2015年直线与圆的位置关系解析

1、第 1页（共 49页） 2015 年直线与圆的位置关系 一 选择题（共 14 小题） 1. （ 2015?宁波模拟）如图，O O 的半径为 1,正方形 ABCD 的对角线长为 6, OA=4 .若将 O O 绕点 A 按顺时针方向旋转 360在旋转过程中，O O 与正方形 ABCD 的边只有一个公 共点的情况一共出现（ ） A. 3 次 B. 4 次 C. 5 次 D. 6 次 2 . （2015?余姚市模拟）如图，在平面直角坐标系中, 半径为 2 的O M 的圆心坐标是（4, 2）, k 个单位后恰好与O M 相切，则 k 的值是（ ） 4. （ 2013?咅城区校级自主招生）如图，在平面直

2、角坐标系中，过格点 点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ） A , B, C 作一圆弧, 2 匸 第 2页（共 49页） 1+2或 1+4 = C . 9+2或 9 - 2 D . 10+2 或 10- 3. （ 2015?可北模拟）已知直线 I与半径为 2 的O O 的位置关系是相离，则点 O 到直线 I的 距离的取值范围在数轴上的表示正确的是（ ）第 3页（共 49页） A .点（0, 3） B.点（2, 3） 0 点（6, 1） D .点（5, 1） 中，AB=5 , BC=3 , AC=4，以点 C 为圆心的圆与 AB 相切, 7. （2015?达州）如图，AB 为半圆

3、 O 的在直径，AD、BC 分别切O O 于 A、B 两点，CD 切 OO 于点 E,连接 OD、OC,下列结论：/ DOC=90 AD+BC=CD , jAOD : 2 2 2 SABOC=AD : AO , OD : OC=DE : EC, OD =DE ?CD，正确的有（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 & （ 2015?枣庄）如图，一个边长为 4cm 的等边三角形 ABC 的高与O O 的直径相等.O O 与 BC 相切于点 C,与 AC 相交于点 E,则 CE 的长为（ ）5. （2012?上城区二模）如图，在直角坐标系中, O O 的半径为 1,

4、则直线 y= - 2x+ 与O O D. 2.6 的位置关系是（ ） 相切 D 无法确定 6. （ 2015?嘉兴）如图， ABC 则O C 的半径为（ ） 2.5 第 4页（共 49页） 9. （2015?衢州）如图，已知 ABC , AB=BC，以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D，过点 D 的 O O的切线交 BC 于点 E.若 CD=5 , CE=4，则O O 的半径是（ ） 10. （2015?湖州）如图，以点 O 为圆心的两个圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点 C, OA 交小 圆于点 D，若OD=2，阮OAB= 则AB的长是（） 12. （2015?湖州）如图，AC 是矩形 AB

5、CD 的对角线，O O 是厶 ABC 的内切圆，现将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 FG.点 F, G 分别在边 AD , BC 上，连结 OG, DG .若 OG 丄 DG,且O O 的半径长为 1,则下列结论不成立的是（ ）A. 4 B. 2 : C. 8 D. 4 : 11. （2008?凉山州）如图, PA、PB 分别是O O 的切线，A、B 为切点，AC 是O O的直径, 已知/ BAC=35 / P 的度数为（ ） B C A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 1.5cm D. 70 第 5页（共 49页） A . CD+DF=4

6、B. CD - DF=2 :- 3 C. BC+AB=2 4 D. BC - AB=2 30 得正方形 AB1C1D1, BiCi ) 14. 如图，两个同心圆，大圆的半径为 5,小圆的半径为 3，若大圆的弦 AB 与小圆有公共 点，则弦 AB 的取值范围是（ ）A . 8B 10 B . 8 V AB 10 C . 4AB 5）,函数 y=x 的图象被O P 截得的弦 AB 的长为4晶，贝U a 的值是 _ . 23. （2014?义乌市）如图 2 是装有三个小轮的手拉车在 爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮 架杆 OA , OB, OC 抽象为线段，有 OA=OB=OC，且/ AOB=120

7、 折线 NG - GH - HE - EF 表示楼梯，GH, EF 是水平线，NG, HE 是铅垂线，半径相等的小轮子O A , O B 与楼梯 两边都相切，且 AO / GH . （1） 如图 2，若点 H 在线段 OB 时，则：H 的值是 ； _ 0H （2） 如果一级楼梯的高度 HE= （8 ；+2） cm,点 H 到线段 OB 的距离 d 满足条件 dWcm, 那么小轮子半径 r 的取值范围是 _ . 圏i 图2 图2第 9页（共 49页） 三解答题（共 7 小题） 24. （2015?临沂）如图，点 O 为 Rt ABC 斜边 AB 上一点，以 OA为半径的O O 与 BC 切 于点

8、 D，与 AC 交于点 E,连接 AD . （1） 求证：AD 平分/ BAC ; （2） 若/ BAC=60 OA=2，求阴影部分的面积（结果保留 n）. 25. （2015?温州）如图， AB 是半圆 O 的直径，CD 丄 AB 于点 C,交半圆于点 E, DF 切半 圆于点F.已知/ AEF=135 （1）求证：DF / AB ; （2 ）若 OC=CE , BF=.二求 DE 的长. 26. （2007?广州）如图，在 ABC 中，AB=AC，内切圆 O与边 BC、AC、AB 分别切于 D、 E、F. (1) 求证:BF=CE ; (2) 若/ C=30 CE=2W，求 AC . 27

