的函数，这个函数称为狄拉克函数狄拉克函数)(lim)(0tt 称为称为狄拉克狄拉克(Dirac)函数函数,简称为简称为 函数函数 的的值值为为时时当当的的值值为为时时当当)(,0;0)(,0tttt 的的图图形形和和即即无无穷穷大大)()(.0,0,0)(,ttttt 定义定义的的极极限限为为时时当当)(,0,t tttt，设设00100)(如图如图7-17-1和图和图7-27-2所示所示 , 11)(, 0,0 dtdtt 有有对任何

6、对任何显然显然. 1)( dtt 所所以以 工程技术中工程技术中,常将常将 函数称为函数称为单位脉冲函数单位脉冲函数,有些工程书上有些工程书上,将将 函数用一个长度等于函数用一个长度等于1的的有向线段来表示有向线段来表示(如图如图7-2所示所示),这个线段的长这个线段的长度表示度表示 函数的积分函数的积分,叫做叫做 函数的强度函数的强度 例例7-2 求求 的拉氏变换的拉氏变换)(t dtettLpt0)()( )()1 (lim11lim11lim0000 ppptepeppe. 1)( t，L 即即解解 根据拉氏变换的定义，有根据拉氏变换的定义，有dtedtedteptptpt 000001lim0lim)1lim(11li