高二理科数学《3..2立体几何中的向量方法（五）》

1、 立体几何中的向量方法 (五)1、教学任务分析：学生已有的相关知识是：线面平行判定、线面垂直判定、求二面角的的平面角的大小的传统几何方法与向量方法，并且经历了解决上述单个问题的过程，积累了初步用坐标法解决问题的经验与具体方法。这一节课的任务是：1）已知一直线一平面，求证直线与平面平行2）已知一直线一平面，求证直线与平面垂直 3）给定两个半平面，求二面角的大小。从学生已有的知识与经验来看，可以把立体几何问题转化为空间向量问题，从而完成任务。从课型上说：属于“问题教学”，以问题为载体，学生在老师的引导与帮助下，分析、研究问题，制订解决问题的策略，选择解决问题的方法。通过一个数学问题的解决，让学生参

2、与教学过程，这个过程中，老师尊重学生的思维过程，充分发挥学生在学习中的主动性以及他们之间的合作交流。2、教学重点与难点重点：对立体几何的主要向量方法进行综合训练难点：选择恰当的解决问题的方法3 教学基本流程4 教学情境设计问 题设计意图师 生 活 动问题1：回顾前面讨论过的问题，请你概述用向量方法解决立体几何问题时一般经历怎样的过程。 立体几何中的确向量方法可以归纳为三步：（1）把几何问题转化为向量问题；（2）进行向量运算；（3）由向量运算解释几何问题。问题1有助于加强学生对解题通法的整体认识。 教师引导学生结合前面的例题从整体上归纳解题过程，留给学生一定时间，使其通过思考能明确认识“三步曲”

3、各阶段的主要任务，并能简明地叙述出来，为对本节后续内容的整体把握作准备。问题2：阅读例4，请你找出其中的已知条件和求解问题。这些求解问题能用向量方法解决吗？ 通过阅读题目，使学生明确题中所给出的条件和求解的问题，从需要完成的任务理出本题可以用向量解决的大体思路。 例1如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点是的中点，作交于点 (1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求二面角的大小。分析本题涉及的问题包括：判定直线与平面平行和垂直，计算二面角的大小，这些问题都可以利用向量方法解决。由于已知条件中四棱锥的底面是正方形，一条侧棱垂直于底面，所以非常适合建立空间直角坐标系表示向量。 问题3：从例

4、4的已知条件和求解问题看，你认为应怎样把问题向量化？如果建立坐标系，应怎样建立？ 初步建立已知条件与求解内容两者间的联系，使学生意识到通过把向量坐标化解决问题，培养他们结合题中条件建立适当坐标系的能力。教师引导学生关注已知条件中有“三角线段两两垂直且彼此相等”这一条件，使学生由此联想到选择这些线段所在直线为坐标轴、以线段长（正方形边长）为单位长度建立空间直角坐标系，并意识到这是适合本题的坐标化方法。教师要求学生写出点的坐标，并进一步写出等的坐标。问题4：考虑4（1），要证平面，应如何入手？ 运用直线与平面平行的判定定理，需证明与平面内一直线平行。找出这条直线的过程可以锻炼直觉观察能力；证明两线

5、平行可以巩固对直线的方向向量、共线向量等概念的理解。教师从“要证平面”出发，启发学生考虑直线与平面平行的判定条件，引导学生通过讨论发现 与有平行关系，从而自然地想到写出的坐标，并由证出，进而证出平面。解析如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设。（1）证明：连结交于点，连结依题意得A（1，0，0），P（0，0，1），E（0，）。因为底面是正方形，所以点是此正方形的中心，故点的坐标为（），且所以而平面，且平面因此平面。法二：设 共的又平面 平面.问题5：考虑例4（2），要证平面，应如何入手？ 运用直线与平面垂直的判定定理，需证明与平面内两相交直线垂直。找出这两条直线的过程可以锻炼分析已知条

6、件以及看图能力；证明直线间的垂直关系的过程可以巩固对两非零向量的“数量积为0”的几何意义的认识。教师从“要证平面”出发，启发学生考虑直线与平面垂直的判定条件，让学生讨论：应证明与哪些线段垂直，用向量方法怎样证？在讨论的基础上，由学生自已写出主要证明过程，即（已知），平面。解析 (2)证明：依题意得又故 所以。由已知，且。所以平面问题6：考虑例4（3），要计算二面角的大小，应如何入手？ 计算二面角的大小，首先要找出其平面角，转而计算平面角的大小。计算角的大小时，向量是非常有力的工具。解决这个问题可以巩固对运用向量方法求角度的掌握。教师从“计算二面角的大小”出发，启发学生如何找出相应的平面角，让学

7、生讨论：哪个角是二面角的平面角，用向量方法怎样计算它的大小？教师引导学生考虑：点的坐标对计算是否重要？怎样利用题中条件确定点的坐标？让学生通过讨论写出确定点坐标的过程，再进一步考虑并表达通过计算的过程。法一：（3）已知，由（2）可知故是二面角的平面角。设点的坐标为，则因为，所以即因为所以所以点有坐标为又点的坐标为所以因为所以即二面角的大小为.法二：法向量法：由已知可证平面，平面.故平面法向量平面法向量故二面角为法三：方向向量法：过、分别作棱的垂线、垂足、，仿法一求、坐标.只求即为所求. 同学们课后练习.问题7：考虑例4后的思考题1.思考题1可以使学生进一步体会向量方法中坐标化对简化计算所起的作用。学生结合刚讨论过的例题，对思考题进行思考和讨论，教师适当点拨引导。注意不要就题论题，而要透过例题看到解题中的基本想法。师：你能不建立坐标系，用向量法完成证明吗？学生尝试，教师指导证明（1）不共面,为一个基底,取中点为，则，面，面.（2）=.，.又，面.（3）面.，.即为二面角的平面角.不妨设.则，. ，. 问题8：考虑例4后的思考题2.思考题2可强化综合法，理会各方法的简繁，灵活选用三种方法解题.综合法怎样题：作，证，求。你能解求出吗？请课后练习.小结立体几何中的不同方法。加