9、. （2015?丽水）如图，在 ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O O 分别与 BC, AC 交于 点 D , E,过点 D 作O O 的切线 DF，交 AC 于点 F. （1） 求证：DF 丄 AC ; 第 10页（共 49页） （2） 若0 O 的半径为 4，/ CDF=22.5 求阴影部分的面积.第 8页(共 49 页) 28. (2015?湖州)如图，已知 BC 是O O 的直径，AC 切O O于点 C, AB 交O O 于点 D, E 为 AC 的中点，连结 DE . (1 )若 AD=DB , OC=5，求切线 AC 的长； (2)求证：ED 是O O 的切线. 29.

10、(2015?随州)如图，射线 PA 切O O 于点 A，连接 PO. (1 )在 PO 的上方作射线 PC,使/ OPC= / OPA (用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作 法)，并证明：PC 是O O 的切线； PC BO O 于点 B , AB=AP=4，求厂的长. 30. (2015?黔南州)如图，在 Rt ABC 中，/ A=90 O 是 BC 边上一点，以 O 为圆心的 半圆与 AB 边相切于点 D，与AC、BC 边分别交于点 E、F、G,连接 OD,已知 BD=2 , AE=3 , 2 tan/ BOD=. 3 (1 )求O O 的半径 OD ; (2)求证：AE 是O O 的切线

11、； (3 )求图中两部分阴影面积的和.S V n 儿牧 IN Xft-? f 第 12页（共 49页） 第 13页（共 49页） S V n 儿牧 IN Xft-? f 第 14页（共 49页） 2015年直线与圆的位置关系 参考答案与试题解析 一 选择题（共 14 小题） 1.（ 2015?宁波模拟）如图，O O 的半径为 1,正方形 ABCD 的对角线长为 6, OA=4 .若将 O O 绕点A 按顺时针方向旋转 360在旋转过程中，O O 与正方形 ABCD 的边只有一个公 共点的情况一共出现（ ） A. 3 次 B. 4 次 C. 5 次 D. 6 次 【考点】直线与圆的位置关系；正方

12、形的性质；旋转的性质. 【分析】根据O O 的半径为 1,正方形 ABCD 的对角线长为 6, OA=4，得出圆 O 与以 A 为 圆心，以4 为半径的圆相外切即可得到答案. 【解答】 解：如图，：O O 的半径为 1,正方形 ABCD 的边长为 6, OA=4 , O O 与正方形 ABCD 的边 AB、AD 只有一个公共点的情况各有 1 次，与边 BC、CD 只有 一个公共点的情况各有 1 次. 在旋转过程中，O O 与正方形 ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现 4 次. 【点评】此题考查直线与圆的位置关系， 关键是注意：当对角线长和 OA 的长满足一定的条 件时，会出现O O 与

13、 AB、AD 只有一个公共点的情况可能各有 2 次，或O O 与 BC、CD 同 时相切等第 15页（共 49页） 情况.S V n 儿牧 IN Xft-? f 第 16页（共 49页） 故选 C. 【点评】 本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线与圆相切的条件是解答此题的关键. 3. （ 2015?可北模拟）已知直线 I与半径为 2 的O O 的位置关系是相离，则点 O 到直线 I的 距离的取值范围在数轴上的表示正确的是（ ） 【考点】直线与圆的位置关系；在数轴上表示不等式的解集. 【分析】根据圆 O 的半径和圆心 O 到直线 I的距离的大小，相交：dv r;相切：d=r;相离: dr;可

14、求出点 O 到直线 I的距离的取值范围，进而得到答案. 【解答】 解：Tl 与半径为 2 的O O 的位置关系是相离， 点 O 到直线 I的距离的取值范围 d 2. 故选 A . 【点评】 本题考查直线与圆位置关系的定义， 当直线与圆心的距离小于半径，直线与圆 相交；当直线与圆心的距离大于半径， 直线与圆相离，当直线与圆心的距离等于半径， 直线与圆相切. 4. （ 2013?咅城区校级自主招生）如图，在平面直角坐标系中，过格点 2. （2015?余姚市模拟）如图，在平面直角坐标系中， 半径为 k个单位后恰好与O M 相切，则 2 的O M k 的值是 的圆心坐标是（4,2） , （ ） 1+2

15、或 1+4 二 C. 9+2或 D . 10+2 或 10- 2 匸 【考点】 直线与圆的位置关系；一次函数图象与几何变换. 【分析】根据题意可知平移后的直线方程为 线与圆相切即可得出 【解答】解：直线 平移后的直线方程为 M （ 4, 2）, - 一 l_L=2,解得 k=9+2 二或 k=9 - 2 二. 2 y= - 2x+1+k ,即 2x+y - （1+k） =0,再根据直 k 的值. y= - 2x+1 向上平移 y= - 2x+1+k，即 k 个单位后恰好与O M 相切, 2x+y -（ 1+k）=0. A , B, C 作一圆弧, B. C. 第 17页（共 49页） 点 B

