2015北京一模分类函数与导数——理科

1、.选择题 log 1 x 0 1. (东城第 5 题) “ 1”是“ 2 ”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 答案 B 2 2. (东城第 8 题)已知函数f(x) 2mx 2(4 m)x 1，g(x) mx，若对于任意实数x， f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数 m的取值范围是 (A)(,2) (B)(，8) (C)(2,8) (D)( ， ) 答案 B 3. (西城第 5 题)若函数f(x)的定义域为R,则“ x R，f(x 1) f(x) ”是函数 f(x)为 增函数”的( (A) 充分而不必要条件 (

2、B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 答案 B 4. (顺义第 5 题).若4x 4y 1，则x y的取值范围是 A0,1 B. 1,0 C. 1,) 答案 D 5. (顺义第 8 题).已知f(x)为定义在 R上的偶函数，当x 0时，有f(x 1) f(x)， 且当x 0,1)时， f(x) log2(x 1)，给出下列命题 f(2014) f( 2015) 0； 函数f(x)在定义域上是周期为 2的函数； 直线y x与函数f(x)的图象有 2 个交点；函数f(x)的值域为(1,1). 其中正确的是 A， B.， C.， D.， 答案 C 2 6. (房山第

3、5 题).已知二次函数f(x) ax bx ,则“f(2) 0 ”是函数f(x)在(1，) 上为增函数的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 7.（房山第 8 题）一个人骑车以6米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车 ,当他离 汽车25米时，交通信号灯由红变绿，汽车开始做变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同）, 若汽车在时刻t的速度v（t） t米/秒，那么此人（ ） A.可在7秒内追上汽车 B.不能追上汽车，但其间最近距离为 16米 C.不能追上汽车，但其间最近距离为14米 D.不能追上汽车，但其间最近距离为7米 答案 D x 1

4、、2 cos （为参数）被直线y 0截得的劣弧长为（ （C） 2、2 n （D） 4 n 答案 A 9.（海淀第 8 题）某地区在六年内第x年的生 产总值y （单位：亿元）与x之间的关系如图 所示，贝 V 下列四个时段中，生产总值的年平 均增长率最高的是（ ） 答案 A 10.（朝阳第 4题）“ x R, x2 ax 1 0 成立”是閻2 ”的 A.充分必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件8.（海淀第 5 题）圆 .2 n （A） 2 y 1 、2 sin （A） 第一年到第三年 （B） 第二年到第四年 （C） 第三年到第五年 （D） 第四年到第六年

5、;11 r 答案 A 12. (朝阳第 8 题) 设集合 M = (x% 2 2 x0 y。 20,x0 Z,y。 Z 血 M 缶一击砧人 数为 A. 61 B. 65 C. 69 D.84 答案 C 二.填空题 1.(东城第 13 题)已知函数f(x)是R上的减函数，且y f(x 2)的图象关于点(2，)成 f(u) f(v 1) , 中心对称.若u，v满足不等式组f(u V 1) ，则U2 V2的最小值为 _ 1 答案 2 _ 2.(东城第 14 题)已知x R，定义：A(x)表示不小于x的最小整数如A(-、3) 2 , A( 1.2) 1 若A(2x + 1) 3，则x的取值范围是 _

6、； 若x 且A(2x A(x) 5，则x的取值范围是 _ . 答案(2,1 3.(顺义第 14 题).已知函数f(x) 3sin x f (xj 2, f (X2)0且以X2 I的最小值等于答案 A xi 11. x. (朝阳第 6 题).设X1，X2，X3均为实数，且 log 2 X3 贝V log2(X1 1) log3X2 A. X1 X3 X2 B. X3 X2 X1 C. X3 X1 x. D. X, X1 X3 cos x( 0), x R.又 .则的值为 _ 1 答案 2 4.(房山第 14 题).已知函数y f(x)是R上的偶函数，对 x R，都有 f(N) f(X2) 0 f

