固体物理第三章第三节

1、3-3 一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 一维复式格子的情形一维复式格子的情形 一维无限长链一维无限长链 两种原子两种原子m和和M _( M m) _ 构成一维复式格子构成一维复式格子 M原子位于原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 m原子位于原子位于2n， 2n+2， 2n+4 系统有系统有N个原胞个原胞 同种原子间的距同种原子间的距离离2a_晶格常数晶格常数2121222(2)nnnnM (2) (21)221itna qitnaqnnAeandBe N个原胞，有个原胞，有2N个独立的方程个独立的方程 两种原子振两种原子振动的振幅动的振幅A和和B一一般来说是不同的

2、般来说是不同的 第第2n+1个个M原子的方程原子的方程222121(2)nnnnm 第第2n个个m原子的方程原子的方程方程解的形式方程解的形式)12(12)2(2aqntinqnatinBeAe22(2)(2cos)0(2cos)(2)0mAaq Baq AMB A、B有非零的解，系数行列式为零有非零的解，系数行列式为零2121222222121(2)(2)nnnnnnnnMm 第第2n+1个个M原子原子 第第2n个个m原子原子方程的解方程的解02cos2cos2222Maqaqm221/22()41 1sin()mMmMaqmMmM 一维复式晶格中存在一维复式晶格中存在两种独立的格波两种独立

3、的格波221/22()41 1sin()mMmMaqmMmM221/22()41 1sin()mMmMaqmMmM221/22()41 1sin()mMmMaqmMmM221/22()41 1sin()mMmMaqmMmM 与与q之间存在着两之间存在着两 种不同的色散关系种不同的色散关系 一维复式格子存在一维复式格子存在 两种独立的格波两种独立的格波 光学波光学波 声学波声学波两种格波的振幅两种格波的振幅0)2()cos2(0)cos2()2(22BMAaqBaqAmaqmABcos22)(2aqmABcos22)(2221/22()41 1sin()mMmMaqmMmM 光学波光学波 声学波

4、声学波相邻原胞相位差相邻原胞相位差 aq2)12(12)2(2aqntinqnatinBeAeM和和m原子方程原子方程q的取值的取值波矢波矢q的值的值aqa22 第一布里渊区第一布里渊区 布里渊区大小布里渊区大小周期性边界条件周期性边界条件nnNhaqN2)2(22aNhq a2aq22aNhq Naq h为整数为整数每个波矢在第一布里渊区占的线度每个波矢在第一布里渊区占的线度第一布里渊区允许的第一布里渊区允许的q值的数目值的数目NNaa/ 晶体中的原胞数目晶体中的原胞数目 对应一个对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波有两支格波：一支声学波和一支光学波 总的格波数目为总的格波数目为2N

5、 ： 原子的数目原子的数目: 2Nq的取值的取值色散关系的特点色散关系的特点 短波极限短波极限2qa 两种格波的频率两种格波的频率1/21/21/2max1/21/21/2min2()()()()()2()()()()()mMMmmMMmMMmmMm因为因为 Mmmaxmin)()(maxmin)()(maxmin)()( 不存在格波不存在格波 频率间隙频率间隙 一维双原子晶格一维双原子晶格 叫做带通滤波器叫做带通滤波器10/28 两种格波中两种格波中m和和M原子振动振幅之比原子振动振幅之比aqmABcos22)(2aqmABcos22)(2 光学波光学波 声学波声学波 m原子静止不动，相邻原

6、子振动的相位相反原子静止不动，相邻原子振动的相位相反22()2cosBmAaq cos ()02aa()BA BA2qa 时时m和和M原子振动的振幅原子振动的振幅 声学波声学波 光学波光学波22()2cosBmAaq cos ()02aa1/2min2()()m()0BA M原子静止不动，相邻原子振动的相位相反原子静止不动，相邻原子振动的相位相反 BA长波极限长波极限0q声学波声学波221/22()41 1sin()mMmMaqmMmM1)(sin)(422aqMmmM)sin(2qaMm2()aqmM 声学波的色散关系与一声学波的色散关系与一 维布喇菲格子形式相同维布喇菲格子形式相同 长声学

