复变函数复习题2012

1、2021-12-131考试安排考试安排考试时间考试时间:一一、 2008 年年 11 月月 24 日日 晚上晚上考试地点考试地点: 答疑时间答疑时间:二二、 2008 年年 11 月月 21 日日 下午下午 晚上晚上 11 月月 22 日日 上午上午 下午下午 11 月月 23 日日 上午上午 下午下午答疑地点答疑地点: 科技楼科技楼 805 计算数学教研室计算数学教研室2021-12-132主要内容主要内容一一、复数的几种表示及、复数的几种表示及运算，运算，区域，曲线；初等区域，曲线；初等复变函数。复变函数。二二、柯西、柯西- -黎曼方程：黎曼方程：(1) 判断可导与解析，求导数；判断可导与

2、解析，求导数；七、七、Fourier变换的概念，变换的概念，函数，函数，卷积。卷积。三三、柯西积分公式，柯西积分定理，高阶导数公式。柯西积分公式，柯西积分定理，高阶导数公式。四四、洛朗展式。洛朗展式。五五、留数：、留数：(1) 计算闭路积分；计算闭路积分；六六、保形映射：、保形映射：(1) 求象区域；求象区域；八、八、利用利用Laplace变换求解常微分方程变换求解常微分方程(组组)。(2) 构造构造解析函数。解析函数。(2) 计算定积分。计算定积分。(2) 构造构造保形映射。保形映射。2021-12-133一、填空题。一、填空题。(1) 的模为的模为，辐角主值为，辐角主值为32i31 .。

3、. (2) 的值为的值为的值为的值为)1Ln( i43 e ，. .。(3) 伸缩率为伸缩率为处的旋转角为处的旋转角为映射映射w = z3 - z在在z = i .。 ，. (4) 在区域在区域D内解析的内解析的函数函数),(i),()(yxvyxuzf .。充要条件为充要条件为2021-12-134(7) 41|213d)()(ezzzzz .。(5) 在在 z0 = 1+i处展开成泰勒级数的处展开成泰勒级数的)34(1zz .。收敛半径为收敛半径为(6) z = 0 是是( (何种类型的奇点何种类型的奇点) )。zezfz111)( . 的的 (8) ，已知已知)2()2()()(21)(

4、0000tttttttttf )(tf .。求求2021-12-135四四、计算下列各题：、计算下列各题： 2. 2. 211dezzzz 3. 3. 2sin1d0 4. 4. xxxxd0 9)1)(cos22zzzzzdsinei2113 1.1.二二、验证验证),(yxuyxyxu)1(2),( z 平面上的调和函数，并求以平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使为实部的解析函数，使是是if )2(。三三、将函数将函数)2)(1(1)( zzzf在在1 z与与2 z洛朗级数。洛朗级数。处展开为处展开为2021-12-136五五、求区域求区域1Im0, 0Re:D zzz在映射在映射

5、zwi 下的像。下的像。八八、设函数、设函数)(zf在在Rz 上解析，证明：上解析，证明：)|(|),(d)()(i2|222RzzfzRzfzRR 2)0(, 1)0(, yytyy七七、用拉氏变换求解方程：、用拉氏变换求解方程：六六、求把下图阴影部分、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。映射到单位圆内部的保形映射。i-i3 33 3 2021-12-137二二、验证验证),(yxuyxyxu)1(2),( z 平面上的调和函数，并求以平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使为实部的解析函数，使是是if )2(。故故 u(x,y) 为调和函数为调和函数, 0 xxu, 0 yyu

6、, 0 yyxxuu,2yxvyu xyvxu 22cyxxv 222 )(2xydyv)(2xy )(x ,2)(2cxxx )2i()1(2)(22cyxxyxzf 1,)(,0, 2 cizfyx时时当当)12i()1(2)(22 yxxyxzf(1)解解:(2) 方法一方法一2021-12-138二二、验证验证),(yxuyxyxu)1(2),( z 平面上的调和函数，并求以平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使为实部的解析函数，使是是if )2(。解解:故故 u(x,y) 为调和函数为调和函数, 0 xxu, 0 yyu, 0 yyxxuu,2yxvyu xyvxu 22cyx

7、xv 222)2i()1(2)(22cyxxyxzf 1,)(,0, 2 cizfyx时时当当)12i()1(2)(22 yxxyxzf(1)(2) 方法二方法二ydydxxdv2)22( )2(22yxxd 2021-12-139三三、将函数将函数)2)(1(1)( zzzf在在1 z与与2 z洛朗级数。洛朗级数。处展开为处展开为解解: (1) 在在 z=1 处处,1|1|0时时当当 z)1(1)(1(1)( zzzf 0)1()1(1nnzz 01)1(nnz,1|1|时时当当 z)1(1)(1(1)( zzzf1111)1(12 zz 02)11()1(1nnzz 02)11(nnz12