7、(x 4) f(x) f(2)成立当 Xi , x2 0,2，且 X x2 时，都有 X1 x2 , 给出下列命题：(1)f(2) 0 ；( 2)直线x 4是函数y f(x)图象的一条对称轴；(3) 函数y f(x)在4,4上有四个零点；(4)f 2015 f 1 .其中所有正确命题的序号为 点，贝V a的取值范围是 答案(，0儿(1，) 三解答题 1.(东城第 18 题)(本小题共 13 分) f (x) x - l nx 已知函数 x , a R. (I)若f(x)在x 1处取得极值，求a的值； ()若f(x)在区间(1,2)上单调递增，求a的取值范围; (川)讨论函数g(x) f (x)

8、 x的零点个数. f(x) 答案解：(I)因为 由已知f(X)在x 所以0. 答案(1)( 2)( 4) f (x) 5.(海淀第 14 题)设 3 x ,x 2 x ,x a, a.若存在实数b，使得函数g(x) f(x) b有两个零 解得a 所以a 2 2 经检验a 2时， f(x)在X 1处取得极小值 a 1 X2 x a f(x) 1 2 - H)由(I) 知， X X x x 0 1处取得极值， 因为f (x)在区间(1,2)上单调递增， 所以f(x) 0在区间(1,2)上恒成立. 即a X? X在区间(1,2)上恒成立. 所以a 2. 1 2 a 1 x x a 1 2 2 x x

9、 x(口)因为 g(x) f (x) x g(x) 1 a 1 x 所以 x x x 0 令g(x) 0得 a 3 x 2 x x 3 令 h(x) x 2 x x x 0. 2 h (x) 3x 2x 1 (3x 1)(x 1) 当X (0,1)时，h(x) 0 , h(x)在(0,1)上单调递增， x (1,)时，h(x) 0 , h(x)在(1，)上单调递减. 所以 h(x)max h(1) 1 综上：当a i时，函数g(x)无零点， 当a 1或a 0时，函数g(x)有一个零点， 当0 a 1时，函数g(x)有两个零点. 13 分 2. (西城第 15题).(本小题满分 13 分) f(

10、x) 4cosxsin(x n) 设函数 3 , x R. n x【， / (I)当 2时，求函数f(x)的值域； ()已知函数y f(x)的图象与直线y 1有交点，求相邻两个交点间的最短距离 1 /3 :- f (x) 4cosx(sin x cosx) 3 分 3 c n彳 sin (2x )1 所以 2 3 , 即 3=f (x) 2 , 5 n x 其中当 12时，f(x)取到最大值 2；当x 0时，f(x)取到最小值 3 , I- 答案 (I) 解:因为 2 2 . 1 分 2sin xcosx 2 3 cos2 x . 3 f sin 2x . 3cos2x . 3 分 2sin

11、(2x n 二 3 , . 5 分 n 0 x- 因为 2 , n n 2 n 2x 所以函数f(x)的值域为3,2. . 2sin(2x -n) 1 sin(2x -n)- (n)依题意，得 3 , 3 2 ,（I）当n 1时，写出函数y f（x）1零点个数，并说明理由； （n）若曲线y f（x）与曲线y g（x）分别位于直线l: y 1的两侧，求n的所有可能取 值. 答案 （I证明： 结论：函数 y f(x) 1不存在零 占 八、 1 分 ln x 1 In x f(x) f (x) 2 当n 1时， x，求导得 x . 2 分 令 f（X）0，解得 x e. . 3 分 当X变化时，f（

12、X）与f（x）的变化如下表所示: x (0,e) e (e,) f (x) 0 f(x) / 所以函数f（x）在（，e）上单调递增，在（e，）上单调递减,则当x e时, 函数 f（x）有最大值 f (e) 分 所以函数 y f(x) 1的最大值为 f(e) 所以函数 y f(x) 1不存在零点. - e. . 4 1 1 1 0 e , . 5 nn 只 n 5 n 2 2k 2x 2 所以 3 6 或 3 6 分 n 7 n , x knk 所以 4 或 12 (k Z) 12 1的两个相邻交点间的最短距离为 13 分 3. （西城第 18 题.） （本小题满分 13 分） 函数 f(x)