16、与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ） A .点（0, 3） B.点（2, 3） 0 点（6, 1） D .点（5, 1） 【考点】切线的判定；坐标与图形性质. 【专题】数形结合. 【分析】先根据垂径定理的推论得到过格点 A , B , C 的圆的圆心 P 点坐标（2, 0）,连结 PB，过点 B 作 PB 的垂线，根据切线的判定定理得 I为O P 的切线，然后利用 I经过的格点 对四个选项进行判断. 【解答】 解：作 AB 和 BC 的垂直平分线，它们相交于 P 点，如图， 则过格点 A , B, C 的圆的圆心 P 点坐标为（2, 0）, 连结 PB,过点 B 作 PB 的垂线，贝

17、U I 为O P 的切线， 从图形可得点（1 , 3）和点（5, 1）在直线 I上， 故选 D . Vn 、 B 1 7黑 、 0 1 P 1 【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切 线.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径） ，再证垂直 即可.也考查了垂径定理和坐标与图形性质. 5. （2012?上城区二模）如图，在直角坐标系中，OO 的半径为 1,则直线 y= - 2x+ ，与O O 的位置关系是（ ） A .相离 B .相交 C .相切 D .无法确定 【考点】切线的判定；坐标与图形性质. 【专题】计算题. _ 【分析】

18、如图所示，过 O 作 OC 丄直线 AB，垂足为 C,作出直线 y= - 2x+二，令 x=0 求出 y 的值，确定出 B 的坐标，得到 OB 的长，令 y=0 求出 x的值，确定出 A 的坐标，得到 OA 的长，在直角三角形 AOB 中，利用勾股定理求出 AB 的长，再利用面积法求出斜边上的高 OC,得到 OC 的长等于圆的半径 1,可得出直线与圆相切.第 18页（共 49页） 【解答】 解：如图所示，过 0 作 0C 丄直线 AB，垂足为 C, 对应直线 y= - 2x+ _, 令 x=0 ,解得：y= 令 y=0,解得：x=：, 2 A （逅，0）, B （0，丽），即 0A=, 0B5

19、, 2 2 在 Rt AOB 中，根据勾股定理得： AB=-|汀+厂.1= 又 SAOB=AB?OC=OA?OB， 2 2 则直线 y= - 2x+匸与圆 O 的位置关系是相切. 故选 C 【点评】此题考查了切线的性质，一次函数与坐标轴的交点， 勾股定理，以及三角形的面积 求法，其中切线的证明方法有两种： 有点连接证垂直；无点作垂线，证明垂线段长度等于半 径，本题用的是第二种方法. ABC 中，AB=5 , BC=3 , AC=4，以点 C 为圆心的圆与 AB 相切, ） 【考点】切线的性质； 【分析】 首先根据题意作图，由 AB 是O C 的切线，即可得 CD 丄 AB，又由在直角 ABC

20、中，/ C=90 AC=3 ,BC=4，根据勾股定理求得 AB 的长，然后由 S ABC= AC ?BC= AB ?CD , 2 2 即可求得以 C 为圆心与 AB 相切的圆的半径的长. 【解答】解：在 ABC 中， / AB=5 , BC=3 , AC=4 , 2 2 2 2 2 2 - AC +BC =3 +4 =5 =AB ,OC=二=1, AB 5 又圆 O 的半径为 1, 2.5 D. 2.6 勾股定理的逆定6. （ 2015?嘉兴）如图, 则O C 的半径为（ 第 19页（共 49页） / C=90 如图：设切点为 D,连接 CD , / AB 是O C 的切线， CD 丄 AB

21、, TABC= AC ?BC= AB?CD, AC?BC=AB ?CD , 即 CD=_= AB 5 5 O C 的半径为：， 5 【点评】此题考查了圆的切线的性质， 勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法. 此 题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用. 7. （2015?达州）如图，AB 为半圆 O 的在直径，AD、BC 分别切O O 于 A、B 两点，CD 切 OO 于点 E,连接 OD、OC,下列结论： / DOC=90 AD+BC=CD , SAOD : 2 2 2 SABOC=AD : AO , OD : OC=DE : EC, OD =DE ?CD，正确

22、的有（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 【考点】切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质. 【专题】压轴题. 【分析】连接 OE,由 AD , DC , BC 都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角， 且利用切线长定理得到 DE=DA , CE=CB，由 CD=DE+EC，等量代换可得出 CD=AD+BC , 选项正确；由 AD=ED , OD 为公共边，利用 HL 可得出直角三角形 ADO 与直角三角形 EDO 全等，可得出/ AOD= / EOD，同理得到/ EOC= / BOC，而这四个角之和为平角，可 得出/ DOC 为直角，选项 正确；由/ D

