平面向量中的三角形四心问题

1、百度文库-让每个人平等地提升自我平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要 工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中， 可以体现数学的对称性与推论的 相互关系。/一、重心(barycenter)三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2: 1。在重心确定上，有著名的帕普斯定理。结论1 :若G为ABC所在平面内一点，则G是三角形的重心证明：设BC中点为D,则2GDGA GB GC 0 GA GBGA 2GD,这表明，G在中线AD上同理可得G在中线BE,CF上故G为ABC的重心结论2

2、:1 若P为 ABC所在平面内一点，则PG -(PA PB PC)3G是ABC的重心、一 II 1 T证明：PG (PA PB PC) (PG PA) (PG PB) (PG PC) 0 3Ga Gb GC 0G是ABC的重心二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。结论3:若H为 ABC所在平面内一点，则 HA 而 HB HC HC HA H是ABC的垂心证明：HA HB HB HC HBHB AC 0 HB AC 同理，有 HA CB,HC AB 故H为三角形垂心结论4:2 22222若H为 ABC所在平面内一点，贝U HA BC HB AC HC AB H

3、是ABC的垂心 /2 2HB (HC HA)222222 一证明：由 HA BC HB CA 得,HA (HB HC)2HB HC HC HA同理可证得，HA HB HB HC HC HA由结论3可知命题成立三、夕卜心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。用这个点 做圆心可以画三角形的外接圆。结论5:若。是ABC所在平面内一点，则OA OB OC o是abc的外心结论6:证明：由外心定义可知 命题成立若O是ABC所在平面内一点，则/*- - *- k- s * * #(OA OB) BA (OB OC) CB (OC OA) ACO是ABC的外心/7证明：(O

4、A OB) BA (OA OB)(OA OB) Q,故OA2 2OBOBOBOC故O为ABC的外心四、内心(incenter)OC2(OC OA) AC OC2OCOC2(OB OC) CB OBOA,三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。结论7:若P为ABC所在平面内一点，则OP OA 1P是ABC的内心OBCBAB ACABBA BC CA CBOC(0)证明：记AB,AC方向上的单位向量分别 为e1,e2由平行四边形法则知，(J e2)在AB,AC边夹角平分线上即P在A平分线上同理可得，P在B, C的平分线上故P为ABC的内心结论8:若P是 ABC所在平面内一点，则 aPA bPB cPC 0 P是ABC的内心证明：不妨设PD PCaPA bPB cPC 0 a(PD DA) b(PD DB) cPC 0(a b c)PC, (aDA bDB) 0由于PC与DA,而不共线，则 v*ha b c O.aDA bDB 0 一7 一-