8、2021-12-1310三三、将函数将函数)2)(1(1)( zzzf在在1 z与与2 z洛朗级数。洛朗级数。处展开为处展开为解解: (2) 在在 z=2 处处,1|2|0时时当当 z 01)2()1()(nnnzzf,1|2|时时当当 z 02)21()1()(nnnzzf122021-12-1311四四、zzzzzdsinei2113 1. 1.解解: 方法一方法一: 利用留数求解利用留数求解 z=0 为二级极点为二级极点,)sin(lim221320 zzeziizz原式原式1 0)sin(! 21 zzze原原式式方法二方法二: 利用高阶导数公式求解利用高阶导数公式求解1 2021-1

9、2-1312四四、 2. 2. 211dezzzz解解: z=1 为本性奇点为本性奇点,)1( ! 31)1( ! 21111)(1)1(3211 zzzzzez 11)121(z232 i 原原式式i3 2021-12-1313四四、 3. 3. 2sin1d0解解: 原原式式)1(21122)3(zzii 原原式式 cos2d(203) 2cosd03 1|2213zizzzdz 1|2162zzzdzi, 223)2(1 z有有两两个个一一级级极极点点)(, 2232舍舍去去 z cos2-11d022 2021-12-1314四四、 4. 4. xxxxd0 9)1)(cos22解解:

10、)4816(2Re2131ieiei 原原式式9)1)(22 zzezfiz)(令令izizzzezzfs 9)1)(22),(Re1,3,)(21izizzf 极极点点在在上上半半平平面面有有两两个个一一级级ie161 iezzfs48),(Re32 48)3(31 ee2021-12-1315五五、求区域求区域1Im0, 0Re:D zzz在映射在映射zwi 下的像。下的像。解解: 010i 0212ii 1)1(1021iii(z)(w)010ii/21+i(1+i)/2i212021-12-1316六六、求把下图阴影部分、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。映射到单位圆内部的保

11、形映射。i-i3 33 3 (z)(w)(z2)(z1)312zz ii22 zzwi33i3333 zzzzw3z3zz 12021-12-1317,(0)1,(0)2yytyy 七七、用拉氏变换求解方程：、用拉氏变换求解方程：(1) 对方程两边取拉氏变换得：对方程两边取拉氏变换得：221)()0()0()(ssYysysYs 221)(2)(ssYssYs )1(112)(222 sssssY解：解：)1(122223 ssss2021-12-1318)1(112)(222 sssssY111121)(2222 ssssssY(2) 求拉氏逆变换求拉氏逆变换ttttysin3cos)( 方

12、法一：方法一：利用部分分式求解利用部分分式求解2021-12-1319)1(112)(222 sssssY(2) 求拉氏逆变换求拉氏逆变换)1(122223 ssss方法二：方法二：利用留数求解利用留数求解一阶极点一阶极点,3, 2is 二阶极点，二阶极点，,01 s0,)(RessY 222322) 1()e ) 12(e )43)(1(ssstsssstststet 02223)1(e )12(2 sstssss )1(e )12(ddlim2230sssssts2021-12-1320ttttysin3cos)( isstissssisY )(e )12(,)(Res223;e2321i

13、ti ittyitititit2ee32ee)(;0,)(RestsY stesteisstissssisY )(e )12(,)(Res223,e2321iti ste2021-12-1321)(zf八八、设函数、设函数在在Rz 上解析，证明：上解析，证明：)|(|),(d)()(i2|222RzzfzRzfzRR 证明：证明：zRz221, (1) 奇点奇点由于由于外外在在故故RRz |,|2(2) 左边左边=d)()(1i2|222 zRfzzRRzzRfzR 222)(i2i2|)(zf 2021-12-1322 (7) 0;310(8) 2coscos00tt )2222(3ie ,

14、)12(Zkik 一一、(1) 1,; (2) (5) ; (4) u,v 在在D内可微，且满足内可微，且满足CR方程方程 (3) ,4; (6) 可去奇点可去奇点2021-12-1323(1) (1) 预处理：使边界至多由两段圆弧预处理：使边界至多由两段圆弧( (或直线段或直线段) )构成。构成。一般步骤：一般步骤：(2) (2) 将边界的一个交点将边界的一个交点z1 1映射为映射为，(3) (3) 将角形域或者带形域映射为上半平面。将角形域或者带形域映射为上半平面。(4) (4) 将上半平面映射为单位圆。将上半平面映射为单位圆。工具：工具：几种简单的分式映射、幂函数等。几种简单的分式映射、幂函数等。 另一个另一个( (交交) )点点z2 2映射为映射为0 0 从而将区域映射为角形域或者带形域。从而将区域映射为角形域或者带形域。工具：工具： 21zzwkzz 工具：工具： ,nwz ,nwz e ,zw ( (对于角形域对于角形域) )( (对于带形域对于带形域) )工具：工具： ,ziwzi ( (无附加条件无附加条件) )( (由附加条件确定由附加条件确定 0 0 , ,z0 0) )000e,izzwzz 2021-12-1324 先通过先通过Laplace变换将微分