13、ln x n x 函数g（x） x e n x , x (0, 10 分 所以函数y f（x）的图象与直线y 令 f (x) 0，解得 x en. 当x变化时，f(X)与f(x)的变化如下表所示: x 1 (0,en) 1 e 1 0, ) f (x) 0 f(x) / 令g (x) 0，解得x n. 当x变化时，g (x)与g(x)的变化如下表所示: x (0, n) n (n,) g (x) 0 g(x) / 所以函数g(x)在(，n)上单调递减，在(n，)上单调递增, ,、 g(n) 则当x n时，函数g(x)有最小值 (U)解：由函数心 In x xn求导，得 1 f (x) 1 nl

14、n x xn1 因为n N 1 f(e；) 所以曲线y 解得n e. ，函数f(x)有最大值 In x xn在直线l：y 1的下方，而曲线 ne x e_ xn在直线1:y 1的上方, 12 所以函数f(x)在(0，en)上单调递增，在(en,)上单调递减, 丄 ne ； 1 则当x en时，函数f(x)有最大值 x ,注g(x) 由函数 x ， 1 f(en) x (0,)求导，得 g(x) ex(x n) 1 所以n的取值集合为1,2. 13 分 4.(顺义第 18 题).(本小题满分 13 分) 2 2 已知函数f(x) ax ax ln x. (I )当a 0时，求函数f(x)的单调区

15、间； 2 2 (ii)设g(x) ax f(x)，且函数g(x)在点x 1处的切线为I，直线I / I，且I在 y轴上的截距为 1.求证：无论a取任何实数，函数g(x)的图象恒在直线I的下方 答案 f (x) 2 2 (|)解：f (x) a x ax In x 2 2 c 2 1 2a x ax 1 2a x a x x (ax 1)(2ax (x 0) x .2 分 X 1 2a la 0 + 所以，a 0时，f(x)与f (x)的变化情况如下: 因此，函数 (丄 ) f(x)的单调递增区间为 2a ； 单调递减区间位 (0占 6 (II )证明：9 ) a2x2 f (x) Inx ax

16、 (、1 g (x) a x 所以g (1) 1 a 所以丨的斜率为 ki 1 a . 7 分 因为1 1，且1在y轴上的截距为1 所以直线l的方程为 y (1 a)x 1 .8 分 1 in x x 1 (x 0) 令 h(x) g(x) (1 a)x 则无论a取任何实数，函数 g(x)的图象恒在直线i的下方，等价于h(x) 0 (a R, x 0) . 9 分 而 、1 1 x h(x)- 1 - x x .10 分 当 x (0,1)时，h (x) 0当 x (1, )时，h (x) 0 所以函数 h(x)在(0,1)上单调递增，在 (1，)上单调递减 从而当x 1时，h(x)取得最大值

17、h(1) 2 即在( , )上，h(x)取得最大值 h(1) . 12 分 所以h( 2 0( a R, x 0) 因此，无论a取任何实数，函数g(x)的图象恒在直线i的下 方 . 13 分 5.(顺义第 20 题.)(本小题满分 13 分) III nk ll|,k N)，这些项都能够构成以ai为首项，q( q 5,q N)为公比的等 比数列ank, k N ?若已知二次函数y f (x)的图象的顶点坐标为 和为Sn，点(n，Sn)(n N )在二次函数y (I )求数列an的通项公式； (II)设 bn an an 1 cos (n 1) ,( n N )， 恒成立，求实数t的取值范围；

18、(III )在数列an中是否存在这样一些项： (1 -) 3，且过坐标原点0.数列an的前n项 f(X)的图象上 2 数列bn的前n项和为Tn，若Tn tn对n N an , an2 , an3 J I | , ank (1 n1 匕 n3 存在，写出nk关于k的表达式；若不存在，说明理由. f(x) 1(x 1)2 解(I)由题意可知 31 2 112 2 0 (n 1) n n(n N ) 3 3 3 3 .1 分 当n 2时，an S1 S1 1 32 1 2 (n 1)2 3(n 1) 2n 1 3 当n 1时a1 Si 1适合上式 (II )因为 bn an3n 1 cos(n 1)

