高中数学必修五解三角形应用举例课时学习教案

1、会计学1第一页，编辑于星期三：六点 三十七分。 正弦定理、余弦定理的应用正弦定理、余弦定理的应用距离问题距离问题高度问题高度问题角度问题角度问题有关三角形的计算问题有关三角形的计算问题第1页/共38页第二页，编辑于星期三：六点 三十七分。第2页/共38页第三页，编辑于星期三：六点 三十七分。例例1、设、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出，测出AC的距离的距离55cm，BAC51o， ACB75o，求，求A、B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m）分

2、析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形sinsinABACCB第3页/共38页第四页，编辑于星期三：六点 三十七分。例例1、设、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在测量者在A的的同测，在所在的河岸边选定一点同测，在所在的河岸边选定一点C，测出，测出AC的距离的距离55cm，BAC51o， ACB75o，求，求A、B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m）sinsinABACACBABC sin55sinsinsin55sin7555sin7565.7()sin(1805175 )sin

3、54ACACBACBABABCABCm答：答：A,B两点间的距离为两点间的距离为65.7米。米。解：解：第4页/共38页第五页，编辑于星期三：六点 三十七分。例例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。方法。分析：用例分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，借助于余的大小，借助于余弦定理可以计算出弦定理可以计算出A、B两点间的距离。两点间的距离。第5页/共38页第六页，编辑于星期三：六点 三十七分。例例2

4、、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。间的距离的方法。解：测量者可以在河岸边选定两点解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得，测得CD=a,并且在并且在C、D两点两点分别测得分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在ADC和和BDC中，应用正弦定理得中，应用正弦定理得sin()sin()sin()sin 180()aaAC sinsinsin()sin 180()aaBC 计算出计算出AC和和BC后，再在后，再在ABC中，应用余弦定理计算出中，应用余弦定理计算出AB两点间两点间的距离的距离222co

5、sABACBCACBC 第6页/共38页第七页，编辑于星期三：六点 三十七分。点评点评测量不可到达的两点间的距离时：测量不可到达的两点间的距离时： 若是其中一点可以到达，利用一个三角形即可解决，一若是其中一点可以到达，利用一个三角形即可解决，一般用正弦定理；般用正弦定理； 若是两点均不可到达，则需要用两个三角形才能解决，一般正、若是两点均不可到达，则需要用两个三角形才能解决，一般正、余弦定理都要用到余弦定理都要用到例例1、设、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在测量者在A的的同测，在所在的河岸边选定一点同测，在所在的河岸边选定一点C，测出

6、，测出AC的距离的距离55cm，BAC51o， ACB75o，求，求A、B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m）例例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。离的方法。第7页/共38页第八页，编辑于星期三：六点 三十七分。例例3自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平

7、线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角形？形？在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？CAB已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m， 夹角夹角CAB6620，求，求BC第8页/共38页第九页，编辑于星期三：六点 三十七分。例例3自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油

8、泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得22222 2cos 1.951.402 1.95 1.40 cos66 20 3 .571 BCABACAB ACA 1.89(m)BC 答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m。 CAB第9页/共38页第

9、十页，编辑于星期三：六点 三十七分。第10页/共38页第十一页，编辑于星期三：六点 三十七分。第11页/共38页第十二页，编辑于星期三：六点 三十七分。课堂小结课堂小结实际问题实际问题抽象概括抽象概括示意图示意图数学模型数学模型推理推理演演算算数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解还原说明还原说明 作业：阅读教材作业：阅读教材12页，理解并掌握基准线定义页，理解并掌握基准线定义第12页/共38页第十三页，编辑于星期三：六点 三十七分。1.2 1.2 解三角形应用举例解三角形应用举例第二课时第二课时第13页/共38页第十四页，编辑于星期三：六点 三十七分。 正弦定理、余弦定理的应用正弦

10、定理、余弦定理的应用距离问题距离问题高度问题高度问题角度问题角度问题有关三角形的计算问题有关三角形的计算问题第14页/共38页第十五页，编辑于星期三：六点 三十七分。第15页/共38页第十六页，编辑于星期三：六点 三十七分。例例3 AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，由解直角三角形的知识，只要能测出一点只要能测出一点C

11、到建筑物到建筑物的顶部的顶部A的距离的距离CA,并测出由并测出由点点C观察观察A的仰角，就可以的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识该设法借助解三角形的知识测出测出CA的长的长。ABCDEHG第16页/共38页第十七页，编辑于星期三：六点 三十七分。例例3 AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑物的为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法ABCDEHG解：选择一条水平基线解：选择一条水平基线HG,使使H,G,B三点在同一条直线上。由三点在同一条直线上。由在在H,G两点用