23、OC 与/ DEO 都为直角，再由一对公共角相等， 利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形 DEO 与三角形 DOC 相似，由相似得 比例可得出 OD =DE ?CD，选项正确；由 AOD BOC，可得 第 20页（共 49页） 项错误.SAAOP= AD、 OB AD、 AO AO2 选项正确; 由 ODEOEC，可得 OD 二 DE ，选 &菁f尤网 jyeoo.con D. 1.5cm 第 15页(共 49页) 【解答】解：连接 OE,如图所示： AD 与圆 O 相切，DC 与圆 O 相切，BC 与圆 O 相切， / DAO= / DEO= / OBC=90 DA=DE

24、, CE=CB , AD / BC , CD=DE+EC=AD+BC，选项正确； rOD=OD HA二DE Rt ADO 也 Rt EDO ( HL ), / AOD= / EOD, 同理 Rt CEOB Rt CBO , / EOC= / BOC , 又/ AOD+ / DOE+ / EOC+ / COB=180 2 (/ DOE+ / EOC) =180 即/ DOC=90 选项 正确; / DOC= / DEO=90 又/ EDO= / ODC , EDOODC , = 1 ,即 OD2=DC?DE ,选项 正确； CD 0D / AOD+ / COB= / AOD+ / ADO=90

25、/ A= / B=90 AOD BOC , 同理 ODEOEC , ：,选项错误; 0C 0E 故选 C. 【点评】此题考查了切线的性质， 定与性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键. & （ 2015?枣庄）如图，一个边长为 4cm 的等边三角形 ABC 的高与O O 的直径相等.O O 与 BC 相切于点 C,与 AC 相交于点 E,则 CE 的长为（ ） aaa Aft UN优壽学 在 Rt ADO 和 Rt EDO 中， r=-订| L =，选项正确; A02 切线长全等三角形的判 第 22页（共 49页） 【考点】切线的性质；等边三角形的性质. 【分析】

26、连接 0C,并过点 0 作 OF 丄 CE 于 F，求出等边三角形的高即可得出圆的直径，继 而得出 0C的长度，在 Rt OFC 中，可得出 FC 的长，利用垂径定理即可得出 CE 的长. 【解答】 解：连接 0C,并过点 0 作 OF 丄 CE 于 F, ABC 为等边三角形，边长为 4cm, ABC 的高为 2cm, 0C= ;cm , 又/ ACB=60 在 Rt 0FC 中，可得 FC= cm , 2 即 CE=2FC=3cm . 故选 B . 【点评】本题主要考查了切线的性质, 不是太难，属于基础性题目. 9. （2015?衢州）如图，已知 ABC , AB=BC，以 AB 为直径的

27、圆交 AC 于点 D，过点 D 的 O 0 的切线交 BC 于点 E.若 CD=5 , CE=4，则O 0 的半径是（ ） 等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识， 题目 第仃页（共 49页） 【考点】切线的性质. 【专题】压轴题. 【分析】 首先连接 0D、BD，判断出 0D / BC,再根据 DE 是O 0 的切线，推得 DE 丄 0D , 所以DE 丄 BC;然后根据 DE 丄 BC, CD=5 , CE=4,求出 DE 的长度是多少；最后判断出 BD、 AC 的关系，根据勾股定理，求出 BC 的值是多少，再根据 AB=BC，求出 AB 的值是多少， 即可求出O 0 的半径是多少. 第

28、 24页（共 49页） 【解答】 解：如图 1 连接 OD、BD , / AB 是O O 的直径， / ADB=90 BD 丄 AC , 又 AB=BC , AD=CD , 又：AO=OB , OD 是厶 ABC 的中位线, OD / BC , DE 是O O 的切线， DE 丄 OD , DE 丄 BC , / CD=5 , CE=4 , DE= 4-， SBCD=BD ?CD 幺 BC?DE 吃, 5BD=3BC , 匸-:, 5 2 2 2 BD +CD =BC , o 2 - -I-, 5 解得 BC=, / AB=BC , AB=, 4 O O 的半径是; 25 . 25 故选：D.

29、 【点评】此题主要考查了切线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确: 线垂直于经过切点的半径. 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 经过切点且垂 圆的切 第仃页（共 49页） 直于切线的直线必经过圆心. 第 26页（共 49页） 10. （2015?湖州）如图，以点 O 为圆心的两个圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点 C, OA 交小 圆于点 D，若 OD=2，tan/ OAB=丄，贝 U AB 的长是（ ） A. 4 B. 2 : C. 8 D. 4 : 【考点】切线的性质. 【分析】连接 OC,利用切线的性质知 OC 丄 AB ,由垂径定理得 AB=2AC ,因为 tan/OAB=-

30、, 易得=，代入得结果. AC 2 【解答】解：连接 OC, 大圆的弦 AB 切小圆于点 C, OC 丄 AB , AB=2AC , / OD=2 , OC=2 , / tan / OAB=, -AC=4 , AB=8 , 故选 C. 【点评】本题主要考查了切线的性质和垂径定理，连接过切点的半径是解答此题的关键. 11. （2008?凉山州）如图，PA、PB 分别是O O 的切线，A、B 为切点，AC 是O O 的直径, 已知/ BAC=35 / P 的度数为（ ） B 7 A. 35 B. 45 C. 60 D. 70 【考点】切线长定理. 【专题】压轴题.第 27页（共 49页） 【分析】

