连续函数的运算和初等函数的连续性PPT学习教案

1、会计学1连续函数的运算和初等函数的连续性连续函数的运算和初等函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy.1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.,cot,arctan上单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续.第1页/共16页定理3).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数

2、函数若若证,)(连续连续在点在点auuf .)()(, 0, 0成立成立恒有恒有时时使当使当 afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00时时使当使当对于对于 xx第2页/共16页.)(成立成立恒有恒有 auax将上两步合起来:,0, 0, 00时时使当使当 xx)()()()(afxfafuf .成立成立 )()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 意义1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，.)(. 2的理论依据的理论依据变量代换变量代换xu 第3页/共16页注1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数 在极限值点处

3、连续可可得得类类似似的的定定理理换换成成将将 xxx0. 2例1.)1ln(lim0 xxx 求求解xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln . 1 第4页/共16页例2.1lim0 xexx 求求解,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当)1ln(lim0yyy 原式原式yyy10)1ln(1lim . 1 同理可得.ln1lim0axaxx 第5页/共16页定理4.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 注意定理4

4、是定理3的特殊情况.例如,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy第6页/共16页三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.)1, 0( aaayx指指数数函函数数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对对数数函函数数;), 0(内内单单调调且且连连续续在在 第7页/共16页 xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内连续内连续在在 ,不不同同值值讨讨论论 (均在其定义域内连续 )定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.定理6 一切初等

5、函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.第8页/共16页注意1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;例如, 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在0点的邻域内没有定义.), 1上连续上连续函数在区间函数在区间注意2. 初等函数求极限的方法代入法.)()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx第9页/共16页例3 求xxsinlnlim2 解是是初初等等函函数数xysinln 它的一个定义区间是), 0( ), 0(20 x而而2sinlnsinlnlim2 xx0

6、例4.11lim20 xxx 求求解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 第10页/共16页例5 求)1arcsin(lim22xxxx 解 都都和和时，时，当当221xxxx不能应用差的极限运算法则，须变形先分子有理化，然后再求极限)1(lim22xxxx xxxxxxxx 1)1)(1(lim2221111lim1lim22 xxxxxx21 第11页/共16页)1arcsin(lim22xxxx )1(limarcsin22xxxx 621arcsin 第12页/共16页四、小结连续函数的和差积商的连续性.反函数的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.第13页/共16页思考题 设设xxfsgn)( ，21)(xxg ，试试研研究究复复合合函函数数)(xgf与与)(xfg的的连连续续性性.第14页/共16页思考题解答21)(xxg 0, 10, 00, 1)(xxxxf)1sgn()(2