12、测角仪器测得两点用测角仪器测得A的仰的仰角分别是角分别是，CD=a,测角仪器测角仪器的高是的高是h.那么，在那么，在ACD中，根中，根据正弦定理可得据正弦定理可得)sin(sinaAChAChAEABsinhasinsinsin第17页/共38页第十八页，编辑于星期三：六点 三十七分。例例4 在山顶铁塔上在山顶铁塔上B处测得地面上一处测得地面上一点点A的俯角的俯角5440，在塔底，在塔底C处处测得测得A处的俯角处的俯角501。已知。已知铁塔铁塔BC部分的高为部分的高为27.3m，求出，求出山高山高CD(精确到精确到1m)分析：根据已知条件，应该设分析：根据已知条件，应该设法计算出法计算出AB或

13、或AC的长的长第18页/共38页第十九页，编辑于星期三：六点 三十七分。例例4 在山顶铁塔上在山顶铁塔上B处测得地面上一点处测得地面上一点A的的俯角俯角5440，在塔底，在塔底C处测得处测得A处的俯处的俯角角501。已知铁塔。已知铁塔BC部分的高为部分的高为27.3m，求出山高，求出山高CD(精确到精确到1m)解：在解：在ABC中，中，BCA=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根据正弦定理，根据正弦定理，)90sin()sin(ABBC)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，)(177)1504054sin(4054sin150cos3 .27)sin(si

14、ncossin,mBCBADABBDABDRt得解所以，所以，CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度约为答：山的高度约为150米。米。第19页/共38页第二十页，编辑于星期三：六点 三十七分。例例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南处时测得公路南侧远处一山顶侧远处一山顶D在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到达后到达B处，测处，测得此山顶在东偏南得此山顶在东偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山的高度，求此山的高度CD.分析：要测出高分析：要测出高CD,只要测只要测出高所在的直角三角

15、形的出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计。根据已知条件，可以计算出算出BC的长。的长。第20页/共38页第二十一页，编辑于星期三：六点 三十七分。例例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧处时测得公路南侧远处一山顶远处一山顶D在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到达后到达B处，测得处，测得此山顶在东偏南此山顶在东偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山的高度，求此山的高度CD.解：在解：在ABC中，中，A=15, C=25-15=10.根据正弦定理，根据

16、正弦定理，CABABCsinsin).(4524. 710sin15sin5sinsinkmCAABBCCD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度约为答：山的高度约为1047米。米。第21页/共38页第二十二页，编辑于星期三：六点 三十七分。第22页/共38页第二十三页，编辑于星期三：六点 三十七分。例例6 一艘海轮从一艘海轮从A出发，沿北偏东出发，沿北偏东75的方向航行的方向航行67.5n mile后到达后到达海岛海岛B,然后从然后从B出发，沿北偏东出发，沿北偏东32的方向航行的方向航行54.0n mile后到达后到达海岛海岛C.如果下次航行直接从如果下次航行直接从A出发到

17、达出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到需要航行多少距离（角度精确到0.1,距离精确到距离精确到0.01n mile）?解：在解：在ABC中，中，ABC1807532137，根据余弦定理，根据余弦定理，15.113137cos0 .545 .6720 .545 .67cos22222ABCBCABBCABAC,3255. 015.113137sin0 .54sinsinsinsinACABCBCCABABCACCABBC根据正弦定理，所以，所以，CAB=19.0,75CAB=56.0.答：此船应该沿北偏东答：此船应该沿北偏东56.0的方向航

18、行，的方向航行，需要航行需要航行113.15n mile.第23页/共38页第二十四页，编辑于星期三：六点 三十七分。第24页/共38页第二十五页，编辑于星期三：六点 三十七分。课堂小结课堂小结2 2角的测量角的测量要测量角的大小，可利用测角仪及测距离的钢卷尺等工要测量角的大小，可利用测角仪及测距离的钢卷尺等工具结合正弦定理及余弦定理解三角形，实际解决不能直具结合正弦定理及余弦定理解三角形，实际解决不能直接测得的角的大小的问题接测得的角的大小的问题在解决测量问题的有关题目时，要搞清方位角、俯角与仰在解决测量问题的有关题目时，要搞清方位角、俯角与仰角的含义，合理的构造三角形求解，即把实际问题数学化角的含义，合理的构造三角形求解，即把实际问题数学化第25页/共38页第二十六页，编辑于星期三：六点 三十七分。1.2 1.2 解三角形应用举例解三角形应用举例第三课时第三课时第26页/共38页第二十七页，编辑于星期三：六点 三十七分。 正弦定理、余弦定理的应用正弦定理、余弦定理的应用距离问题距离问题高度问题高度问题角度问题角度问题有关三角形的计算问题有关三角形的计算问题第27页/共38页第二十八页，编辑于星期三：六点 三十七分。第28页/共38页第二十九页，编辑于星期三：六点 三十七分。3231ABCD第29页/共38页第三十页，编辑于星期三：六点 三十七分。第3