一元二次方程应用题经典题型汇总含答案

1、一元二次方程应用题经典题型汇总同学们知道，学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为 200万元，十月份的销售额下降了 20% ,

2、商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解 设这两个月的平均增长率是 x.,则根据题意，得200(1 20%)(1+ x)2= 193.6 ,即(1+x)2=1.21 ,解这个方程，得 X1 = 0.1 , X2=- 2.1 (舍去).答这两个月的平均增长率是 10%.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式 m(1+x)2=n求解，其中mvn.对于负的增长率问题， 若经过两次相等下降后，则有公式 m(1 x)2 = n即可求解，其中 m > n.二、

3、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品， 该商品可以自行定价，若每件商品售价a元,则可卖出(350 -10 a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解 根据题意，得(a 21)(350 10 a) = 400,整理，得 a2-56a+775 =0,解这个方程，得a1 = 25,a2 = 31.因为21 N1+20%) =25.2,所以a2=31不合题意，舍去.所以 350 10a=350 10 X25 = 100 (件).答 需要进货100件，每件商品应定价25元.说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，

4、也是各种考试的热点三、储蓄问题例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90% ,这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得1000(1+ x)-500(1+0.9 x) = 530.整理,得 90x2+145 x 3 = 0.解这个方程，得x1=0.0204 =2.04% ,x2 = 1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2 = 1.63舍去.答 第

5、一次存款的年利率约是 2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长 吗？解 设渠道的深度为 xm ,那么渠底宽为(x+0.1)m ,上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得 2(x+0.1+ x+1.4+0.1) x=1.8,整理，得 x2+0.8 x-1.8 = 0.解这个方程，得x1 = 1.8 (舍去

6、)，x2 = 1.所以 x + 1.4+0.1 = 1 + 1.4+0.1 =2.5.答 渠道的上口宽2.5m ,渠深1m.说明 求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列 出方程求解.五、古诗问题例5 读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3.则根据题意，得x2= 10(x-3)+ x,即x2-iix+30 =0,解这个方程，得x=5« x= 6.当x=5

7、时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x=6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.说明本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味六、象棋比赛例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局， 每局赢者记2分，输者记0分.如果平局， 两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979 , 1980 , 1984 ,1985. 经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加 .解 设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n 1)个选手比赛一局，共计 n(n 1)局，但两个选手的对局从

8、每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为 2 n(n 1)局.由于每局共112分，所以全部选手得分总共为n(n 1)分.显然(n 1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是 0,2,6,故总分不可能是1979 ,19841985 ,因此总分只能是1980 ,于是由 n(n 1)= 1980 ,得 n2 n 1980 = 0,解得 n1 = 45 , n2 = 44 (舍去).答 参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解 七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1

9、对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解 设该单位这次共有 x名员工去天水湾风景区旅游 .因为1000 X25 = 25000 < 27000 ,所以员工人数一定超过25人.则根据题意，得1000 20( x25) x= 27000.整理，得 x2 75X+1350 =0,解这个方程，得 X1 = 45 , X2= 30.当 x = 45 时，1000 20( x25) =600 <700 ,故舍去 x1；当 x2=30 时，1000 20(x25) =900 >700 ,符合题

10、意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游 .说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的Z论.八、等积变形例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1m )(1)设计方案1 (如图2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路(2)设计方案2 (如图3)花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件 ？若能，请11算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由2解 者B能.(1)设小路宽为 x,则 18x+16 x-x2= 3 M8 X15 ,即 x

11、2 34x+180 = 0,解这个方程，得x=2 ，即x = 6.6.2(2)设扇形半径为 r,则 3.14r2 = ：3 X18X15,即 r257.32 ,所以 r=7.6.变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不等积变，等等.九、动态几何问题例9 如图4所示，在 ABC 中，/ C=90?/SPAN> , AC = 6cm , BC= 8cm，点 P从点 A 出发 沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点 Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为8平方厘米？(2)点P、Q

12、在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于 ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由因为/ C=90?/SPAN>,所以AB =女十双工巧手=10 (cm )(1)设 xs 后，可使 PCQ 的面积为 8cm 2,所以 AP=xcm, PC = (6x)cm, CQ =2xcm.则根据题意，得(6 - x) 2 x= 8.整理，得x2-6x+8 =0,解这个方程，得 x1=2,x2= 4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使 PCQ的面积为8cm 2.(2)设点P出发x秒后， PCQ的面积等于 ABC面积的一半.则根据题意，得 2(6x)2x=2 x2 X

13、6X8.整理，得 x26x+12 =0.由于此方程没有实数根，所以不存在使PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.说明本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程=速度x时间.十、梯子问题例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.(1)若梯子的顶端下滑1m ,求梯子的底端水平滑动多少米？(2)若梯子的底端水平向外滑动 1m ,梯子的顶端滑动多少米？(3)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解依题意，梯子的顶端距墙角也一=8 (m).(1)若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.则根据勾股定理，