31、根据切线长定理得等腰 PAB，运用内角和定理求解. 【解答】 解：根据切线的性质定理得/ PAC=90 / PAB=90 -Z BAC=90 - 3555 根据切线长定理得 PA=PB, 所以/ PBA= / PAB=55 所以/ P=70 故选 D . 【点评】此题综合运用了切线的性质定理和切线长定理. 12. （2015?湖州）如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，O O 是厶 ABC 的内切圆，现将矩形 ABCD按如图所示的方式折叠，使点 D 与点 0 重合，折痕为 FG.点 F, G 分别在边 AD , BC 上，连结 OG, DG 若 0G 丄 DG,且O 0 的半径长为 1,则下

32、列结论不成立的是（ ） A . CD+DF=4 B. CD - DF=2J.：- 3 C . BC+AB=2 ；+4 D . BC - AB=2 【考点】三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题） 【专题】压轴题. 【分析】设O 0 与 BC 的切点为 M,连接 M0 并延长 M0 交 AD 于点 N，证明 OMG GCD , 得到 0M=GC=1 , CD=GM=BC - BM - GC=BC - 2.设 AB=a , BC=b , AC=c ,O 0 的半径 为 r, O 0 是 Rt ABC 的内切圆可得=丄（a+b- c）,所以 c=a+b - 2.在 Rt ABC 中，禾U 2 用勾

33、股定理求得.（舍去），从而求出 a, b 的值，所以 BC+AB=2 ；+4.再设 DF=x，在 Rt ONF 中，FN=一 , OF=x, 0N= ，由勾股定理可得 /. l - .： - I j :,解得 x=4 从而得到 CD - DF=- - 1 -:, CD+DF=亠、.即可解答. 设O 0 与 BC 的切点为 M ,连接 M0 并延长 M0 交 AD 于点 N, 将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，使点 D 与点 0 重合，折痕为 FG, OG=DG , 第 28页（共 49页） / 0G 丄 DG ,第 29页（共 49页） / MGO+ / DGC=90 / MOG+ /

34、MGO=90 / MOG= / DGC , 在厶 OMG 和厶 GCD 中， rZ0MG=ZDCG=9 0 4 ZKOG=ZDGC tOG=DG OMG GCD , OM=GC=1 , CD=GM=BC - BM - GC=BC - 2. / AB=CD , BC - AB=2 . 设 AB=a , BC=b , AC=c ,O O 的半径为 r, O O 是 Rt ABC 的内切圆可得 =二(a+b - c), 2 c=a+b - 2. 2 2 2 在 Rt ABC 中，由勾股定理可得 a +b = (a+b - 2), 整理得 2ab- 4a- 4b+4=0 , 又 BC - AB=2 即

35、 b=2+a，代入可得 2a (2+a)- 4a- 4 (2+a) +4=0 , 解得 J 一丄仁匕(舍去)， 二1 丨二 L厂一- BC+AB=2 7+4. 再设 DF=x，在 Rt ONF 中，FN= ， 一 一 - , OF=x, ON=：，人 一 1 由勾股定理可得.f y :-.； 解得 x=4 CD - DF= . ： - :, CD+DF= 7 眾 .- 综上只有选项 A 错误， 故选 A . 【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心， 切线的性质，勾股定理， 矩形的性质等知识点 的综合应用，解决本题的关键是三角形内切圆的性质. 第 30页（共 49页） 13. （2015?遵义）

36、将正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转 ，则四边形 30 得正方形 AB1C1D1, B1C1 ) AB1ED 的内切圆半径为 交 CD 于点 E, AB=: B D： &菁f尤网 jyeoo.con 第 31页（共 49页） A .二 B. C.D. ： 2 2 3 3 【考点】三角形的内切圆与内心；正方形的性质；旋转的性质. 【专题】压轴题. 【分析】作/ DAF 与/ ABiG 的角平分线交于点 0,则 O 即为该圆的圆心，过 0 作 0F 丄 ABi, AB= ，再根据直角三角形的性质便可求出 OF 的长，即该四边形内切圆的圆心. 【解答】解：作/ DAF 与/ ABi

37、G 的角平分线交于点 0,过 0 作 OF 丄 AB 1,】 则/ 0AF=30 / AB 10=45 故 BlF=OF=0A , 2 设 BlF=x，则 AF= 1- x, 故（二-x） 2+x2= （2x） 2, 解得 x= ：或 x= ： 2 2 四边形 ABiED 的内切圆半径为: 【点评】本题考查了旋转的性质三角形的内切圆， 正方形的性质，要熟练掌握正方形的性质 及直角三角形的性质，是解答此题的关键. 14. 如图，两个同心圆，大圆的半径为 5,小圆的半径为 3，若大圆的弦 AB 与小圆有公共 点，则弦 AB 的取值范围是（ ） A . 8B WO B . 8 V AB 10 C .

