单自由度机械振动系统任意时间函数力

1、1.1.3 单自由度机械振动系统任意时间函数力单自由度机械振动系统任意时间函数力 激励的受迫振动激励的受迫振动1.1 1.1 单自由度机械系统的振动单自由度机械系统的振动 内容提要u一、一、任意周期函数的力对机械振动任意周期函数的力对机械振动 系统的作用系统的作用u二、二、非周期力作用下单自由度振子非周期力作用下单自由度振子 的振动的振动 为周期力：为周期力： 运动方程：运动方程：)(tf)()(nTtftf)(22tfDxdtdxRdtxdmm 由于方程是线性的，所以由于方程是线性的，所以 和和 可以看可以看作是一个线性系统的输出和输入（激励和响应）：作是一个线性系统的输出和输入（激励和响应

2、）： )(tx)(tf一、一、 任意周期函数的力对机械振动系统的作用任意周期函数的力对机械振动系统的作用根据线性系统的迭加原理，若根据线性系统的迭加原理，若 是是 的响应，的响应， 是是 的响应；的响应；则则 的响应是的响应是 对于线性系统，若激励对于线性系统，若激励 是频率为是频率为 的简谐函数，则响应的简谐函数，则响应 也必是频率也必是频率 为的简谐函数，在为的简谐函数，在 中并不会有其它频率中并不会有其它频率分量。分量。)()()(21tftftf)(1tx)(1tf)(2tx)(tf)()()(21txtxtx)(2tf)(tx)(tx一、一、 任意周期函数的力对机械振动系统的作用任意

3、周期函数的力对机械振动系统的作用由此可知求周期力激励下系统响应的方法为：由此可知求周期力激励下系统响应的方法为： （1 1）把把 表示成傅立叶级数形式：表示成傅立叶级数形式： )(tf)cos()(0nnnntAtf)cos()(022nnnnmtAtfDxdtdxRdtxdm（2 2）取，取，)cos()(nnnntAtf一、一、 任意周期函数的力对机械振动系统的作用任意周期函数的力对机械振动系统的作用（3 3）令，）令， 是是 激励下的位移响应，则：激励下的位移响应，则：)(txn)(tfn)cos()()()()(22nnnnnnmntAtftDxdttdxRdttxdm一、一、 任意周

4、期函数的力对机械振动系统的作用任意周期函数的力对机械振动系统的作用若：若： ，则：则：其特解（稳态解）为：其特解（稳态解）为：其中，其中， （振动系统的机械阻抗）（振动系统的机械阻抗）)(Re)(txtxnnj()( )ej()nntnnnnAx tZ()j()nmnnDZRm2j()2( )( )( )entnnmnnd x tdx tmRDx tAdtdt一、一、 任意周期函数的力对机械振动系统的作用任意周期函数的力对机械振动系统的作用j()0( )Re ( )Reejj()nntnnnmnnAx tx tDRm所以所以:j()00( )( )ejj()nntnnnnnmnnAx tx t

5、DRm（4 4）由线性系统的迭加定理，可知：）由线性系统的迭加定理，可知： 一、一、 任意周期函数的力对机械振动系统的作用任意周期函数的力对机械振动系统的作用综上，此方法过程：综上，此方法过程：(1)(1)周期力周期力 f(t) f(t) 分解成简谐力的迭加分解成简谐力的迭加; ;(2)(2)求出每个简谐力的响应求出每个简谐力的响应; ;(3)(3)再将各简谐力的响应迭加再将各简谐力的响应迭加, ,得到周期力得到周期力 f(t) f(t) 作用下机械系统的响应。作用下机械系统的响应。此方法的条件：方程是线性的。此方法的条件：方程是线性的。 并且，在这里没有考虑暂态解。并且，在这里没有考虑暂态解

6、。一、一、 任意周期函数的力对机械振动系统的作用任意周期函数的力对机械振动系统的作用)(tf为任意函数力为任意函数力运动方程：运动方程：若为若为“0”0”初值问题，则有：初值问题，则有：)(22tfDxdtdxRdtxdmm一、一、 非周期力作用下单自由度振子的振动非周期力作用下单自由度振子的振动对方程两侧取傅立叶变换，对方程两侧取傅立叶变换，记：记： 0| )(0ttx0| )(0ttv0| )(0ttf 分别为分别为 和和 的傅立叶变换的傅立叶变换)()(txFX)()(tfFF)(tf)(tx( )( )j j()mFXDRm有：有：“0”初值问题初值问题一、一、 任意周期函数的力对机械

7、振动系统的作用任意周期函数的力对机械振动系统的作用所以所以 ： j1j1( )e( )( )2j j()1( )e2(j )(j )tmtFx tFXdDRmFdm 对于这个对于这个 的积分可利用的积分可利用留数定理留数定理来做来做),(一、一、 任意周期函数的力对机械振动系统的作用任意周期函数的力对机械振动系统的作用上式中后一项是由系统参数决定的项，对应于暂态上式中后一项是由系统参数决定的项，对应于暂态解；随时间增加，逐渐消失。解；随时间增加，逐渐消失。前一项是由激励力函数的富氏变换函数前一项是由激励力函数的富氏变换函数 的奇点的奇点决定的项，对应于稳态解。决定的项，对应于稳态解。 )(zF

8、jj( )jj1( )e( )2(j )(j )1( )2 j2(j )(j )( )ej(j )(j )(j )e(j )j()22tjztztF ztttFx tdmF z eresm zzF zresm zzFFeemm 上半面上半面奇点傅立叶变换的方法并不是唯一解决此类问题（求任傅立叶变换的方法并不是唯一解决此类问题（求任意力激励的响应）的方法，傅立叶变换是在频域上意力激励的响应）的方法，傅立叶变换是在频域上的办法，当然还可以用时域的办法：的办法，当然还可以用时域的办法： 系统传递函数系统传递函数：)()(1HFtg)()()(FXH系统脉冲响应函数：系统脉冲响应函数：一、一、 任意周期函数的力对机械振动系统的作用任意周期函数的力对机械振动系统的作用对于前例单自由度阻尼振动系统，位移响应的对于前例单自由度阻尼振动系统，位移响应的传递函数：传递函数：( )11( )( )j( )j j()mmXHDFZRmj11e( )( )2