14、列方程 72+(6+ x)2= 102,整理，得x2+12 x- 15=0,解这个方程，得 xv 1.14 , x2 = 13.14 (舍去)，所以梯子顶端下滑1m ,底端水平滑动约1.14m.(2)当梯子底端水平向外滑动 1m时，设梯子顶端向下滑动 xm.则根据勾股定理，列方程 (8 x)2+(6+1) 2 = 100.整理，得x2-16x+13 =0.解这个方程，得 Xi = 0.86 , x2 = 15.14 (舍去).所以若梯子底端水平向外滑动1m,则顶端下滑约0.86m.(3)设梯子顶端向下滑动 xm时，底端向外也滑动 xm.则根据勾股定理，列方程(8x)2+(6+ x)2=102,

15、整理，得2x24x = 0,解这个方程，得 Xi = 0 (舍去)，X2 = 2.所以梯子顶端向下滑动 2m时，底端向外也滑动2m.说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形十一、航海问题B E F C例11 如图5所示，我海军基地位于 A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标 C,小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一 补给码头；小岛 F位于BC上且恰好处于小岛 D的正南方向，一艘军舰从 A出发，经B到C匀速巡 航.一艘补给船同时从 D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰(1)小岛D和小岛F相距多少海

16、里？(2)已知军舰的速度是补给船的 2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于 E处，那么相遇 时补给船航行了多少海里？(精确到0.1海里)解(1 ) F位于D的正南方向，则 口尸，8。因为八8,8。，D为AC的中点，所以 DF=2AB = 100海里，所以，小岛 D与小岛F相距100海里.(2)设相遇时补给船航行了 x海里，那么DE = x海里，AB+BE= 2x海里，EF= AB+BC(AB+BE)-CF=(300 2x)海里.在RtDEF中，根据勾股定理可得方程 x2= 100 2+(300 2x)2,整理，得3x2 1200 x+100000 =0.1001006解这个方程，得x1 =

17、200 3 118.4 , x2 = 200+3(不合题意，舍去).所以，相遇时补给船大约航行了 118.4海里.说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程十二、图表信息例12 如图6所示，正方形 ABCD的边长为12,划分成12 M2个小正方形格，将边长为 n （n为整数，且2wnw11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张 nxn的纸片正 好盖住正方形 ABCD左上角的n刈个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（n-1）Nn 1）个小正方形 如此摆放下去，直到纸片盖住正方

18、形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长 n的取值不同， 沈成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n23456使用的纸片张数（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为未被盖住的面积为 S2.当n = 2时，求& : S2的值;是否存在使得 S=S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.(2) & = n，(12 -n)n2-(n-1)2 = - n2+25 n-12.当 n = 2 时，S1 = - 22+25 X2 12 =34, S2=

19、 12 X12 34 = 110.所以 S1 ： S2=34 ： 110 = 17 : 55.若 S1=S2,则有n，25 n 12 =/ X122,即 n225n+84 =0解这个方程，得n1 = 4n2= 21 （舍去）所以当n = 4时，Si = S2.所以这样的n值是存在的.说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件， 对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之

20、和等于17cm 2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.解（1）设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为（20x） cm.则根据题意，得=17 ,解得 x1= 16 ,当 x=16 时，20x=4,当 x=4 时，20x=16,答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm,则另一段为（20y） cm.则由题意得+14 J =12,整理，得y2-20 y+104 =0,移项并配方，得（y-10）2 = -4<0,所以此 方程无解，即

21、不能剪成两段使得面积和为12cm 2.说明 本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b2 4ac来判定.若b24ac>0,方程有两个实数卞若b2 4acv0,方程没有实数根，本题中的b2 4ac=16 <0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7,在等腰梯形 ABCD中，AB=DC = 5, AD = 4 , BC=10.点E在下底边BC上，点F在月AB上.(1)若EF平分等腰梯形 ABCD的周长，设BE长为x,试用含x的代数式表示4BEF的面积;(2)是否存在线段 EF将等腰梯形 ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长;若不存在，请说明理由；(3)

22、是否存在线段 EF将等腰梯形 ABCD的周长和面积同时分成1 ： 2的两部分？若存在，求此 时BE的长；若不存在，请说明理由.Be 贯 H C图7 解(1)由已知条件得，梯形周长为12 ,高4,面积为28.过点F作FGXBC于G,过点 A作AK± BC于K.12-真则可得，FG=5>4,224所以 SzBEF=BE FG= ' x2+ 5 x (7WxW10).224(2)存在.由(1)得一$ x2+ 5 x=14,解这个方程，得 x1 = 7, x2=5 (不合题意，舍去)，所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE= 7.(3)不存在.假设存在，显然有 Sabef ： S多边形AFECD =1 ： 2,21628即(BE+BF) ： (AF+AD+DC) = 1 ： 2.则有一5 x2+ 5 x= 3 ,整理，得3x224x+70 =0,此时的求根公式中的 b2-4ac=576 - 840 < 0,所以不存在这样的实数 x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1 ： 2的两部说明 求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得 X2=5时，并不属于7