7、波中相邻原子的振动长声学波中相邻原子的振动0, 0qaqmABcos22)(21)(AB 原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致 代表原胞质心的振动代表原胞质心的振动2()aqmM15/28光学波光学波 长波极限长波极限0q221/22()41 1sin()mMmMaqmMmM1)(sin)(422aqMmmM2,mMmM2,mMmMaqmABcos22)(2MmAB)( 长光学波同种原子振动相位一致，相邻原子振动相反长光学波同种原子振动相位一致，相邻原子振动相反 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动原胞质心保持不变的振动，原胞中原子

8、之间相对运动 两种格波中两种格波中m和和M原子振动振幅之比原子振动振幅之比131402()1010 /s 长光学波与电磁波的作用长光学波与电磁波的作用 在长波极限下，对于典型的在长波极限下，对于典型的 和和 值值 对应于远红外的光波对应于远红外的光波 远红外光波激发离子远红外光波激发离子 晶体，可引起晶体中晶体，可引起晶体中 长光学波的共振吸收长光学波的共振吸收光波的频率光波的频率0c q 波矢远远小于一般格波的波矢，只有波矢远远小于一般格波的波矢，只有 的长光学的长光学 波可以与远红外的光波发生共振吸收波可以与远红外的光波发生共振吸收0q 将可以与光波作将可以与光波作 用的长光学波声用的长光

9、学波声 子称为电磁声子子称为电磁声子20/28 例题例题 一维复式格子中，如果一维复式格子中，如果计算计算光学波频率的最大值光学波频率的最大值 和最小值和最小值 ，声学波频率，声学波频率 的最大值的最大值 ；2) 相应声子的能量相应声子的能量 , 和和 ；3) 在在 下，三种声子数目各为多少？下，三种声子数目各为多少？4) 如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波 波长在什么波段？波长在什么波段？ g1067. 1527km4mMmN /15OminAmaxOmaxKT300OEmaxOEminAEmax 1) 声学波的最大频率声学波的最

10、大频率MA2maxsradA/10314max光学波的最大频率光学波的最大频率2maxOMMmmM2 . 01max46.7 1025/OMrad s光学波的最小频率光学波的最小频率min2Om146 10/rad s4mMmN /15OOEmaxmaxeVEO442. 0maxOOEminmineVEO396. 0minAAEmaxmaxeVEA198. 0max2）相应声子的能量）相应声子的能量MA2max2maxOmO2min3) 某一特定谐振子具有激发能某一特定谐振子具有激发能的几率的几率)21( nnTknBnCeP/1/nTknnBnCePnTkTknBnBneeP/nTkBneC

11、/1nTknTknnBBeeP/根据归一化条件根据归一化条件归一化常数归一化常数(1)BBnk Tk TnPeennnP1()2nnnP(1)2BBnk Tk Tnene1)1 (xxnnnTknTknnBBeeP/频率为频率为 谐振子的平均能量谐振子的平均能量2)1 (xxnxnn)2111(/TkBe/Bk Txe/Bk Txe25/28)2111(/TkBe)(21)(qqnii频率为频率为 谐振子的能量谐振子的能量11)(/TkiBieqn第第i个个q态的平均数声子态的平均数声子频率为频率为 谐振子的平均能量谐振子的平均能量KT300光学波频率的声子数目光学波频率的声子数目11)(/maxmaxmaxTkOOBOeneVTkB026. 0max0.442OEeV-8maxmax1014. 4)(OOn11)(/minminminTkOOBOen-7minmin1042. 2)(OOneVEO396. 0min声学波频率的声子数目声学波频率的声子数目11)(/maxmaxmaxTkAABAen-4maxmax1093. 4)(AAneVEA198. 0maxeVEO