38、 4AB AB=2 :八8. 大圆的弦 AB 与小圆有公共点，即相切或相交， 8 沁 10. 故选：A. 【点评】本题综合考查了切线的性质、 勾股定理和垂径定理. 此题可以首先计算出和小圆相 切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长. 二.填空题（共 9 小题） 15. （2015?甘南州）如图，两个同心圆，大圆半径为 5cm，小圆的半径为 AB 与小圆相交，则弦 AB 的取值范围是 8V AB 0 . 解：如图，当 AB 与小圆相切时有一个公共点 D, 连接 OA , OD,可得 OD 丄 AB , D 为 AB 的中点，即 AD=BD , 在 Rt ADO 中，OD=3 , OA=5 ,

39、AD=4 , AB=2AD=8 ; 当 AB 经过同心圆的圆心时，弦 AB 最大且与小圆相交有两个公共点， 此时 AB=10 , 所以 AB 的取值范围是 8V AB 10. 故答案为：8V AB A，当 AB= 6 cm 时，BC 与O A 相切. 第 22页（共 49页）第 34页（共 49页） 【考点】切线的判定. 【分析】当 BC 与O A 相切，点 A 到 BC 的距离等于半径即可. 【解答】 解：如图，过点 A 作 AD 丄 BC 于点 D . / AB=AC，/ B=30 AD=丄 AB，即 AB=2AD . 2 又 BC 与O A 相切， AD 就是圆 A 的半径， AD=3c

40、m , 则 AB=2AD=6cm . 故答案是：6. 【点评】本题考查了切线的判定此题利用了切线的定义和含 30 度角的直角三角形的性质 得到 AB 的长度的. 17. （2015?宁波）如图，在矩形 ABCD 中，AB=8 , AD=12，过 A , D 两点的O O 与 BC 边 相切于点 E,则O O 的半径为 6.25 . 【考点】切线的性质；勾股定理；矩形的性质；垂径定理. 【分析】首先连接 OE,并反向延长交 AD 于点 F,连接 OA，由在矩形 ABCD 中，过 A, D 两点的O O与 BC 边相切于点 E，易得四边形 CDFE 是矩形，由垂径定理可求得 AF 的长， 然后设O

41、 O 的半径为x,则 OE=EF - OE=8 - x,利用勾股定理即可得：（8 - x） 2+36=x2,继 而求得答案. 【解答】解：连接 OE,并反向延长交 AD 于点 F，连接 OA , / BC 是切线， OE 丄 BC , / OEC=90 四边形 ABCD 是矩形， / C=Z D=90 &菁优 jyeoo.con 3 第 35页（共 49页） 四边形 CDFE 是矩形， EF=CD=AB=8 , OF 丄 AD , AF=1AD=2 12=6, 2 2 设 O O 的半径为 x,贝 U OE=EF - OE=8 - x, 在 Rt OAF 中，OF2+AF2=OA2,

42、2 2 则（8 -x） +36=x , 解得：x=6.25, O O 的半径为：6.25. 故答案为：6.25. 尺边上沿着 CD 向右滚动到再次与 AB 相切时，光盘的圆心经过的距离是 【考点】切线的性质；轨迹. 【专题】 应用题；压轴题. 【分析】根据切线的性质得到 OH=PH，根据锐角三角函数求出 PH 的长，得到答案. 【解答】 解：如图，当圆心 O 移动到点 P 的位置时，光盘在直尺边上沿着 CD 向右滚动到 再次与 AB 相切，切点为 Q, / ON 丄 AB , PQ 丄 AB , ON / PQ, / ON=PQ , OH=PH , 则 OP=【点评】此矩形的性质以及勾股定理注

43、意准确作出辅助 18. （2015?贵阳）小明把半径为 1 的光盘、 上，此时，光盘与 AB , CD 分别相切于点 直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面 N , M 现从如图所示的位置开始，将光盘在直 在 Rt PHQ 中，/ P=Z A=30 PQ=1, PH= -, D &菁优 jyeoo.con ii.tr计盖牧HI优希学f 第 36页（共 49页） 键. 19. （2009?自贡）如图，O O 与厶 ABC 中 AB、AC 的延长线及 BC 边相切，且/ ACB=90 / A，/ B，/ C 所对的边长依次为 3, 4, 5,则O O 的半径是 2 . 【考点】切线长定

44、理. 【分析】先连接 OD、OE 根据O O 与厶 ABC 中 AB、AC 的延长线及 BC 边相切，得出 AF=AD , BE=BF , CE=CD，再根据 OD 丄 AD , OE 丄 BC ,Z ACB=90 得出四边形 ODCE 是正方形， 最后设 OD=r，列出 5+3 - r=4+r，求出 r=2 即可. 【解答】解：连接 OD、OE, TO O 与厶 ABC 中 AB、AC 的延长线及 BC 边相切， AF=AD , BE=BF , CE=CD , OD 丄 AD , OE 丄 BC, / ACB=90 四边形 ODCE 是正方形， 设 OD=r ,则 CD=CE=r , / B

45、C=3 , BE=BF=3 - r , / AB=5 , AC=4 , 故答案为：I :. 3 掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关 第 37页(共 49页) AF=AB+BF=5+3 r , AD=AC+CD=4+r , 5+3 r=4+r, r=2, 则O O 的半径是 2. 故答案为：2.第 38页（共 49页） 【点评】此题考查了切线长定理， 用到的知识点是切线长定理、 正方形的性质、圆的性质等, 解题的关键是设出圆的半径，列出关于圆的半径的方程. 20. （2015?徐州）如图，AB 是O O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与O O 相切于点 D，若/ C=20 则