19、 ,(n N ) 所以 Tn b b2 (I) bn aa2 a2 a3 8384 川 (1)n 1anan 1 2 当n 2m, N时， Tn T2m aa2 &2&3 a3 a4 a4a5 ( 2m 1 1) a2ma2m1 a2 (a1 a3) a4( a3 a5) Hl a2m(a2m 1 a2m 1 ) 4“ 4 a2am 3 2 4 a2m) 3 2 1 (8m2 12m) 9 当 n 2m 1,m N 时, (1)2m 1 a2 ma2m 1(8m2 12m) 1(16m2 16m 3) 9 1(8m2 4m 3) 1(2 n2 6n 7). 9 9 为正偶数,

20、答案 所以 所以，数列an的通项公式为 an 2n-(n N ) 3 . 4 分 由(I)可知，数列an是以 1 为首项，公差为3的等差数列 1(2n2 6n). . 7 分 要使Tn 对n N 恒成立， 扣6n) tn 2( n 只要使 9 为正偶数)恒成1一 6、 即使9(2 n) t对n为正偶数恒成立, 故实数t的取值范围是 .9 分 2n 1 an (III )由 3 知，数列an中每一项都不可能是偶数 如存在以ai为首项，公比q为 2或 4 的数列ank, k N，此时%中每一项除第一项外 都是偶数，故不存在以ai为首项，公比为偶数的数列ank. 当q 1时，显然不存在这样的数列an

21、k. 当q 3时，若存在以ai为首项，公比为 3 的数列ank, k N，则ani k 1 2nk 1 Tn 所以 1(2n2 1(2n2 6n), n 6n 7),n 3k 1 2 所以存在满足条件的数列ank，且 nk 3k 1(k N). . 13 分 5.(房山第 15 题).(本小题共 13 分) 2 f(x) sin(2x )2cos x 1(x R) 已知函数 6 (I)求f(X)的单调递增区间； (n)在厶ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知 外接圆的半径为、3，求a的值. 1 2 ,且厶ABC 答案解：(I) 1 ni 1,ank 3 :, k 32 分

22、 3 f(x) sin(2x 6) 2 cos2 x 3sin2x cos2x cos2x 2 2 f(x) (n) f(A) 6. 2in2x 2 1 cos2x 2 sin (2x 6) 2k 2x 2k (k Z 得, (k Z) 5 分 的单调递增区间是 2A 于是 sin(2A 云) 5 ABC外接圆的半径为 3 a 由正弦定理si nA a 2Rsi nA 2、3 2R ，得 山3 2 13 分) (房山第 18题).(本小题共 1 2 f (x) ax2 x ln(1 x) 已知 2 ，其中 (I )若函数f (x)在点(3,f (3)处切线斜率为 (n )求f(x)的单调区间；

23、 (k 2A Z) 10 13分 ，求a的值; 2 分 3 f(x)在0, 上(m)若0，求a的取值范围. 的最大值是x (1,0) 0 (0,- -1) 1 (1,1) f (X) 一 0 + 0 一 答案 由f (3) (n)令f (x) = 0? X1= 0, X2= 1, 当 0a1 时，X11 时，一 1x20 f(x)与f (X)的变化情况如下表 x (-1,-1) -1 (-1,0) 0 (0，+) f (x) 0 + 0 f(x) f( -1) f(0) f(x)的单调递增区间是(一 1,0), f (x)的单调递减区间是(一 1，- 1)和(0，+. 综上，当 0a1, f(