46、/ CDA= 125 【考点】切线的性质. 【分析】连接 OD，构造直角三角形，利用 OA=OD，可求得/ ODA=36 从而根据 / CDA= / CDO+ / ODA 计算求解. 【解答】 解：连接 OD，则/ ODC=90 / COD=70 / OA=OD , / ODA= / A= / COD=35 2 / CDA= / CDO+ / ODA=90 35 125 故答案为：125. 第 39页(共 49页) 【点评】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解. 21. （2015?荆州）如图， OA 在 x 轴上，OB 在 y 轴上，OA=8 , AB=10，点 C

47、 在边 OA 上， AC=2 , O P 的圆心 P 在线段 BC 上，且O P 与边 AB , AO 都相切.若反比例函数 y= （k 和） 的图象经过圆心 P,则 k= 5 .第 40页（共 49页） 【考点】 切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征. 【专题】 计算题；压轴题. 【分析】 作 PD 丄 OA 于 D, PE 丄 AB 于 E,作 CH 丄 AB 于 H，如图，设 O P 的半径为 r,根 据切线的性质和切线长定理得到 PD=PE=r, AD=AE，再利用勾股定理计算出 0B=6，则可 判断 OBC 为等腰直角三角形，从而得到 PCD 为等腰直

48、角三角形，则 PD=CD=r , AE=AD=2+r，通过证明 ACH ABO，禾 U 用相似比计算出 CH= ，接着利用勾股定理计 5 算出 AH=t，所以 BH=10 -上=；-，然后证明 BEH BHC，禾 U 用相似比得到即 5 5 5 10 - (2+r) r ,，解得 r=1,从而易得 P 点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征 求出 k 的值. 【解答】 解：作 PD 丄 OA 于 D, PE 丄 AB 于 E,作 CH 丄 AB 于 H，如图，设 O P 的半径为 r, O P 与边 AB , AO 都相切， PD=PE=r, AD=AE , 在 Rt OAB 中， OA=

49、8 , AB=10 , OB= ： :;:=6, -AC=2, OC=6 , OBC 为等腰直角三角形, PCD 为等腰直角三角形, PD=CD=r , AE=AD=2+r , -/ CAH= / BAO , 第 41页(共 49页) ACH ABO , 3_42 / PE / CH , BEPBHC , OD=OC - CD=6 - 1=5, 二 P (5, - 1), k=5 X (- 1) = - 5. 故答案为-5. % 【点评】本题考查了切线的性质： 圆的切线垂直于经过切点的半径. 若出现圆的切线不确定 切点，则过圆心作切线的垂线， 则垂线段等于圆的半径. 也考查了勾股定理、相似三角

50、形的 判定与性质和反比例函数图象上点的坐标特征. 22. （2015秋？滨湖区期中） 如图， 在平面直角坐标系中， O匕的半径为5,圆心P坐标是（5, a） （ a5） ,函数 y=x 的图象被O P 截得的弦 AB 的长为4亞，贝U a 的值是_、国. 【分析】 作 PC 丄 x轴于 C,交 AB 于 D，作 PE 丄 AB 于 E,连结 PB，由于 OC=5 , PC=a, 易得 D点坐标为（5, 5）,则厶 OCD 为等腰直角三角形， PED 也为等腰直角三角形.由 即解得CH=:, BH=10 第 42页（共 49页） PE 丄 AB，根据垂径定理得 AE=BE= AB=2 二，在 R

51、t PBE 中，利用勾股定理可计算出 PE=1, 则 PD=:PE= ?,所以 a=5+ :. 【解答】解：作 PC 丄 x轴于 C,交 AB 于 D，作 PE 丄 AB 于 E,连结 PB,如图， O P 的圆心坐标是（5, a）, -OC=5 , PC=a, 把 x=5 代入 y=x 得 y=5, D 点坐标为（5, 5）, CD=5 , OCD 为等腰直角三角形， PED 也为等腰直角三角形， / PE 丄 AB , AE=BE= AB= 4 =2 , 2 2 在 Rt PBE 中，PB=5, PE=：厂， PD= -PE=二 a=5+ ：. 故答案为：5+ 【点评】本题考查了圆的综合题

52、，垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对 的两条弧也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质. 23. (2014?义乌市)如图 2 是装有三个小轮的手拉车在 爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮 架杆 OA , OB, OC 抽象为线段，有 OA=OB=OC，且/ AOB=120 折线 NG - GH - HE - EF 表示楼梯，GH, EF 是水平线，NG, HE 是铅垂线，半径相等的小轮子O A , O B 与楼梯 两边都相切，且 AO / GH . (1) 如图 2，若点 H 在线段 OB 时，则&的值是 -; 0H _ (2) 如果一级楼梯的高度 HE= (8 ；+