24、x)的单调递增区间是(一 1,0). f(x)的单调递减区间是(一 1，- 1), (0,+ ). 当a= 1 时，f(x)的单调递减区间为(一 1,+ ) . . 9 分 (川)由(n )可知 当 0af(0) = 0，所以 0a 1 时，f (x)在(0 ,+兔)上单调递减， 由f(x) 1. . 13 分 7. (海淀第 15题)(本小题满分 13 分) f(x) sin2(x * 已知函数 4 . (I)求 f(x) 的最小正周期及其图象的对称轴方程 f(n x) (n)求 3 的单调递减区间 答案解：(I)因为 1 sin2x 2 所以f(x) 1 cos2(x 4) 2 6 分 s

25、in 2( x) 1 f (- x3 n) 3 2 1 2 1 sin(2x -)- 2 2 . 2k n 冗 2 n 2x 2k n n(k Z) 令 2 3 2 k 7t x kn 7n(k Z) 得 : 12 12 所以fG X）的单调递减区间为Z l2，kn徐k Z） 8. （海淀第 18 题）（本小题满分 13 分） f （x） alnx -（a 0） 已知函数 x （I）求函数f（x）的单调区间； (n)若x f(x) 0 b，c（其中b c ）,求a的取值范围，并说明 b,c (0,1). 答案解： (I) .，、 a 1 ax 1 f (x)- 2 2 (x 0) x x x

26、2 分 (i)当 1 a 0时， f（x） 0，则函数f（x）的单调递减区间是（0, ). . 3分 1 (ii)当 I a 0时， 令 f(x) 0，得 X ；. 当X变化时，f （X）, f （x）的变化情况如下表 x (0,-) a 1 a （丄，） a f(x) 0 2x k n n. 、 k n n_、 -(k Z) x - -(k Z) 令 2 ， 得： 2 4 k n 冗所以 f(x) 的最小正周期为 x n对称轴的方程为 2 4(k Z) 13分 6 分 f(x) 极小值 / 5 f( ) (0,1) 所以f(x)的单调递减区间是 a，单调递增区间是 因为f(x)在(0,a)内

27、是减函数，在(a)内是增函数, 所以x f (x) 0 b,c. 综上所述，a的取值范围是(e,+ ). . 12 分 1 1 1 b (飞，一)c () 因为 a a , a , 所以b,c (O,1). . 13 分 9. (朝阳第 15题).(本小题满分 13 分)分 (H)由(I)知： a f(x)在区间(，)内是减函数，所以, 函数 f(x)至多存在一个 . 6 时，因为 x f(x) 所以 b,c，必须 f(x)在 f) a 1 ( ,-)、， a内是减函数，在 ,1 c aln a ，即 e时, f(2) a 1 aln (p) a (丄 2a In a a2 )内是增函数，所以

28、要使 (a 2ln a) 令 g(x) x 当x 所以 所以 e时， 当a i f(4) a 2ln x(x g(x) e时, 因为 1 2 a 1 2 x g(x)在e, g(x) e)，则 ，所以， g(a) x 2 (x x )上是增函数. e 2 e) 所以 不妨记为 11 分 f(-) a 1 -) 0 f (1) 1 0 1 (_ 1) f (x)在 a2 a内存在一个零点，不妨记为 b，在a 内存在一个零点, 2 i 已知函数 f(x)cos x p3sinxcosx , x R . (I)求 f(x)的最小正周期和单调递减区间； ()设x m (m R)是函数 y f(x)图象的对称轴，求sin4m的值. 答案解：(I)由已知, 函数 1 2(1 2 f (x) cos x 、3sin xcosx v3 cos2x) sin2x sin(2 x 函数f (x)的最小正周期为 2x 2k n 3n 数f(x)的单调减区间为 2 时(k Z n 八 k n+ , kn+ - 6 3 k ),即 2n k n+ 6 kn+2n f() 3时，函数f(x)为减函数.即函 .9 分 (n) 由x m是函数y 4m 2k k Z .则 f(x)图象的对称轴，则 i 4 朽 sin 4m 3 .则 2m n n =k n 6 2 ( k Z)，即 .13 分 10. (