53、2) cm,点 H 到线段 OB 的距离 d 满足条件 dWcm, 那么小轮子半径 r 的取值范围是 (11 - 3 ；) cmr8cm . 第 43页(共 49页) 图1 图2 图2 【考点】圆的综合题. 【专题】 几何图形问题；压轴题. 【分析】 (1 )作 P 为O B 的切点， 连接 BP 并延长， 作 OL丄 BP 于点 L,交 GH 于点 M,求 出 ML , OM，根据二一求解， OH 0H第 44页(共 49页) (2)作 HD 丄 OB,P 为切点，连接 BP,PH 的延长线交 BD 延长线于点 1,由厶 LDH sLPB , 得出?I-H,再根据 30的直角三角形得出线段的

54、关系， 得到 DH 和 r 的关系式，根据 0 它 W PL PB 的限制条件，列不等式组求范围. 【解答】解：(1)如图 2，P 为 O B 的切点，连接 BP 并延长，作 OL 丄 BP 于点 L,交 GH 于点 M , / BPH= / BLO=90 , / AO / GH , BL / AO / GH , / AOB=120 / OBL=60 在 RTA BPH 中,HP=二 BP= 7r , ML=HP= r, OM=r , / BL / GH , : 丄=- OH ON r 故答案为：二 (2 )作 HD 丄 OB, P 为切点，连接 BP , PH 的延长线交 BD 延长线于点

55、L , / LDH= / LPB=90 LDH LPB , J./ II I.， / AO / PB , / AOD=120 , / B=60 , / BLP=30 DL= DH , LH=2DH , / HE= (8 7+2) cm HP=8 ；+2 - r , PL=HP+LH=8 :+2 - r+2DH , _ =丄,解得 DH=r - 4- 1 , -r r 2 / Ocm9H 3cm , 0w - r- 4 二-1 第 57页（共 49页） 【考点】圆的综合题. 【专题】压轴题. 【分析】 求出 A、B 的坐标，根据勾股定理求出 AB，求出点 C 到 AB 的距离，即可求出圆 C 上

56、点到AB 的最大距离，根据面积公式求出即可. 【解答】 解：直线 y= x - 3 与 x轴、y 轴分别交于 A、B 两点， 4 A 点的坐标为（4, 0）, B 点的坐标为（0，- 3）, 3x - 4y- 12=0 , 即 OA=4 , OB=3，由勾股定理得： AB=5 ,握性质定理是解题的关键. 等边三角形的判定和性质、圆周角定理等，熟练掌 y= X- 3 与 x轴、y 轴分别交于 A、B 两点，P 是以 C （ 0, 32.（2015?乐山）如图，已知直线 2 2 PA、PB .则 PAB 面积的最大值是（ ） 第 58页（共 49页） 点 C （0, 1）到直线 3x-4y - 1

57、2=0 的距离是 - : - L = , 5 圆 C 上点到直线 y= ：x - 3 的最大距离是 1+ =二, 4 5 5 PAB 面积的最大值是5X ：-=, 2 5 2 故选：c. 【点评】本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用， 解此题的关键是求出圆上 的点到直线 AB 的最大距离，属于中档题目. 33. （2015?婺城区模拟）PA、PB 切O O 于 A、B 两点，CD 切O O 于点 E,交 PA、PB 于 C、 【分析】连接 0A、OB、0P,延长 BO 交 PA 的延长线于点 F .利用切线求得 CA=CE , DB=DE , % 9 PA=PB 再得出 PA=PB

58、= r.禾 U 用 Rt BFPs RTA OAF 得出 AF= TB,在 RT FBP 中，禾 U 用 2 3 勾股定理求出 BF，再求 tan/ APB 的值即可. 【解答】 解：连接 OA、OB、OP，延长 BO 交 PA 的延长线于点 F. PA, PB 切O O 于 A、B 两点，CD 切O O 于点 E / OAF= / PBF=90 CA=CE , DB=DE , PA=PB, / PCD 的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r , 3 PA=PB=r. 2 在 Rt PBF 和 Rt OAF 中, ZFAO=ZFBP ZOFA=ZPFB, Rt

59、 PBFs Rt OAF . AF_ 2 . - = = FB BP J 3 2r 2 AF= FB, 3 在 Rt FBP 中， 12 3r，贝 U tan/ APB 的值是 第 59页（共 49页） 2 2 2 / PF2- PB2=FB2 2 2 2 ( PA+AF ) - PB2=FB2 ( r+ BF) 2-( r) 2=BF2, 2 3 2 解得 BF= i ： r, 5 28 tan / APB=二= =:， - 2工 故答案为：_ 【点评】本题主要考查了切线长定理以及切线的性质， 相似三角形及三角函数的定义， 解决 本题的关 35. （ 2015?滨州）若等腰直角三角形的外接圆

60、半径的长为 2，则其内切圆半径的长为 （ ） A. : B. 2 ：- 2 C. 2- 】 D. ：- 2 【考点】三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心. 【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半， 由此可求得等腰直角三角形的斜边长， 进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长. 【解答】解：等腰直角三角形外接圆半径为 2, _ 此直角三角形的斜边长为 4，两条直角边分别为 2 匚, 它的内切圆半径为： R= （2 _：+2 ：- 4） =2 叮:- 2. 2 故选 B . 【点评】本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆， 等腰直角三角形的性质， 要注意直 角三角形内切圆半径与